تمويه غاوسي

في معالجة الصور ، فإن التمويه الغاوسي (المعروف أيضًا باسم التنعيم الغاوسي ) هو نتيجة تمويه الصورة بواسطة دالة غاوسية (سميت على اسم عالم الرياضيات كارل فريدريش غاوس ).

يُعدّ هذا التأثير شائع الاستخدام في برامج الرسومات، ويُستخدم عادةً لتقليل تشويش الصورة وخفض مستوى وضوحها. ويُنتج هذا التمويه ضبابيةً ناعمةً تُشبه رؤية الصورة من خلال شاشة شفافة، وهو يختلف تمامًا عن تأثير البوكيه الناتج عن عدسة غير مركزة أو ظل جسم تحت إضاءة عادية.

يُستخدم التنعيم الغاوسي أيضًا كمرحلة معالجة مسبقة في خوارزميات رؤية الكمبيوتر من أجل تحسين هياكل الصور على نطاقات مختلفة - انظر تمثيل فضاء المقياس وتنفيذ فضاء المقياس .

رياضيًا، يُعادل تطبيق تمويه غاوسي على صورة عملية التفاف الصورة مع دالة غاوسية . يُعرف هذا أيضًا بتحويل فايرشتراس ثنائي الأبعاد . في المقابل، فإن الالتفاف بدائرة (أي تمويه مربع دائري ) يُعيد إنتاج تأثير البوكيه بدقة أكبر .

بما أن تحويل فورييه لدالة غاوسية هو دالة غاوسية أخرى، فإن تطبيق تمويه غاوسي له تأثير في تقليل مكونات التردد العالي للصورة؛ وبالتالي فإن التمويه الغاوسي هو مرشح تمرير منخفض .

يُعدّ التمويه الغاوسي نوعًا من مرشحات تمويه الصور التي تستخدم دالة غاوسية (والتي تُعبّر أيضًا عن التوزيع الطبيعي في الإحصاء) لحساب التحويل الذي يُطبّق على كل بكسل في الصورة. صيغة الدالة الغاوسية في بُعد واحد هي: $${\displaystyle G(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$$

في بعدين، هو ناتج ضرب دالتين غاوسيتين من هذا القبيل، واحدة في كل بعد: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle G(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$$ حيث يُمثل x المسافة من نقطة الأصل على المحور الأفقي، وy المسافة من نقطة الأصل على المحور الرأسي، و σ الانحراف المعياري للتوزيع الغاوسي. تقع نقطة الأصل على هذه المحاور في المركز (0، 0). عند تطبيق هذه الصيغة في بُعدين، ينتج سطحٌ تكون خطوطه الكنتورية دوائر متحدة المركز ، تتبع التوزيع الغاوسي من نقطة المركز.

تُستخدم القيم من هذا التوزيع لإنشاء مصفوفة التفاف تُطبق على الصورة الأصلية. يوضح الشكل على اليمين عملية الالتفاف هذه بصريًا. تُعيّن القيمة الجديدة لكل بكسل كمتوسط ​​مرجح لجوار ذلك البكسل. يحصل البكسل الأصلي على أثقل وزن (لأنه يمتلك أعلى قيمة غاوسية)، بينما تحصل البكسلات المجاورة على أوزان أقل كلما زادت المسافة بينها وبين البكسل الأصلي. ينتج عن ذلك تمويه يحافظ على الحدود والحواف بشكل أفضل من مرشحات التمويه الأخرى الأكثر تجانسًا؛ انظر أيضًا تطبيق فضاء المقياس .

نظريًا، ستكون دالة غاوس عند كل نقطة في الصورة غير صفرية، مما يعني ضرورة تضمين الصورة بأكملها في حسابات كل بكسل. عمليًا، عند حساب تقريب منفصل لدالة غاوس، يكون تأثير البكسلات التي تبعد مسافة تزيد عن 3σ ضئيلاً لدرجة يمكن اعتباره معدومًا فعليًا. وبالتالي، يمكن تجاهل مساهمات البكسلات خارج هذا النطاق. عادةً، يحتاج برنامج معالجة الصور فقط إلى حساب مصفوفة بأبعاد${\displaystyle \lceil 6\sigma \rceil }$×${\displaystyle \lceil 6\sigma \rceil }$(أين${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$( دالة السقف ) لضمان الحصول على نتيجة قريبة بما فيه الكفاية من تلك التي تم الحصول عليها بواسطة التوزيع الغاوسي الكامل.

إضافةً إلى تناظرها الدائري، يمكن تطبيق التمويه الغاوسي على صورة ثنائية الأبعاد كعمليتين حسابيتين أحاديتي البعد مستقلتين، ولذا يُطلق عليها اسم مرشح قابل للفصل . أي أنه يمكن تحقيق تأثير تطبيق المصفوفة ثنائية الأبعاد بتطبيق سلسلة من مصفوفات غاوس أحادية البعد في الاتجاه الأفقي، ثم تكرار العملية في الاتجاه الرأسي. من الناحية الحسابية، تُعد هذه خاصية مفيدة، إذ يمكن إجراء الحساب في${\displaystyle O\left(w_{\text{kernel}}w_{\text{image}}h_{\text{image}}\right)+O\left(h_{\text{kernel}}w_{\text{image}}h_{\text{image}}\right)}$الزمن (حيث h هو الارتفاع و w هو العرض؛ انظر ترميز Big O )، على عكس${\displaystyle O\left(w_{\text{kernel}}h_{\text{kernel}}w_{\text{image}}h_{\text{image}}\right)}$لنواة غير قابلة للفصل.

يُعطي تطبيق تمويه غاوسي متتابع على صورة نفس تأثير تطبيق تمويه غاوسي واحد أكبر، نصف قطره يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات أنصاف أقطار التمويه المُطبقة فعليًا. على سبيل المثال، يُعطي تطبيق تمويه غاوسي متتابع بنصف قطر 6 و8 نفس نتائج تطبيق تمويه غاوسي واحد بنصف قطر 10، لأن${\displaystyle {\sqrt {6^{2}+8^{2}}}=10}$بسبب هذه العلاقة، لا يمكن توفير وقت المعالجة عن طريق محاكاة التمويه الغاوسي باستخدام تمويهات متتالية أصغر حجماً - سيكون الوقت المطلوب على الأقل مساوياً للوقت اللازم لإجراء التمويه الكبير الفردي.

يُستخدم التمويه الغاوسي عادةً عند تصغير حجم الصورة. عند تقليل حجم الصورة، يُطبّق عادةً مرشح تمرير منخفض قبل إعادة أخذ العينات. يضمن ذلك عدم ظهور معلومات الترددات العالية غير المرغوب فيها في الصورة المُصغّرة ( التشويه ). يتميز التمويه الغاوسي بخصائص جيدة، مثل عدم وجود حواف حادة، وبالتالي لا يُسبب تشويشًا في الصورة المُفلترة.

يُعدّ التمويه الغاوسي مرشح تمرير منخفض ، يعمل على تخفيف إشارات التردد العالي. ^{[ 3 ]}

مخطط بود الخاص بالسعة ( المقياس اللوغاريتمي في مجال التردد ) هو قطع مكافئ .

بالنسبة لمرشح غاوسي ذي انحراف معياري${\displaystyle \sigma _{f}}$تم تطبيقها على صورة من وحدات البكسل الرمادية ذات الانحراف المعياري${\displaystyle \sigma _{X}}$، الانحراف المعياري المخفّض${\displaystyle \sigma _{r}}$يمكن تقريب الصورة المُفلترة على النحو التالي:$${\displaystyle \sigma _{r}\approx {\frac {\sigma _{X}}{\sigma _{f}2{\sqrt {\pi }}}}.}$$

تُنتَج مصفوفة العينة هذه عن طريق أخذ عينات من نواة مرشح غاوسي (مع σ = 0.84089642) عند منتصف كل بكسل، ثم تطبيعها. العنصر المركزي (عند [0, 0]) له أكبر قيمة، ويتناقص بشكل متناظر مع ازدياد المسافة من المركز. بما أن أصل نواة المرشح يقع في المركز، فإن المصفوفة تبدأ من${\textstyle G(-R,-R)}$وينتهي عند${\textstyle G(R,R)}$حيث R يساوي نصف قطر النواة.

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0.00000067&0.00002292&{\textbf {0.00019117}}&0.00038771&{\textbf {0.00019117}}&0.00002292&0.00000067\\0.00002292&0.00078633&0.00655965&0.01330373&0.00655965&0.00078633&0.00002292\\{\textbf {0.00019117}}&0.00655965&0.05472157&0.11098164&0.05472157&0.00655965&{\textbf {0.00019117}}\\0.00038771&0.01330373&0.11098164&{\textbf {0.22508352}}&0.11098164&0.01330373&0.00038771\\{\textbf {0.00019117}}&0.00655965&0.05472157&0.11098164&0.05472157&0.00655965&{\textbf {0.00019117}}\\0.00002292&0.00078633&0.00655965&0.01330373&0.00655965&0.00078633&0.00002292\\0.00000067&0.00002292&{\textbf {0.00019117}}&0.00038771&{\textbf {0.00019117}}&0.00002292&0.00000067\end{bmatrix}}}$$

العنصر 0.22508352 (العنصر المركزي) أكبر بمقدار 1177 مرة من 0.00019117 وهو خارج نطاق 3σ.

يتم توليد تأثير التمويه الغاوسي عادةً عن طريق دمج صورة مع نواة FIR ذات قيم غاوسية. ^{[ 4 ]}

عمليًا، يُفضّل الاستفادة من خاصية الفصل في التمويه الغاوسي بتقسيم العملية إلى مرحلتين. في المرحلة الأولى، تُستخدم نواة أحادية البُعد لتمويه الصورة في الاتجاه الأفقي أو الرأسي فقط. وفي المرحلة الثانية، تُستخدم النواة نفسها لتمويه الصورة في الاتجاه المتبقي. والنتيجة هي تأثير مماثل لعملية الالتفاف باستخدام نواة ثنائية البُعد في مرحلة واحدة، ولكن بعدد مراحل أقل.

تُجرى عملية التقطيع عادةً عن طريق أخذ عينات من نواة مرشح غاوس عند نقاط منفصلة، ​​عادةً عند مواضع تُقابل منتصف كل بكسل. يُقلل هذا من التكلفة الحسابية، ولكن بالنسبة لنوى المرشحات الصغيرة جدًا، فإن أخذ عينات من دالة غاوس بعدد قليل جدًا من العينات يؤدي إلى خطأ كبير. في هذه الحالات، تُحافظ على الدقة (بتكلفة حسابية طفيفة) عن طريق تكامل دالة غاوس على مساحة كل بكسل. ^{[ 5 ]}

عند تحويل القيم المتصلة للتوزيع الغاوسي إلى القيم المنفصلة اللازمة للنواة، سيختلف مجموع القيم عن 1. وهذا سيؤدي إلى تغميق الصورة أو تفتيحها. ولحل هذه المشكلة، يمكن تطبيع القيم بقسمة كل حد في النواة على مجموع جميع الحدود فيها.

يُعدّ استخدام النظير المتقطع لنواة غاوسية [ ^{6 ]} نهجًا أفضل بكثير وأكثر رسوخًا من الناحية النظرية ^، إذ يمتلك خصائص مشابهة على نطاق متقطع تجعل نواة غاوسية المستمرة مميزة على نطاق مستمر. على سبيل المثال، النواة التي تُقابل حل معادلة انتشار تصف عملية تنعيم مكاني، وتخضع لخاصية شبه المجموعة على مجاميع تباين النواة، أو التي تصف تأثير الحركة البراونية على نطاق مكاني، ويكون مجموع قيمها مساويًا تمامًا لـ 1. لمزيد من التفاصيل حول النظير المتقطع لنواة غاوسية، يُرجى مراجعة المقالة الخاصة بتنفيذ فضاء المقياس ^{[ 6 ]} .

تتراجع كفاءة مرشح FIR عند قيم سيجما العالية. توجد بدائل لمرشح FIR، منها تقنية التمويه الصندوقي المتعدد السريعة جدًا، وكاشف حواف IIR Deriche السريع والدقيق ، وتقنية "التمويه المكدس" القائمة على التمويه الصندوقي، وغيرها. ^{[ 7 ]}

لمعالجة الإشارات الزمنية أو مقاطع الفيديو المسجلة مسبقًا، يمكن استخدام نواة غاوس لتنعيم المجال الزمني، نظرًا لأن البيانات مسجلة مسبقًا ومتاحة في جميع الاتجاهات. أما عند معالجة الإشارات الزمنية أو مقاطع الفيديو في الوقت الفعلي، فلا يمكن استخدام نواة غاوس للتنعيم الزمني، لأنها ستصل إلى بيانات مستقبلية، وهي بيانات غير متاحة. ولتنعيم البيانات في الوقت الفعلي، يمكن استخدام نواة زمنية تُعرف بنواة الحد الزمني السببي ^{[ 8 ]} ، والتي تتميز بخصائص مشابهة في الحالة الزمنية السببية (عدم إنشاء هياكل جديدة مع زيادة المقياس وتغاير المقياس الزمني) لتلك التي تتميز بها نواة غاوس في الحالة غير السببية. تتوافق نواة الحد الزمني السببي مع عملية الالتفاف باستخدام عدد لا نهائي من النوى الأسية المقتطعة المتصلة على التوالي، مع ثوابت زمنية مختارة بعناية. بالنسبة للبيانات المنفصلة، ​​يمكن في كثير من الأحيان تقريب هذه النواة عدديًا بشكل جيد بواسطة مجموعة صغيرة من المرشحات التكرارية من الدرجة الأولى المتصلة على التوالي، انظر ^{[ 8 ]} لمزيد من التفاصيل.

• فرق التوزيعات الغاوسية
• تشويش الصورة
• مرشح غاوسي
• الهرم الغاوسي
• استجابة نبضية لا نهائية (IIR)
• تنفيذ مساحة المقياس
• مرشح الوسيط
• تحويل فايرشتراس

• تطبيق GLSL لمرشح تمويه غاوسي قابل للفصل .
• مثال على التمويه الغاوسي (الترشيح المنخفض) المطبق على طباعة خشبية ونقش لإزالة التفاصيل من أجل مقارنة الصور.
• دالة مرشح غاوسي في برنامج Mathematica

• دالة التمويه الغاوسي في مكتبة OpenCV (C++)