حلزوني معمّم

تحريك نقطة على منحنى لولبي يعني تدوير النقطة وإزاحتها على طول خط (محور) بحيث تكون الإزاحة متناسبة مع زاوية الدوران. والنتيجة هي حلزون دائري .

إذا كان المحور هو المحور z ، فإن حركة نقطة${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$يمكن وصفها بارامتريًا بواسطة

${\displaystyle \mathbf {p} (\varphi )={\begin{pmatrix}x_{0}\cos \varphi -y_{0}\sin \varphi \\x_{0}\sin \varphi +y_{0}\cos \varphi \\z_{0}+c\;\varphi \end{pmatrix}}\ ,\ \varphi \in \mathbb {R} \ .}$

${\displaystyle c\neq 0}$يُطلق عليه اسم الميل ، الزاوية${\displaystyle \varphi }$وتقاس هذه الزاوية بالراديان، وتسمى زاوية اللولب و${\displaystyle h=c\;2\pi }$درجة الصوت (باللون الأخضر). أثر النقطة عبارة عن حلزون دائري (باللون الأحمر). يقع هذا الحلزون على سطح أسطوانة دائرية قائمة . نصف قطره هو المسافة من النقطة. ${\displaystyle P_{0}}$إلى المحور z .

في حالة ${\displaystyle c>0}$يُطلق على اللولب اسم اللولب الأيمن ؛ وإلا فيُقال إنه لولب أيسر . (في حالة${\displaystyle c=0}$الحركة عبارة عن دوران حول المحور z .

الحركة اللولبية للمنحنى

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=(x(t),y(t),z(t))^{T},\ t_{1}\leq t\leq t_{2}\ ,}$

ينتج عنه شكل حلزوني معمّم ذو تمثيل بارامتري

• ${\displaystyle \mathbf {S} (t,\varphi )={\begin{pmatrix}x(t)\cos \varphi -y(t)\sin \varphi \\x(t)\sin \varphi +y(t)\cos \\varphi \\z(t)+c\;\varphi \end{pmatrix}}\ ,\quad t_{1}\leq t\leq t_{2},\ \varphi \in \mathbb {R} \ .}$

المنحنيات${\displaystyle \mathbf {S} (t={\text{constant}},\varphi )}$هي حلزونات دائرية. المنحنيات${\displaystyle \mathbf {S} (t,\varphi ={\text{constant}})}$هي نسخ من منحنى الملف الشخصي المحدد.

مثال: بالنسبة للصورة الأولى أعلاه، فإن خط الزوال عبارة عن قطع مكافئ .

إذا كان منحنى الشكل خطًا مستقيمًا، فإنه ينتج عنه شكل حلزوني عام مُسطّر . وهناك أربعة أنواع:

(1) يتقاطع الخط مع المحور بشكل عمودي. نحصل على شكل حلزوني ( حلزوني معمّم مغلق ذو خطوط يمين ).

(2) يتقاطع الخط مع المحور، ولكن ليس بشكل عمودي. ينتج عن ذلك شكل مغلق مائل .

إذا كان الخط المعطى والمحور خطوطًا مائلة، فسيحصل المرء على نوع مفتوح ولن يكون المحور جزءًا من السطح (انظر الصورة).

(3) إذا كان الخط المعطى والمحور خطوطًا متخالفة وكان الخط موجودًا في مستوى متعامد مع المحور، فإن المرء يحصل على نوع مفتوح قائم أو حلزون مفتوح باختصار .

(4) إذا كان الخط والمحور مائلين ولم يكن الخط موجودًا في ... (s. 3) فسيحصل المرء على نوع مفتوح مائل .

تتقاطع الأنواع المائلة مع بعضها البعض (انظر الصورة)، بينما لا تتقاطع الأنواع القائمة (الحلزونية).

نحصل على حالة مثيرة للاهتمام، إذا كان الخط منحرفًا عن المحور وحاصل ضرب المسافة بينهما${\displaystyle d}$إلى المحور وميله هو بالضبط${\displaystyle c}$في هذه الحالة، يكون السطح سطحًا قابلًا للتطوير مماسًا ، ويتم توليده بواسطة الدليل. ${\displaystyle (d\cos \varphi ,d\sin \varphi ,c\varphi )}$.

ملاحظة:

1. تُعتبر الأسطح الحلزونية (المفتوحة والمغلقة) أسطحًا كاتالانية . أما النوع المغلق (الحلزون الشائع) فهو في الواقع مخروطي الشكل.
2. الأسطح الحلزونية المعممة المسطرة ليست أسطحًا جبرية.

للحلزون المعمم المغلق خط جانبي يتقاطع مع المحور. إذا تم وصف الخط الجانبي بواسطة ${\displaystyle (t,0,z_{0}+m\;t)^{T}}$ نحصل على التمثيل البارامتري التالي

• ${\displaystyle \mathbf {S} (t,\varphi )={\begin{pmatrix}t\cos \varphi \\t\sin \varphi \\z_{0}+mt+c\varphi \end{pmatrix}}\ .}$

لو${\displaystyle m=0}$(السطح الحلزوني الشائع) لا يتقاطع مع نفسه. إذا${\displaystyle m\neq 0}$(النوع المائل) يتقاطع السطح مع نفسه والمنحنيات (على السطح)

${\displaystyle \mathbf {S} (t_{i},\varphi )}$مع${\displaystyle t_{i}={\frac {h}{4m}}(2i+1),\ i=1,2,\ldots }$

تتكون من نقاط مزدوجة . توجد منحنيات مزدوجة لا نهائية. كلما صغرت ${\displaystyle |m|}$كلما زادت المسافات بين المنحنيات المزدوجة.

للدليل (الحلزون)

${\displaystyle \mathbf {x} (\varphi )=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,c\varphi )^{T}}$

يمكن الحصول على التمثيل البارامتري التالي للسطح المماسي القابل للتطوير :

• ${\displaystyle \mathbf {S} (t,\varphi )=\mathbf {x} (\varphi )+t\mathbf {\dot {x}} (\varphi )={\begin{pmatrix}r\cos \varphi -tr\sin \varphi \\r\sin \varphi +tr\cos \varphi \\c(t+\varphi )\end{pmatrix}}\ .}$

متجه السطح العمودي هو

${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {S} _{t}\times \mathbf {S} _{\varphi }=\mathbf {\dot {x}} \times (\mathbf {\dot {x}} +t\mathbf {\ddot {x}} )=t(\mathbf {\dot {x}} \times \mathbf {\ddot {x}} )=t{\begin{pmatrix}cr\sin \varphi \\-cr\cos \varphi \\r^{2}\end{pmatrix}}\ .}$

ل${\displaystyle t=0}$المتجه العمودي هو المتجه الصفري. لذا، يتكون الدليل من نقاط شاذة. يفصل الدليل بين جزأين منتظمين من السطح (انظر الصورة).