مفهوم الحل

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 10 صور
الموسوعة الحرة
تحسينات مختارة لمفهوم التوازن في نظرية الألعاب. تشير الأسهم من تحسين إلى المفهوم الأكثر عمومية (أي، التوازن المستقر اقتصادياً).⊂{\displaystyle \subset }سليم).

في نظرية الألعاب ، يُعد مفهوم الحل قاعدة رسمية للتنبؤ بكيفية سير اللعبة. تُسمى هذه التنبؤات "حلولًا"، وتصف الاستراتيجيات التي سيتبناها اللاعبون، وبالتالي نتيجة اللعبة. من أكثر مفاهيم الحلول شيوعًا مفاهيم التوازن ، وأشهرها توازن ناش .

تُنتج العديد من مفاهيم الحلول، في العديد من الألعاب، أكثر من حل واحد. وهذا يُثير الشكوك حول أيٍّ من هذه الحلول، لذا قد يُطبّق مُنظّر الألعاب تحسينًا لتضييق نطاق الحلول. كل مفهوم حل لاحق مُقدّم فيما يلي يُحسّن سابقه من خلال استبعاد التوازنات غير المُحتملة في الألعاب الأكثر تعقيدًا.

التعريف الرسمي

يتركΓ{\displaystyle \Gamma }كن الأفضل بين جميع الألعاب، ولكل لعبةجي∈Γ{\displaystyle G\in \Gamma }، يتركSجي{\displaystyle S_{G}}لتكن مجموعة ملفات تعريف الاستراتيجية لـجي{\displaystyle G}يُعد مفهوم الحل عنصرًا من عناصر المنتج المباشرΠجي∈Γ2Sجي؛{\displaystyle \Pi _{G\in \Gamma }2^{S_{G}};}أي ، دالةF:Γ→⋃جي∈Γ2Sجي{\displaystyle F:\Gamma \rightarrow \bigcup \nolimits _{G\in \Gamma }2^{S_{G}}}بحيثF(جي)⊆Sجي{\displaystyle F(G)\subseteq S_{G}}للجميعجي∈Γ.{\displaystyle G\in \Gamma .}

قابلية التبرير والهيمنة المتكررة

في هذا المفهوم للحل، يُفترض أن اللاعبين عقلانيون، ولذلك تُستبعد الاستراتيجيات المهيمنة تمامًا من مجموعة الاستراتيجيات الممكنة. تُعتبر الاستراتيجية مهيمنة تمامًا عندما تتوفر للاعب استراتيجية أخرى ذات عائد أعلى دائمًا، بغض النظر عن الاستراتيجيات التي يختارها اللاعبون الآخرون. (تُعدّ الاستراتيجيات المهيمنة تمامًا مهمة أيضًا في بحث شجرة اللعبة باستخدام خوارزمية minimax ). على سبيل المثال، في معضلة السجين (ذات الفترة الواحدة) (الموضحة أدناه)، تُعتبر استراتيجية التعاون مهيمنة تمامًا على استراتيجية الخيانة لكلا اللاعبين، لأن أيًا منهما يكون دائمًا في وضع أفضل عند اختيار الخيانة ، بغض النظر عما يفعله خصمه.

السجين رقم 2 يتعاونالسجين الثاني منشق
السجين رقم 1 يتعاون-0.5، -0.5-10، 0
عيب السجين رقم 10، -10-2، -2

توازن ناش

توازن ناش هو عبارة عن ملف استراتيجي (يحدد ملف الاستراتيجية استراتيجية لكل لاعب، على سبيل المثال في لعبة معضلة السجين المذكورة أعلاه، يحدد ( التعاون ، الخيانة ) أن السجين 1 يلعب استراتيجية التعاون والسجين 2 يلعب استراتيجية الخيانة ) حيث تكون كل استراتيجية يلعبها أي لاعب (اللاعب i) هي أفضل استجابة لكل استراتيجية أخرى يلعبها جميع الخصوم الآخرين (اللاعبين j لكل j≠i). وتكون استراتيجية اللاعب هي أفضل استجابة لاستراتيجية لاعب آخر إذا لم تكن هناك استراتيجية أخرى يمكن لعبها تحقق عائدًا أعلى في أي موقف يتم فيه لعب استراتيجية اللاعب الآخر.

الاستقراء العكسي

في بعض الألعاب، توجد عدة توازنات ناش، لكن ليس جميعها واقعيًا. في الألعاب الديناميكية، يمكن استخدام الاستقراء العكسي لاستبعاد توازنات ناش غير الواقعية. يفترض الاستقراء العكسي أن اللاعبين عقلانيون وسيتخذون أفضل القرارات بناءً على توقعاتهم المستقبلية. هذا يُلغي التهديدات غير الموثوقة، وهي التهديدات التي لن يُقدم عليها اللاعب حتى لو طُلب منه ذلك.

على سبيل المثال، لنفترض لعبة ديناميكية بين شركة قائمة وشركة أخرى محتملة لدخول السوق. تحتكر الشركة القائمة السوق وتسعى للحفاظ على حصتها السوقية. إذا دخلت الشركة الجديدة، فبإمكان الشركة القائمة إما أن تُنافسها أو أن تُسايرها. إذا سايرتها، ستدخل الشركة الجديدة السوق وتحقق ربحًا. أما إذا نافستها، فستخفض أسعارها، مما سيؤدي إلى خروج الشركة الجديدة من السوق (متكبدةً تكاليف الخروج)، وبالتالي ستتضرر أرباحها.

أفضل رد فعل للشركة القائمة في حال دخول المنافس الجديد هو التكيف، وأفضل رد فعل للمنافس الجديد في حال تكيف الشركة القائمة هو الدخول. ينتج عن ذلك توازن ناش. مع ذلك، إذا اختارت الشركة القائمة المواجهة، فإن أفضل رد فعل للمنافس الجديد هو عدم الدخول. إذا لم يدخل المنافس الجديد، فلا يهم ما تختاره الشركة القائمة. لذا، يمكن اعتبار المواجهة أفضل رد فعل للشركة القائمة إذا لم يدخل المنافس الجديد، مما ينتج عنه توازن ناش آخر.

مع ذلك، يمكن التخلص من توازن ناش الثاني هذا بالاستقراء العكسي لأنه يعتمد على تهديد غير منطقي من الجهة المهيمنة. فعندما تصل الجهة المهيمنة إلى نقطة اتخاذ القرار حيث يمكنها اختيار خوض المنافسة، سيكون من غير المنطقي القيام بذلك لأن الجهة الجديدة قد دخلت السوق بالفعل. لذا، يُلغي الاستقراء العكسي توازن ناش غير الواقعي هذا.

انظر أيضاً:

توازن ناش المثالي في اللعبة الفرعية

يُعدّ تعميم الاستقراء العكسي مثالًا على كمال الألعاب الفرعية. يفترض الاستقراء العكسي أن جميع اللعبات المستقبلية ستكون عقلانية. في توازنات الألعاب الفرعية الكاملة، يكون اللعب في كل لعبة فرعية عقلانيًا (وتحديدًا توازن ناش). لا يُمكن استخدام الاستقراء العكسي إلا في الألعاب المنتهية (المحدودة) ذات الطول المحدد، ولا يُمكن تطبيقه على الألعاب ذات المعلومات غير الكاملة . في هذه الحالات، يُمكن استخدام كمال الألعاب الفرعية. يُعدّ توازن ناش المُستبعد الموصوف أعلاه توازنًا غير كامل في الألعاب الفرعية لأنه ليس توازن ناش للعبة الفرعية التي تبدأ من العقدة التي يتم الوصول إليها بمجرد دخول اللاعب الجديد.

توازن بايزي مثالي

أحيانًا لا يفرض مفهوم الكمال في الألعاب الفرعية قيودًا كافية على النتائج غير المنطقية. على سبيل المثال، بما أن الألعاب الفرعية لا تستطيع اختراق مجموعات المعلومات ، فقد تحتوي لعبة ذات معلومات غير كاملة على لعبة فرعية واحدة فقط - وهي نفسها - وبالتالي لا يمكن استخدام مفهوم الكمال في الألعاب الفرعية لاستبعاد أي توازن ناش. يُعرَّف التوازن البايزي المثالي (PBE) بأنه تحديد لاستراتيجيات اللاعبين ومعتقداتهم حول العقدة التي تم الوصول إليها في مجموعة المعلومات من خلال اللعب. ويُقصد بالمعتقد حول عقدة القرار احتمال اعتقاد لاعب معين بأن هذه العقدة موجودة أو ستكون موجودة في مسار التوازن . وبشكل خاص، تكمن فكرة التوازن البايزي المثالي في أنه يحدد استراتيجيات اللاعبين التي تتسم بالعقلانية بالنظر إلى معتقدات اللاعبين التي يحددها، وأن هذه المعتقدات تتوافق مع الاستراتيجيات التي يحددها.

في لعبة بايزية، تحدد الاستراتيجية ما يلعبه اللاعب عند كل مجموعة معلومات يتحكم بها. ولا يُشترط في حالة التوازن الأمثل للعبة الفرعية أن تكون المعتقدات متوافقة مع الاستراتيجيات. لذا، يُعدّ التوازن الأمثل القائم على المعتقدات شرطًا لتوافق معتقدات اللاعبين. وكما هو الحال في توازن ناش، لا توجد استراتيجية مُهيمنة تمامًا لأي لاعب، ففي التوازن الأمثل القائم على المعتقدات، لا توجد استراتيجية مُهيمنة تمامًا لأي لاعب عند بدء اللعب من تلك المجموعة المعلوماتية. أي أنه لكل معتقد يمكن أن يتبناه اللاعب عند تلك المجموعة المعلوماتية، لا توجد استراتيجية تُحقق له عائدًا متوقعًا أكبر. وخلافًا لمفاهيم الحلول السابقة، لا توجد استراتيجية مُهيمنة تمامًا لأي لاعب عند بدء اللعب من أي مجموعة معلومات، حتى لو كانت خارج مسار التوازن. وبالتالي، في التوازن الأمثل القائم على المعتقدات، لا يستطيع اللاعبون التهديد بلعب استراتيجيات مُهيمنة تمامًا عند بدء اللعب من أي مجموعة معلومات خارج مسار التوازن.

يشير مصطلح "البيزي" في اسم هذا المفهوم الحلي إلى حقيقة أن اللاعبين يقومون بتحديث معتقداتهم وفقًا لنظرية بايز . فهم يحسبون الاحتمالات بناءً على ما حدث بالفعل في اللعبة.

الحث الأمامي

يُطلق على الاستقراء الأمامي هذا الاسم لأنه، كما يفترض الاستقراء العكسي أن اللعب المستقبلي سيكون عقلانيًا، يفترض الاستقراء الأمامي أن اللعب السابق كان عقلانيًا. عندما لا يعرف اللاعب نوع اللاعب الآخر (أي عندما تكون المعلومات غير كاملة وغير متماثلة)، فإنه قد يُكوّن اعتقادًا بنوع ذلك اللاعب من خلال ملاحظة أفعاله السابقة. ومن ثم، فإن اعتقاد اللاعب باحتمالية أن يكون الخصم من نوع معين يستند إلى كون لعب الخصم السابق عقلانيًا. وقد يختار اللاعب الإشارة إلى نوعه من خلال أفعاله.

قدّم كولبرغ وميرتنز (1986) مفهوم الحل المسمى "التوازن المستقر"، وهو تحسين يحقق الاستقراء الأمامي. وتمّ العثور على مثال مضاد حيث لم يحقق هذا التوازن المستقر الاستقراء العكسي. ولحلّ هذه المشكلة، قدّم جان فرانسوا ميرتنز ما يُعرف الآن في نظرية الألعاب بمفهوم "توازن ميرتنز المستقر" ، والذي يُعدّ على الأرجح أول مفهوم حل يحقق كلاً من الاستقراء الأمامي والعكسي.

يُقدّم الاستقراء الأمامي حلاً فريداً للعبة حرق الأموال .

انظر أيضاً

مراجع