الطوبولوجيا المسطحة

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرف الطوبولوجيا المسطحة بأنها طوبولوجيا غروتينديك المستخدمة في الهندسة الجبرية . وتُستخدم لتعريف نظرية التماثل المسطح ؛ كما أنها تلعب دورًا أساسيًا في نظرية الانحدار (الانحدار المسطح الأمين). [ 1 ] ويُشتق مصطلح "مسطح" هنا من "الوحدات المسطحة" .

توجد عدة طوبولوجيات مسطحة مختلفة قليلاً، وأكثرها شيوعًا طوبولوجيا fppf وطوبولوجيا fpqc . يرمز fppf إلى "fidèlement plate de présentation finie" ، وفي هذه الطوبولوجيا، يكون تشاكل المخططات الأفينية تشاكل تغطية إذا كان مسطحًا بدقة وذو عرض منتهٍ. أما fpqc فيرمز إلى "fidèlement plate et quasi-compacte" ، وفي هذه الطوبولوجيا، يكون تشاكل المخططات الأفينية تشاكل تغطية إذا كان مسطحًا بدقة وتشاكل شبه مضغوط . في كلتا الفئتين، تُعرَّف عائلة التغطية بأنها عائلة تُغطي مجموعات زاريسكي المفتوحة. [ 2 ] في طوبولوجيا fpqc، يُعد أي تشاكل مسطح بدقة وشبه مضغوط تغطية. [ 3 ] ترتبط هذه الطوبولوجيات ارتباطًا وثيقًا بالانحدار . لا يتم استخدام الطوبولوجيا المسطحة "الخالصة" بدون أي شروط نهائية أخرى مثل التراص شبه الكامل أو العرض النهائي كثيرًا لأنها ليست شبه قانونية؛ بمعنى آخر، لا يلزم أن تكون الدوال القابلة للتمثيل حزمًا.

لسوء الحظ، لا يوجد توحيد في المصطلحات المستخدمة لوصف البنى المسطحة. يستخدم بعض المؤلفين مصطلح "البنية" للإشارة إلى البنية الأولية، وهناك عدة بنى أولية مختلفة قليلاً تُسمى أحيانًا fppf أو fpqc (البنية الأولية)، والتي قد تُعطي أحيانًا نفس البنية.

تم تقديم علم التماثل المسطح بواسطة غروتينديك في حوالي عام 1960. [ 4 ]

مواقع fppf الكبيرة والصغيرة

ليكن X مخططًا أفينيًا . نُعرّف غطاء fppf لـ X بأنه عائلة منتهية وشاملة مشتركة من التشكلات

( φ a  : X a → X )

حيث يكون كل X خطيًا ، وكل φ مسطحًا ومُقدَّمًا بشكل محدود . يُولِّد هذا ما يُعرف بالطوبولوجيا الأولية : بالنسبة لأي X ، نُعرِّف غطاء fppf لـ X بأنه عائلة

( φ a  : X a → X )

وهو غطاء fppf بعد تغيير القاعدة إلى مخطط فرعي مفتوح أفيني من X. تُولّد هذه الطوبولوجيا الأولية طوبولوجيا تُسمى طوبولوجيا fppf . (هذه ليست الطوبولوجيا التي سنحصل عليها إذا بدأنا بـ X و X a عشوائيين واعتبرنا عائلات التغطية عائلات شاملة مشتركة من التشكلات المسطحة ذات العرض المحدود). نرمز بـ Fppf لفئة المخططات ذات طوبولوجيا fppf.

الموقع الصغير لـ fppf في X هو الفئة O ( X fppf ) التي عناصرها هي المخططات U ذات التشكل الثابت U → X الذي ينتمي إلى عائلة تغطية ما. (لا يعني هذا أن التشكل مسطح أو ذو عرض محدود). التشكلات هي تشكلات المخططات المتوافقة مع الخرائط الثابتة إلى X. الموقع الكبير لـ fppf في X هو الفئة Fppf/X ، أي فئة المخططات ذات الخريطة الثابتة إلى X ، مع الأخذ في الاعتبار طوبولوجيا fppf.

"Fppf" اختصار لعبارة "fidèlement plate de présentation finie"، أي "مسطح بدقة وذو عرض محدود". كل عائلة شاملة من التشكلات المسطحة والمُقدمة بشكل محدود هي عائلة تغطية لهذه الطوبولوجيا، ومن هنا جاء الاسم. يمكن أيضًا تعريف ما قبل الطوبولوجيا fppf بشرط شبه محدود إضافي؛ ويترتب على النتيجة 17.16.2 في EGA IV 4 أن هذا يُعطي نفس الطوبولوجيا.

مواقع مراقبة الجودة الكبيرة والصغيرة

ليكن X مخططًا أفينيًا . نُعرّف غطاء fpqc لـ X بأنه عائلة منتهية وشاملة من التشكلات { uα : Xα → X } ، حيث كل Xα أفيني وكل uα مسطح وشبه مضغوط . يُولّد هذا ما قبل الطوبولوجيا: لأي X ، نُعرّف غطاء fpqc لـ X بأنه عائلة { uα : Xα → X } ، وهي غطاء fpqc بعد تغيير الأساس إلى مخطط فرعي أفيني مفتوح لـ X. تُولّد هذه الطوبولوجيا ما قبل الطوبولوجيا طوبولوجيا تُسمى طوبولوجيا fpqc . (هذه ليست الطوبولوجيا التي سنحصل عليها إذا بدأنا بـ X و Xα عشوائيين ، واعتبرنا عائلات التغطية عائلات شاملة من التشكلات المسطحة). نرمز بـ Fpqc لفئة المخططات ذات طوبولوجيا fpqc.  

الموقع الصغير لـ fpqc في X هو الفئة O ( X fpqc ) التي تتكون عناصرها من مخططات U ذات تشاكل ثابت U → X ينتمي إلى عائلة تغطية معينة. التشاكلات هي تشاكلات المخططات المتوافقة مع الخرائط الثابتة إلى X. أما الموقع الكبير لـ fpqc في X فهو الفئة Fpqc/X ، أي فئة المخططات ذات الخريطة الثابتة إلى X ، مع الأخذ في الاعتبار طوبولوجيا fpqc.

"Fpqc" هو اختصار لعبارة "fidèlement plate quasi-compacte"، أي "مسطح وشبه مضغوط بشكل دقيق". كل عائلة شاملة من التشكلات المسطحة وشبه المضغوطة هي عائلة تغطية لهذه الطوبولوجيا، ومن هنا جاء الاسم.

التماثل المسطح

الإجراء المتبع لتعريف مجموعات التماثل هو الإجراء القياسي: يتم تعريف التماثل على أنه سلسلة من الدوال المشتقة للدالة التي تأخذ مقاطع حزمة من المجموعات الأبيلية .

على الرغم من أن هذه المجموعات لها عدد من التطبيقات، إلا أنها ليست سهلة الحساب بشكل عام، إلا في الحالات التي تختزل فيها إلى نظريات أخرى، مثل علم التماثل الإيتالي .

مثال

يوضح المثال التالي سبب عدم ملاءمة "الطوبولوجيا المسطحة تمامًا" بدون أي شروط نهائية. لنفترض أن X هو الخط الأفيني فوق حقل مغلق جبريًا k . لكل نقطة مغلقة x من X، يمكننا اعتبار الحلقة المحلية R( x) عند هذه النقطة، وهي حلقة تقييم منفصلة يحتوي طيفها على نقطة مغلقة واحدة ونقطة مفتوحة (عامة) واحدة. نربط هذين الطيفين معًا بتحديد نقاطهما المفتوحة للحصول على مخطط Y. يوجد تطبيق طبيعي من Y إلى X. الخط الأفيني X مغطى بالمجموعات Spec( R( x )) المفتوحة في الطوبولوجيا المسطحة تمامًا، ولكل مجموعة من هذه المجموعات تطبيق طبيعي إلى Y ، وتتطابق هذه التطبيقات عند التقاطعات. مع ذلك، لا يمكن دمجها للحصول على تطبيق من X إلى Y ، لأن الفضاءات الأساسية لـ X و Y لها طوبولوجيات مختلفة.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ "شكل البنية (الجبرية)" ، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS، 2001 [1994]
  2. ↑ SGA III 1 , IV 6.3.
  3. ^ SGA III 1 ، IV 6.3، الاقتراح 6.3.1(ت).
  4. ↑

مراجع