مصفوفة التغاير

تختلف المصطلحات. بعض الإحصائيين، تبعًا لعالم الاحتمالات ويليام فيلر في كتابه المكون من مجلدين بعنوان " مقدمة في نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها" ، ^{[ 2 ]} يطلقون على المصفوفة اسم${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$تباين المتجه العشوائي${\displaystyle \mathbf {X} }$لأنها التعميم الطبيعي للتباين أحادي البعد إلى أبعاد أعلى. ويطلق عليها البعض الآخر اسم مصفوفة التغاير ، لأنها مصفوفة التغاير بين المكونات العددية للمتجه.${\displaystyle \mathbf {X} }$. $${\displaystyle \operatorname {var} (\mathbf {X} )=\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {X} )=\operatorname {E} \left[(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\mathsf {T}}\right].}$$

كلا الشكلين قياسيان تماماً، ولا يوجد أي لبس بينهما. المصفوفة${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$وتسمى أيضًا في كثير من الأحيان مصفوفة التباين والتباين المشترك ، لأن العناصر القطرية هي في الواقع تباينات.

وبالمقارنة، فإن رمز مصفوفة التغاير المشترك بين متجهين هو $${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} \left[(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\mathsf {T}}\right].}$$

مصفوفة التغاير الذاتي${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$يرتبط بمصفوفة الارتباط الذاتي${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$بواسطة $${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\mathsf {T}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{\mathsf {T}}}$$ حيث تُعرَّف مصفوفة الارتباط الذاتي على النحو التالي:${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}]}$.

الكيان المرتبط ارتباطًا وثيقًا بمصفوفة التغاير هو مصفوفة معاملات ارتباط بيرسون بين كل متغير من المتغيرات العشوائية في المتجه العشوائي${\displaystyle \mathbf {X} }$والتي يمكن كتابتها على النحو التالي $${\displaystyle \operatorname {corr} (\mathbf {X} )={\big (}\operatorname {diag} (\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }){\big )}^{-{\frac {1}{2}}}\,\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\,{\big (}\operatorname {diag} (\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }){\big )}^{-{\frac {1}{2}}},}$$ أين ${\displaystyle \operatorname {diag} (\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} })}$هي مصفوفة العناصر القطرية لـ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$(أي، مصفوفة قطرية لتباينات${\displaystyle X_{i}}$ ل${\displaystyle i=1,\dots ,n}$).

وبالمثل، يمكن اعتبار مصفوفة الارتباط بمثابة مصفوفة التغاير للمتغيرات العشوائية المعيارية${\displaystyle X_{i}/\sigma (X_{i})}$ل${\displaystyle i=1,\dots ,n}$. $${\displaystyle \operatorname {corr} (\mathbf {X} )={\begin{bmatrix}1&{\frac {\operatorname {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{2}-\mu _{2})]}{\sigma (X_{1})\sigma (X_{2})}}&\cdots &{\frac {\operatorname {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{n}-\mu _{n})]}{\sigma (X_{1})\sigma (X_{n})}}\\\\{\frac {\operatorname {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{1}-\mu _{1})]}{\sigma (X_{2})\sigma (X_{1})}}&1&\cdots &{\frac {\operatorname {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{n}-\mu _{n})]}{\sigma (X_{2})\sigma (X_{n})}}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\operatorname {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{1}-\mu _{1})]}{\sigma (X_{n})\sigma (X_{1})}}&{\frac {\operatorname {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{2}-\mu _{2})]}{\sigma (X_{n})\sigma (X_{2})}}&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$$

كل عنصر على القطر الرئيسي لمصفوفة الارتباط هو ارتباط متغير عشوائي بنفسه، والذي يساوي دائمًا 1. كل عنصر خارج القطر الرئيسي يقع بين -1 و +1 شاملًا.

معكوس هذه المصفوفة،${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }^{-1}}$، إن وجدت، هي مصفوفة التغاير العكسية، والمعروفة أيضًا باسم مصفوفة الدقة (أو مصفوفة التركيز ). ^{[ 3 ]}

تمامًا كما يمكن كتابة مصفوفة التغاير على أنها إعادة قياس لمصفوفة الارتباط بواسطة التباينات الهامشية: $${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} )={\begin{bmatrix}\sigma _{x_{1}}&&&0\\&\sigma _{x_{2}}&&\\&&\ddots &\\0&&&\sigma _{x_{n}}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle \times {\begin{bmatrix}1&\rho _{x_{1},x_{2}}&\cdots &\rho _{x_{1},x_{n}}\\\rho _{x_{2},x_{1}}&1&\cdots &\rho _{x_{2},x_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\rho _{x_{n},x_{1}}&\rho _{x_{n},x_{2}}&\cdots &1\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle \times {\begin{bmatrix}\sigma _{x_{1}}&&&0\\&\sigma _{x_{2}}&&\\&&\ddots &\\0&&&\sigma _{x_{n}}\end{bmatrix}}}$$

لذا، باستخدام فكرة الارتباط الجزئي والتباين الجزئي، يمكن التعبير عن مصفوفة التغاير العكسي بشكل مماثل: $${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} )^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sigma _{x_{1}\mid x_{2}\dots }}}&&&0\\&{\frac {1}{\sigma _{x_{2}\mid x_{1},x_{3}\dots }}}\\&&\ddots \\0&&&{\frac {1}{\sigma _{x_{n}\mid x_{1}\dots x_{n-1}}}}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle \times {\begin{bmatrix}1&-\rho _{x_{1},x_{2}\mid x_{3}\dots }&\cdots &-\rho _{x_{1},x_{n}\mid x_{2}\dots x_{n-1}}\\-\rho _{x_{2},x_{1}\mid x_{3}\dots }&1&\cdots &-\rho _{x_{2},x_{n}\mid x_{1},x_{3}\dots x_{n-1}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-\rho _{x_{n},x_{1}\mid x_{2}\dots x_{n-1}}&-\rho _{x_{n},x_{2}\mid x_{1},x_{3}\dots x_{n-1}}&\cdots &1\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle \times {\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sigma _{x_{1}\mid x_{2}\dots }}}&&&0\\&{\frac {1}{\sigma _{x_{2}\mid x_{1},x_{3}\dots }}}\\&&\ddots \\0&&&{\frac {1}{\sigma _{x_{n}\mid x_{1}\dots x_{n-1}}}}\end{bmatrix}}}$$

هذه الازدواجية تحفز عددًا من الازدواجيات الأخرى بين التهميش والتكييف للمتغيرات العشوائية الغاوسية.

ل${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {var} (\mathbf {X} )=\operatorname {E} \left[\left(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\right)\left(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\right)^{\mathsf {T}}\right]}$و${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\mathbf {X} }=\operatorname {E} [{\textbf {X}}]}$، أين${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathsf {T}}}$هو${\displaystyle n}$بالنسبة للمتغير العشوائي ذي الأبعاد n، تنطبق الخصائص الأساسية التالية: ^{[ 4 ]}

1. ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {E} (\mathbf {XX^{\mathsf {T}}} )-{\boldsymbol {\mu }}_{\mathbf {X} }{\boldsymbol {\mu }}_{\mathbf {X} }^{\mathsf {T}}}$
2. ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\,}$هي شبه محددة موجبة ، أي${\displaystyle \mathbf {a} ^{T}\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$

دليل

في الواقع، من الخاصية 4 يتبين أنه في ظل التحويل الخطي للمتغير العشوائي${\displaystyle \mathbf {X} }$مع مصفوفة التغاير${\displaystyle \mathbf {\Sigma _{X}} =\mathrm {cov} (\mathbf {X} )}$بواسطة عامل خطي${\displaystyle \mathbf {A} }$سا${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {A} \mathbf {X} }$، يتم تحويل مصفوفة التغاير على النحو التالي

${\displaystyle \mathbf {\Sigma _{Y}} =\mathrm {cov} \left(\mathbf {Y} \right)=\mathbf {A\,\Sigma _{X}\,A} ^{\top }}$.

وفقًا لمصفوفة الخاصية 3${\displaystyle \mathbf {\Sigma _{X}} }$إذا كانت متناظرة، فيمكن تحويلها إلى مصفوفة قطرية بواسطة تحويل خطي متعامد، أي توجد مصفوفة متعامدة كهذه.${\displaystyle \mathbf {A} }$(في أثناء${\displaystyle \mathbf {A} ^{\top }=\mathbf {A} ^{-1}}$)، الذي - التي

${\displaystyle \mathbf {A\,\Sigma _{X}\,A} ^{\top }=\mathbf {A\,\Sigma _{X}\,A} ^{-1}={\mbox{diag}}(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}),}$

و${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}}$هي القيم الذاتية لـ${\displaystyle \mathbf {\Sigma _{X}} }$لكن هذا يعني أن هذه المصفوفة هي مصفوفة تباين مشترك لمتغير عشوائي${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {A} \mathbf {X} }$، والقطر الرئيسي لـ${\displaystyle \mathbf {\Sigma _{Y}} =\mathrm {cov} \left(\mathbf {Y} \right)}$يتكون من تباينات عناصر${\displaystyle \mathbf {Y} }$بما أن التباين دائمًا غير سالب، نستنتج أن${\displaystyle \sigma _{i}\geq 0}$لأي${\displaystyle i}$لكن هذا يعني أن المصفوفة${\displaystyle \mathbf {\Sigma _{X}} }$هي شبه محددة موجبة.

3. ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\,}$متناظر ، أي${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }^{\mathsf {T}}=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$
4. لأي ثابت (أي غير عشوائي)${\displaystyle m\times n}$مصفوفة${\displaystyle \mathbf {A} }$وثابت${\displaystyle m\times 1}$متجه${\displaystyle \mathbf {a} }$، لدى المرء${\displaystyle \operatorname {var} (\mathbf {AX} +\mathbf {a} )=\mathbf {A} \,\operatorname {var} (\mathbf {X} )\,\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}}$
5. لو${\displaystyle \mathbf {Y} }$هو متجه عشوائي آخر له نفس البعد مثل${\displaystyle \mathbf {X} }$، ثم${\displaystyle \operatorname {var} (\mathbf {X} +\mathbf {Y} )=\operatorname {var} (\mathbf {X} )+\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )+\operatorname {cov} (\mathbf {Y} ,\mathbf {X} )+\operatorname {var} (\mathbf {Y} )}$أين${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$هي مصفوفة التغاير المتقاطع لـ${\displaystyle \mathbf {X} }$و${\displaystyle \mathbf {Y} }$.

المتوسط ​​المشترك${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ومصفوفة التغاير المشتركة${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ل${\displaystyle \mathbf {X} }$و${\displaystyle \mathbf {Y} }$يمكن كتابتها في شكل كتلة $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\mu }}_{X}\\{\boldsymbol {\mu }}_{Y}\end{bmatrix}},\qquad {\boldsymbol {\Sigma }}={\begin{bmatrix}\operatorname {K} _{\mathbf {XX} }&\operatorname {K} _{\mathbf {XY} }\\\operatorname {K} _{\mathbf {YX} }&\operatorname {K} _{\mathbf {YY} }\end{bmatrix}}}$$ أين${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {XX} }=\operatorname {var} (\mathbf {X} )}$،${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {YY} }=\operatorname {var} (\mathbf {Y} )}$و${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {XY} }=\operatorname {K} _{\mathbf {YX} }^{\mathsf {T}}=\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$.

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {XX} }}$و${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {YY} }}$يمكن تحديدها على أنها مصفوفات التباين للتوزيعات الهامشية لـ${\displaystyle \mathbf {X} }$و${\displaystyle \mathbf {Y} }$على التوالى.

لو${\displaystyle \mathbf {X} }$و${\displaystyle \mathbf {Y} }$يتم توزيعها بشكل طبيعي مشترك ، $${\displaystyle \mathbf {X} ,\mathbf {Y} \sim \ {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\operatorname {\boldsymbol {\Sigma }} ),}$$ ثم التوزيع الشرطي لـ${\displaystyle \mathbf {Y} }$منح${\displaystyle \mathbf {X} }$يتم تحديده بواسطة ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \mathbf {Y} \mid \mathbf {X} \sim \ {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}_{\mathbf {Y|X} },\operatorname {K} _{\mathbf {Y|X} }),}$$ يُعرَّف بالمتوسط ​​الشرطي$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\mathbf {Y} |\mathbf {X} }={\boldsymbol {\mu }}_{\mathbf {Y} }+\operatorname {K} _{\mathbf {YX} }\operatorname {K} _{\mathbf {XX} }^{-1}\left(\mathbf {X} -{\boldsymbol {\mu }}_{\mathbf {X} }\right)}$$والتباين الشرطي$${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Y|X} }=\operatorname {K} _{\mathbf {YY} }-\operatorname {K} _{\mathbf {YX} }\operatorname {K} _{\mathbf {XX} }^{-1}\operatorname {K} _{\mathbf {XY} }.}$$

المصفوفة${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {YX} }\operatorname {K} _{\mathbf {XX} }^{-1}}$تُعرف باسم مصفوفة معاملات الانحدار ، بينما في الجبر الخطي${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Y|X} }}$مكمل شور لـ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {XX} }}$في${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$.

يمكن في كثير من الأحيان إعطاء مصفوفة معاملات الانحدار في شكل منقول،${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {XX} }^{-1}\operatorname {K} _{\mathbf {XY} }}$، مناسب لضرب متجه صف من المتغيرات التفسيرية من الخلف${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}}$بدلاً من ضرب متجه عمودي مسبقًا${\displaystyle \mathbf {X} }$. في هذا الشكل تتوافق مع المعاملات التي تم الحصول عليها عن طريق عكس مصفوفة المعادلات العادية للمربعات الصغرى العادية (OLS).

بالنسبة للمتجهات العشوائية المعقدة، يتم تعريف نوع آخر من العزم المركزي الثاني، وهو مصفوفة التغاير الزائف (وتسمى أيضًا مصفوفة العلاقة )، ​​على النحو التالي:$${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatorname {cov} [\mathbf {Z} ,{\overline {\mathbf {Z} }}]=\operatorname {E} \left[(\mathbf {Z} -{\boldsymbol {\mu }}_{\mathbf {Z} })(\mathbf {Z} -{\boldsymbol {\mu }}_{\mathbf {Z} })^{\mathsf {T}}\right]}$$

على عكس مصفوفة التغاير المعرّفة أعلاه، يتم استبدال النقل الهيرميتي بالنقل في التعريف. قد تكون عناصر قطرها ذات قيم مركبة؛ فهي مصفوفة متناظرة مركبة .

تعتمد استراتيجية التطور ، وهي فئة محددة من خوارزميات البحث العشوائي، بشكل أساسي على مصفوفة التغاير في آليتها. يستخلص عامل الطفرة المميز خطوة التحديث من توزيع طبيعي متعدد المتغيرات باستخدام مصفوفة تغاير متطورة. يوجد برهان رسمي على أن مصفوفة التغاير لاستراتيجية التطور تتكيف مع معكوس مصفوفة هيسيان لمشهد البحث، حتى عامل قياسي وتقلبات عشوائية صغيرة (تم إثبات ذلك لاستراتيجية أحادية الأصل ونموذج ثابت، مع ازدياد حجم المجموعة، بالاعتماد على التقريب التربيعي). ^{[ 10 ]} وبشكل بديهي، تدعم هذه النتيجة فكرة أن توزيع التغاير الأمثل يمكن أن يوفر خطوات طفرة تتطابق فيها خطوط احتمالية الكثافة المتساوية مع مجموعات مستويات المشهد، وبالتالي فهي تزيد من معدل التقدم إلى أقصى حد.

في رسم خرائط التغاير، تكون قيم${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$أو${\displaystyle \operatorname {pcov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \mid \mathbf {I} )}$يتم تمثيل المصفوفة كخريطة ثنائية الأبعاد. عندما تكون المتجهات${\displaystyle \mathbf {X} }$و${\displaystyle \mathbf {Y} }$بما أن الدوال عشوائية منفصلة ، ​​فإن الخريطة تُظهر العلاقات الإحصائية بين مناطق مختلفة من هذه الدوال. تظهر المناطق المستقلة إحصائيًا على الخريطة كأراضٍ مستوية ذات مستوى صفري، بينما تظهر الارتباطات الموجبة أو السالبة، على التوالي، كتل أو وديان.

في الممارسة العملية، متجهات الأعمدة${\displaystyle \mathbf {X} ,\mathbf {Y} }$، و${\displaystyle \mathbf {I} }$يتم الحصول عليها تجريبياً على شكل صفوف من${\displaystyle n}$عينات، على سبيل المثال $${\displaystyle \left[\mathbf {X} _{1},\mathbf {X} _{2},\dots ,\mathbf {X} _{n}\right]={\begin{bmatrix}X_{1}(t_{1})&X_{2}(t_{1})&\cdots &X_{n}(t_{1})\\\\X_{1}(t_{2})&X_{2}(t_{2})&\cdots &X_{n}(t_{2})\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\X_{1}(t_{m})&X_{2}(t_{m})&\cdots &X_{n}(t_{m})\end{bmatrix}},}$$ أين${\displaystyle X_{j}(t_{i})}$هي القيمة المنفصلة رقم i في العينة j من الدالة العشوائية${\displaystyle X(t)}$يتم تقدير القيم المتوقعة اللازمة في صيغة التغاير باستخدام متوسط ​​العينة ، على سبيل المثال $${\displaystyle \langle \mathbf {X} \rangle ={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\mathbf {X} _{j}}$$ ويتم تقدير مصفوفة التغاير بواسطة مصفوفة التغاير العينية$${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\approx \langle \mathbf {XY^{\mathsf {T}}} \rangle -\langle \mathbf {X} \rangle \langle \mathbf {Y} ^{\mathsf {T}}\rangle ,}$$ حيث تشير الأقواس الزاوية إلى متوسط ​​العينة كما في السابق، باستثناء أنه يجب إجراء تصحيح بيسل لتجنب التحيز . باستخدام هذا التقدير، يمكن حساب مصفوفة التغاير الجزئي على النحو التالي: $${\displaystyle \operatorname {pcov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \mid \mathbf {I} )=\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )-\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {I} )\left(\operatorname {cov} (\mathbf {I} ,\mathbf {I} )\backslash \operatorname {cov} (\mathbf {I} ,\mathbf {Y} )\right),}$$ حيث تشير علامة الخط المائل العكسي إلى عامل قسمة المصفوفة اليسرى ، والذي يتجاوز شرط قلب المصفوفة وهو متاح في بعض حزم الحوسبة مثل Matlab . ^{[ 11 ]}

يوضح الشكل 1 كيفية إنشاء خريطة تباين جزئية على مثال لتجربة أُجريت في ليزر الإلكترون الحر FLASH في هامبورغ. ^{[ 12 ]} الدالة العشوائية${\displaystyle X(t)}$يمثل طيف زمن الطيران للأيونات الناتجة عن انفجار كولوم لجزيئات النيتروجين المتأينة عدة مرات بواسطة نبضة ليزر. ونظرًا لتأين بضع مئات فقط من الجزيئات في كل نبضة ليزر، فإن أطياف اللقطة الواحدة تكون شديدة التذبذب. ومع ذلك، فإن جمع البيانات عادةً${\displaystyle m=10^{4}}$مثل هذه الأطياف،${\displaystyle \mathbf {X} _{j}(t)}$، وحساب متوسطها على${\displaystyle j}$ينتج طيفًا سلسًا${\displaystyle \langle \mathbf {X} (t)\rangle }$والذي يظهر باللون الأحمر في أسفل الشكل 1. الطيف المتوسط${\displaystyle \langle \mathbf {X} \rangle }$يكشف عن العديد من أيونات النيتروجين في شكل قمم متوسعة بسبب طاقتها الحركية، ولكن إيجاد الارتباطات بين مراحل التأين وزخم الأيونات يتطلب حساب خريطة التغاير.

في مثال الأطياف الموضحة في الشكل 1${\displaystyle \mathbf {X} _{j}(t)}$و${\displaystyle \mathbf {Y} _{j}(t)}$هي نفسها، باستثناء أن نطاق زمن الرحلة${\displaystyle t}$يختلف. اللوحة أ تُظهر${\displaystyle \langle \mathbf {XY^{\mathsf {T}}} \rangle }$، اللوحة ب تُظهر${\displaystyle \langle \mathbf {X} \rangle \langle \mathbf {Y} ^{\mathsf {T}}\rangle }$وتُظهر اللوحة ج الفرق بينهما، وهو${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$(لاحظ تغييرًا في مقياس الألوان). لسوء الحظ، تُطغى على هذه الخريطة ارتباطات غير مهمة ذات نمط مشترك ناتجة عن تذبذب شدة الليزر من لقطة إلى أخرى. ولكبح هذه الارتباطات، يتم ضبط شدة الليزر.${\displaystyle I_{j}}$يتم تسجيلها في كل لقطة، ثم يتم وضعها في${\displaystyle \mathbf {I} }$و${\displaystyle \operatorname {pcov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \mid \mathbf {I} )}$يتم حسابها كما هو موضح في اللوحتين د و هـ . ومع ذلك، فإن كبح الارتباطات غير المهمة ليس مثاليًا، نظرًا لوجود مصادر أخرى لتقلبات الوضع المشترك غير شدة الليزر، ومن حيث المبدأ، ينبغي رصد جميع هذه المصادر في الاتجاه.${\displaystyle \mathbf {I} }$ومع ذلك، من الناحية العملية، غالبًا ما يكون من الكافي المبالغة في تعويض تصحيح التغاير الجزئي كما هو موضح في اللوحة f ، حيث تظهر الآن بوضوح الارتباطات المثيرة للاهتمام لزخم الأيونات كخطوط مستقيمة متمركزة على مراحل تأين النيتروجين الذري.

تستخدم مطيافية الأشعة تحت الحمراء ثنائية الأبعاد تحليل الارتباط للحصول على أطياف ثنائية الأبعاد للطور المكثف . يوجد نوعان من هذا التحليل: متزامن وغير متزامن . رياضياً، يُعبَّر عن النوع الأول بدلالة مصفوفة التغاير للعينة، وتُعادل هذه التقنية رسم خرائط التغاير. ^{[ 13 ]}