سطح القناة

في الهندسة والطوبولوجيا ، يُعرف سطح القناة أو سطح القناة بأنه سطح يتكون من غلاف مجموعة من الكرات التي تقع مراكزها على منحنى فضائي يُسمى دليلها . إذا كانت أنصاف أقطار الكرات المولدة ثابتة، يُسمى سطح القناة سطح الأنبوب . ومن الأمثلة البسيطة على ذلك:

• أسطوانة دائرية قائمة (سطح الأنبوب، الدليل هو خط، محور الأسطوانة)
• الطارة (سطح الأنبوب، الدليل عبارة عن دائرة)،
• مخروط دائري قائم (سطح القناة، الدليل هو خط (المحور)، أنصاف أقطار الكرات ليست ثابتة)،
• سطح الدوران (سطح القناة، الدليل هو خط).

تلعب أسطح القنوات دورًا أساسيًا في الهندسة الوصفية ، لأنه في حالة الإسقاط المتعامد، يمكن رسم منحنى محيطها كغلاف للدوائر.

• في المجال التقني، يمكن استخدام أسطح القنوات لمزج الأسطح بسلاسة.

بالنظر إلى مجموعة الأسطح الضمنية

${\displaystyle \Phi _{c}:f({\mathbf {x} },c)=0,c\in [c_{1},c_{2}]}$،

سطحان متجاوران${\displaystyle \Phi _{c}}$و ${\displaystyle \Phi _{c+\Delta c}}$تتقاطع في منحنى يحقق المعادلات

${\displaystyle f({\mathbf {x} },c)=0}$و${\displaystyle f({\mathbf {x} },c+\Delta c)=0}$.

للحد${\displaystyle \Delta c\to 0}$يحصل المرء ${\displaystyle f_{c}({\mathbf {x} },c)=\lim _{\Delta c\to \ 0}{\frac {f({\mathbf {x} },c)-f({\mathbf {x} },c+\Delta c)}{\Delta c}}=0}$المعادلة الأخيرة هي سبب التعريف التالي.

• يترك${\displaystyle \Phi _{c}:f({\mathbf {x} },c)=0,c\in [c_{1},c_{2}]}$ليكن قلمًا ذا معلمة واحدة من الضمنية المنتظمة${\displaystyle C^{2}}$الأسطح (${\displaystyle f}$(قابلة للتفاضل مرتين على الأقل بشكل مستمر). السطح المحدد بالمعادلتين

  ${\displaystyle f({\mathbf {x} },c)=0,\quad f_{c}({\mathbf {x} },c)=0}$

هو غلاف مجموعة الأسطح المعطاة. ^{[ 1 ]}

يترك${\displaystyle \Gamma$ لتكن x = c(u) = (a(u), b(u), c(u))^{\top } منحنىً منتظمًا في الفضاء و${\displaystyle r(t)}$أ${\displaystyle C^{1}}$- دالة مع${\displaystyle r>0}$و${\displaystyle |{\dot {r}}|<\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}$يعني الشرط الأخير أن انحناء المنحنى أقل من انحناء الكرة المقابلة له. غلاف حزمة الكرات ذات المعامل الواحد

${\displaystyle f({\mathbf {x} };u):={\big \|}{\mathbf {x} }-{\mathbf {c} }(u){\big \|}^{2}-r^{2}(u)=0}$

يُطلق عليه سطح القناة و${\displaystyle \Gamma }$دليلها . إذا كانت أنصاف الأقطار ثابتة، فإنها تسمى سطح أنبوب .

حالة الظرف

${\displaystyle f_{u}({\mathbf {x} },u)=2{\Big (}-{\big (}{\mathbf {x} }-{\mathbf {c} }(u){\big )}^{\top }{\dot {\mathbf {c} }}(u)-r(u){\dot {r}}(u){\Big )}=0}$

يكون سطح القناة أعلاه لأي قيمة من${\displaystyle u}$معادلة المستوى الذي يكون متعامدًا مع المماس ${\displaystyle {\dot {\mathbf {c} }}(u)}$للدليل. ومن ثم، فإن الغلاف عبارة عن مجموعة من الدوائر. هذه الخاصية هي المفتاح لتمثيل بارامتري لسطح القناة. مركز الدائرة (للمعامل)${\displaystyle u}$) لها المسافة ${\displaystyle d:={\frac {r{\dot {r}}}{\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}<r}$(انظر الشرط أعلاه) من مركز الكرة المقابلة ونصف قطرها هو${\displaystyle {\sqrt {r^{2}-d^{2}}}}$. لذلك

• ${\displaystyle {\mathbf {x} }={\mathbf {x} }(u,v):={\mathbf {c} }(u)-{\frac {r(u){\dot {r}}(u)}{\|{\dot {\mathbf {c} }}(u)\|^{2}}}{\dot {\mathbf {c} }}(u)+r(u){\sqrt {1-{\frac {{\dot {r}}(u)^{2}}{\|{\dot {\mathbf {c} }}(u)\|^{2}}}}}{\big (}{\mathbf {e} }_{1}(u)\cos(v)+{\mathbf {e} } _ {2}(u)\sin(v){\big )},}$

حيث المتجهات${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2}}$والمتجه المماس${\displaystyle {\dot {\mathbf {c} }}/\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}$^{[ 2 ]} تشكل أساسًا متعامدًا ، وهي تمثيل بارامتري لسطح القناة.

ل${\displaystyle {\dot {r}}=0}$يمكن الحصول على التمثيل البارامتري لسطح الأنبوب :

• ${\displaystyle {\mathbf {x} }={\mathbf {x} }(u,v):={\mathbf {c} }(u)+r{\big (}{\mathbf {e} }_{1}(u)\cos(v)+{\mathbf {e} }_{2}(u)\sin(v){\big )}.}$

أ) تُظهر الصورة الأولى سطح قناة مع

1. الحلزون${\displaystyle (\cos(u),\sin(u),0.25u),u\in [0,4]}$كمخرجة و
2. دالة نصف القطر${\displaystyle r(u):=0.2+0.8u/2\pi }$.
3. الخيار لـ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2}}$وهو كالتالي:

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}:=({\dot {b}},-{\dot {a}},0)/\|\cdots \|,\ {\mathbf {e} }_{2}:=({\mathbf {e} }_{1}\times {\dot {\mathbf {c} }})/\|\cdots \|}$.

ب) بالنسبة للصورة الثانية، يكون نصف القطر ثابتًا:${\displaystyle r(u):=0.2}$أي أن سطح القناة هو سطح أنبوب.

ج) بالنسبة للصورة 3، فإن سطح الأنبوب ب) له معلمات${\displaystyle u\in [0,7.5]}$.

د) تُظهر الصورة الرابعة عقدة أنبوبية. دليلها عبارة عن منحنى على سطح حلقي.

هـ) تُظهر الصورة الخامسة حلقة دوبين (سطح القناة).

• سطح متوازٍ

• هيلبرت، ديفيد ؛ كوهن-فوسن، ستيفان (1952). الهندسة والخيال (  الطبعة الثانية). تشيلسي. ص 219. ISBN  0-8284-1087-9.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

• م. بيترنيل وهـ. بوتيمان: حساب المعلمات العقلانية لأسطح القنوات