توزيع جومبيرتز

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 34 صور
الموسوعة الحرة

في علم الاحتمالات والإحصاء ، يُعدّ توزيع جومبيرتز توزيعًا احتماليًا متصلًا ، سُمّي نسبةً إلى بنيامين جومبيرتز . يُستخدم توزيع جومبيرتز غالبًا لوصف توزيع أعمار البالغين من قِبل علماء السكان [ 1 ] [ 2 ] وخبراء التأمين [ 3 ] [ 4 ] . كما اعتمدت مجالات علمية ذات صلة، مثل علم الأحياء [ 5 ] وعلم الشيخوخة [ 6 ] ، توزيع جومبيرتز لتحليل البقاء. ومؤخرًا، بدأ علماء الحاسوب أيضًا في نمذجة معدلات فشل برامج الحاسوب باستخدام توزيع جومبيرتز [ 7 ] . في مجال التسويق، استُخدم كمحاكاة على مستوى الأفراد لنمذجة قيمة العميل على مدار حياته [ 8 ] . في نظرية الشبكات ، وتحديدًا نموذج إردوش-ريني ، يتوزع طول مسار المشي العشوائي ذاتي التجنب (SAW) وفقًا لتوزيع جومبيرتز [ 9 ] .

مواصفة

دالة كثافة الاحتمال

دالة كثافة الاحتمال لتوزيع جومبيرتز هي:

و(x؛η،ب)=بηخبرة⁡(η+بx-ηهـبx)ل x≥0،{\displaystyle f\left(x;\eta ,b\right)=b\eta \exp \left(\eta +bx-\eta e^{bx}\right){\text{لـ }}x\geq 0,\,}

أينب>0{\displaystyle b>0\,\!}هو معامل المقياس وη>0{\displaystyle \eta >0\,\!}يمثل معامل الشكل لتوزيع جومبيرتز. في العلوم الاكتوارية والبيولوجية وعلم السكان، يتم تحديد معلمات توزيع جومبيرتز بشكل مختلف قليلاً ( قانون جومبيرتز-ماكهام للوفيات ).

دالة التوزيع التراكمي

دالة التوزيع التراكمي لتوزيع جومبيرتز هي:

F(x؛η،ب)=1-خبرة⁡(-η(هـبx-1))،{\displaystyle F\left(x;\eta ,b\right)=1-\exp \left(-\eta \left(e^{bx}-1\right)\right),}

أينη،ب>0،{\displaystyle \eta ,b>0,}وx≥0.{\displaystyle x\geq 0\,.}

دالة توليد العزوم

دالة توليد العزوم هي:

هـ(هـ-تX)=ηهـηهـت/ب(η){\displaystyle {\text{E}}\left(e^{-tX}\right)=\eta e^{\eta }{\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)}

أين

هـت/ب(η)=∫1∞هـ-ηvv-ت/بدv، ت>0.{\displaystyle {\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)=\int _{1}^{\infty }e^{-\eta v}v^{-t/b}dv,\ t>0.}

ملكيات

يُعد توزيع جومبيرتز توزيعًا مرنًا يمكن أن يكون منحرفًا إلى اليمين وإلى اليسار. دالة المخاطر الخاصة بهح(x)=ηبهـبx{\displaystyle h(x)=\eta be^{bx}}هي دالة محدبة لـF(x؛η،ب){\displaystyle F\left(x;\eta ,b\right)}يمكن إدراج هذا النموذج ضمن نموذج الابتكار والتقليد مع ص=ηب{\displaystyle p=\eta b}كمعامل للابتكار وب{\displaystyle b}كمعامل للتقليد. عندمات{\displaystyle t}يصبح كبيرًا،z(ت){\displaystyle z(t)}الأساليب∞{\displaystyle \infty }يمكن أن ينتمي النموذج أيضًا إلى نموذج الميل إلى التبني مع η{\displaystyle \eta }باعتبارها ميلاً إلى التبني وب{\displaystyle b}باعتبارها الجاذبية العامة للعرض الجديد.

الأشكال

يمكن أن تتخذ دالة كثافة جومبيرتز أشكالًا مختلفة اعتمادًا على قيم معامل الشكلη{\displaystyle \eta \,\!}:

  • متىη≥1،{\displaystyle \eta \geq 1,\,}دالة كثافة الاحتمال لها نمط عند الصفر.
  • متى0<η<1،{\displaystyle 0<\eta <1,\,}دالة كثافة الاحتمال لها نمطها عند
x*=(1/ب)ln⁡(1/η)مع 0<F(x*)<1-هـ-1=0.632121{\displaystyle x^{*}=\left(1/b\right)\ln \left(1/\eta \right){\text{مع }}0<F\left(x^{*}\right)<1-e^{-1}=0.632121}

تباعد كولباك-لايبير

لوو1{\displaystyle f_{1}}وو2{\displaystyle f_{2}}إذا كانت دالتا كثافة الاحتمال لتوزيعين من توزيعات جومبيرتز، فإن تباعد كولباك-لايبير بينهما يُعطى بالعلاقة التالية:

دكل(و1∥و2)=∫0∞و1(x؛ب1،η1)ln⁡و1(x؛ب1،η1)و2(x؛ب2،η2)دx=ln⁡هـη1ب1η1هـη2ب2η2+هـη1[(ب2ب1-1)إي⁡(-η1)+η2η1ب2ب1Γ(ب2ب1+1،η1)]-(η1+1){\displaystyle {\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;b_{1},\eta _{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;b_{1},\eta _{1})}{f_{2}(x;b_{2},\eta _{2})}}dx\\&=\ln {\frac {e^{\eta _{1}}\,b_{1}\,\eta _{1}}{e^{\eta _{2}}\,b_{2}\,\eta _{2}}}+e^{\eta _{1}}\left[\left({\frac \begin{aligned}}} \begin{aligned ...

أينإي⁡(⋅){\displaystyle \operatorname {Ei} (\cdot )}يرمز إلى التكامل الأسي وΓ(⋅،⋅){\displaystyle \Gamma (\cdot ,\cdot )}هي دالة غاما غير الكاملة العليا . [ 10 ]

  • إذا تم تعريف X على أنه نتيجة أخذ عينات من توزيع Gumbel حتى يتم إنتاج قيمة سالبة Y ، ووضع X = − Y ، فإن X له توزيع Gompertz.
  • يُعد توزيع جاما مترافقًا طبيعيًا لدالة احتمالية جومبيرتز ذات معامل مقياس معروف.ب.{\displaystyle b\,\!.}[ 8 ]
  • متىη{\displaystyle \eta \,\!}يختلف وفقًا لتوزيع جاما ذي معامل شكلα{\displaystyle \alpha \,\!}ومعامل المقياسβ{\displaystyle \beta \,\!}(المتوسط ​​=α/β{\displaystyle \alpha /\beta \,\!})، توزيعx{\displaystyle x}هو جاما/جومبيرتز. [ 8 ]
توزيع جومبيرتز الملائم لأقصى هطول للأمطار الشهرية ليوم واحد [ 11 ]
  • لوY∼جيoمصهـرتz{\displaystyle Y\sim \mathrm {جومبرتز} }، ثمX=خبرة⁡(Y)∼دبليوهـأنابuلل-1{\displaystyle X=\exp(Y)\sim \mathrm {ويبول} ^{-1}}وبالتاليخبرة⁡(-Y)∼دبليوهـأنابuلل{\displaystyle \exp(-Y)\sim \mathrm {ويبول} }[ 12 ]​

التطبيقات

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ فوبل، جيمس و. (1986). "كيف يؤثر تغير معدل الوفيات بحسب العمر على متوسط ​​العمر المتوقع" (ملف PDF) . دراسات السكان . 40 (1): 147-157 . doi : 10.1080/0032472031000141896 . PMID 11611920 . 
  2. ↑ بريستون، صموئيل هـ؛ هيوفلين، باتريك؛ غيلو، ميشيل (2001). علم السكان: قياس ونمذجة العمليات السكانية . أكسفورد: بلاكويل.
  3. ↑ بنيامين، برنارد؛ هايكوكس، إتش دبليو؛ بولارد، جيه. (1980). تحليل الوفيات والإحصاءات الاكتوارية الأخرى . لندن: هاينمان.
  4. ↑ ويليمسي، دبليو جيه؛ كوبيلار، إتش. (2000). "استخلاص المعرفة بقانون جومبيرتز للوفيات". المجلة الإسكندنافية للعلوم الاكتوارية . 2000 (2): 168-179 . doi : 10.1080/034612300750066845 . S2CID 122719776 . 
  5. ↑ إيكونوموس، أ. (1982). "معدل الشيخوخة، ومعدل الوفاة، وآلية الوفيات". مجلة أرشيف علم الشيخوخة وطب الشيخوخة . 1 (1): 46-51 . doi : 10.1016/0167-4943(82)90003-6 . PMID 6821142 . 
  6. ↑ براون، ك.؛ فوربس، و. (1974). "نموذج رياضي لعمليات الشيخوخة". مجلة علم الشيخوخة . 29 (1): 46-51 . doi : 10.1093/geronj/29.1.46 . PMID 4809664 . 
  7. ↑ أوهيشي، ك.؛ أوكامورا، هـ.؛ دوي، ت. (2009). "نموذج جومبيرتز لموثوقية البرمجيات: خوارزمية التقدير والتحقق التجريبي" . مجلة الأنظمة والبرمجيات . 82 (3): 535-543 . doi : 10.1016/j.jss.2008.11.840 .
  8. 1 2 3 بيمور، ألبرت سي؛ جلادي، نيكولاس (2012). "نمذجة سلوك الشراء مع "الموت" المفاجئ: نموذج مرن لدورة حياة العميل". علوم الإدارة . 58 (5): 1012-1021 . doi : 10.1287/mnsc.1110.1461 .
  9. ↑ تيسبي، بيهام، كاتساف (2016)، توزيع أطوال مسارات المشي لتجنب الذات على شبكات Erdős-Rényi، أرخايف : 1603.06613 .
  10. ↑ Bauckhage, C. (2014), Characterizations and Kullback–Leibler Divergence of Gompertz Distributions, arXiv : 1402.3193 .
  11. ↑ حاسبة لمطابقة توزيع الاحتمالات
  12. ↑ كلايبر، كريستيان؛ كوتز، صموئيل (2003). التوزيعات الإحصائية للأحجام في الاقتصاد والعلوم الاكتوارية . وايلي. ص 179. doi : 10.1002/0471457175 . ISBN  9780471150640.

مراجع