توزيع جاما/جومبيرتز

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 12 صور
الموسوعة الحرة

في علم الاحتمالات والإحصاء ، يُعد توزيع جاما/جومبيرتز توزيعًا احتماليًا مستمرًا . وقد استُخدم كنموذج على مستوى إجمالي لدورة حياة العميل ونموذج لمخاطر الوفاة.

مواصفة

دالة كثافة الاحتمال

دالة كثافة الاحتمال لتوزيع جاما/جومبيرتز هي:

و(x;ب،s،β)=بsهـبxβs(β-1+هـبx)s+1{\displaystyle f(x;b,s,\beta )={\frac {bse^{bx}\beta ^{s}}{\left(\beta -1+e^{bx}\right)^{s+1}}}}

أينب>0{\displaystyle b>0}هو معامل المقياس وβ،s>0{\displaystyle \beta ,s>0\,\!}هي معلمات شكل توزيع جاما/جومبيرتز.

دالة التوزيع التراكمي

دالة التوزيع التراكمي لتوزيع جاما/جومبيرتز هي:

F(x;ب،s،β)=1-βs(β-1+هـبx)s، x>0، ب،s،β>0=1-هـ-بsx، β=1{\displaystyle {\begin{aligned}F(x;b,s,\beta )&=1-{\frac {\beta ^{s}}{\left(\beta -1+e^{bx}\right)^{s}}},{\ }x>0,{\ }b,s,\beta >0\\[6pt]&=1-e^{-bsx},{\ }\beta =1\\\end{aligned}}}

دالة توليد العزوم

دالة توليد العزوم معطاة بالصيغة التالية:

هـ(هـ-تx)={βssبت+sب 2F1(s+1،(ت/ب)+s;(ت/ب)+s+1;1-β)،β≠1;sبت+sب،β=1.{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{E}}(e^{-tx})={\begin{cases}\displaystyle \beta ^{s}{\frac {sb}{t+sb}}{\ }{_{2}{\text{F}}_{1}}(s+1,(t/b)+s;(t/b)+s+1;1-\beta ),&\beta \neq 1;\\\displaystyle {\frac {sb}{t+sb}},&\beta =1.\end{cases}}\end{aligned}}}

أين2F1(أ،ب;ج;z)=∑ك=0∞[(أ)ك(ب)ك/(ج)ك]zك/ك!{\displaystyle {_{2}{\text{F}}_{1}}(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\infty }[(a)_{k}(b)_{k}/(c)_{k}]z^{k}/k!}هي دالة فوق هندسية .

ملكيات

يُعد توزيع جاما/جومبيرتز توزيعًا مرنًا يمكن أن يكون منحرفًا إلى اليمين أو إلى اليسار.

  • عندما β = 1، فإن هذا يختزل إلى توزيع أسي ذي معلمة sb .
  • يُعد توزيع جاما مترافقًا طبيعيًا لدالة احتمالية جومبيرتز ذات معامل مقياس معروف.ب.{\displaystyle b\,\!.}[ 1 ]
  • عندما يكون معامل الشكلη{\displaystyle \eta \,\!}يختلف توزيع جومبيرتز وفقًا لتوزيع جاما ذي معامل شكلα{\displaystyle \alpha \,\!}ومعامل المقياسβ{\displaystyle \beta \,\!}(المتوسط ​​=α/β{\displaystyle \alpha /\beta \,\!})، توزيعx{\displaystyle x}هو جاما/جومبيرتز. [ 1 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. 1 2 بيماور، إيه سي؛ غلادي، ن. (2012)

مراجع