الحلزون

يمكن أن تكون اللوالب إما يمينية أو يسارية. عند النظر على طول محور اللولب، إذا أدت حركة لولبية باتجاه عقارب الساعة إلى إبعاد اللولب عن الراصد، يُسمى لولبًا يمينيًا؛ وإذا أدت إلى إبعاده، يُسمى لولبًا يساريًا. تُعدّ الالتفافية (أو الكيرالية ) خاصيةً للولب نفسه، وليست خاصيةً للمنظور: لا يمكن تحويل اللولب اليميني ليبدو يساريًا إلا عند النظر إليه في المرآة، والعكس صحيح.

حلزون دائري نصف قطره${\displaystyle a>0}$والميل a / b ( أو الخطوة 2 πb ) معبر عنه في الإحداثيات الديكارتية كمعادلة بارامترية

${\displaystyle t\mapsto (a\cos t,a\sin t,bt),t\in [0,T]}$

يبلغ طول قوسه

${\displaystyle A=T\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}$

انحناء من​

${\displaystyle {\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},}$

والتواء من​

${\displaystyle {\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.}$

طول القوس لكل دورة (${\displaystyle T=2\pi }$): ${\displaystyle A={\sqrt {(2\pi a)^{2}+(2\pi b)^{2}}}}$ أو ${\displaystyle A={\sqrt {(2\pi a)^{2}+p^{2}}}}$ أين${\displaystyle p=}$يقذف.

طول الالتواء لكل وحدة طول مستقيم (الطول المحوري): ${\displaystyle A={\frac {\sqrt {(2\pi a)^{2}+p^{2}}}{p}}}$

يتميز الحلزون بانحناء والتواء ثابتين غير صفريين.

الحلزون هو دالة ذات قيم متجهة

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=a\cos t\mathbf {i} +a\sin t\mathbf {j} +bt\mathbf {k} \\[6px]\mathbf {v} &=-a\sin t\mathbf {i} +a\cos t\mathbf {j} +b\mathbf {k} \\[6px]\mathbf {a} &=-a\cos t\mathbf {i} -a\sin t\mathbf {j} +0\mathbf {k} \\[6px]|\mathbf {v} |&={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}+b^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\\[6px]|\mathbf {a} |&={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}}}=a\\[6px]s(t)&=\int _{0}^{t}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}d\tau ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}t\end{aligned}}}$$

لذا يمكن إعادة تحديد معلمات الحلزون كدالة لـ s ، والتي يجب أن تكون سرعة الوحدة:

$${\displaystyle \mathbf {r} (s)=a\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +a\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {bs}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k} }$$

متجه الوحدة المماس هو

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {T} ={\frac {-a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k} }$$

المتجه العمودي هو

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {T} }{ds}}=\kappa \mathbf {N} ={\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} }$$

انحناؤه هو

$${\displaystyle \kappa =\left|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\right|={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}}$$.

متجه الوحدة العمودي هو

$${\displaystyle \mathbf {N} =-\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} }$$

المتجه العمودي الثنائي هو

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} &={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\left(b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +a\mathbf {k} \right)\\[12px]{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} \right)\end{aligned}}}$$

التواءه هو $${\displaystyle \tau =\left|{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}\right|={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.}$$