الانحراف الجيوديسي

في النسبية العامة ، إذا تحرك جسمان على مسارين متوازيين في البداية، فإن وجود قوة جاذبية مدية سيؤدي إلى انحناء المسارين باتجاه بعضهما البعض أو بعيدًا عن بعضهما البعض، مما ينتج عنه تسارع نسبي بين الجسمين. ^{[ 1 ]}

رياضيًا، تُوصف قوة المد والجزر في النسبية العامة بواسطة موتر انحناء ريمان ، ^{[ 1 ]} ويُطلق على مسار جسم ما تحت تأثير الجاذبية فقط اسم المسار الجيوديسي . تربط معادلة انحراف المسار الجيوديسي موتر انحناء ريمان بالتسارع النسبي لمسارين جيوديسيين متجاورين. في الهندسة التفاضلية ، تُعرف معادلة انحراف المسار الجيوديسي باسم معادلة جاكوبي .

لتقدير الانحراف الجيوديسي، نبدأ بإنشاء مجموعة من الجيوديسيات المتقاربة، مُفهرسة بمتغير مستمر _s ، ومُعَلمة بمعامل تآلفي τ . أي، لكل قيمة ثابتة لـ s ، يكون المنحنى الذي يرسمه γs ( τ ) مع تغير τ هو جيوديسي. عند دراسة الجيوديسية لجسم ضخم، غالبًا ما يكون من الملائم اختيار τ ليكون الزمن الخاص بالجسم . إذا كانت ^xμ ( s , τ ) هي إحداثيات الجيوديسية γs ₍ τ ) ، فإن متجه المماس لهذه الجيوديسية هو

${\displaystyle T^{\mu }={\frac {\partial x^{\mu }(s,\tau )}{\partial \tau }}.}$

إذا كان τ هو الزمن الخاص، فإن T ^μ هي السرعة الرباعية للجسم الذي يتحرك على طول المسار الجيوديسي.

يمكن أيضاً تعريف متجه الانحراف ، وهو إزاحة جسمين يتحركان على طول مسارين جيوديسيين منفصلين بشكل متناهي الصغر:

${\displaystyle X^{\mu }={\frac {\partial x^{\mu }(s,\tau )}{\partial s}}.}$

يُعرَّف التسارع النسبي Aμ للجسمين، تقريبًا، بأنه المشتقة الثانية لمتجه الفصل ^Xμ عندما يتقدم الجسمان على طول مساريهما الجيوديسيين. وبالتحديد، يُحسب Aμ بأخذ المشتقة الاتجاهية المتغيرة لـ X ^على طول ^T مرتين.

${\displaystyle A^{\mu }=T^{\alpha }\nabla _{\alpha }\left(T^{\beta }\nabla _{\beta }X^{\mu }\right).}$

تتعلق معادلة الانحراف الجيوديسية بـ A ^μ و T ^μ و X ^μ وموتر ريمان R ^μ _νρσ : ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle A^{\mu }={R^{\mu }}_{\nu \rho \sigma }T^{\nu }T^{\rho }X^{\sigma }.}$

تدوين بديل للمشتقة المتغيرة الاتجاهية${\displaystyle T^{\alpha }\nabla _{\alpha }}$يكون${\displaystyle D/d\tau }$لذا يمكن كتابة معادلة الانحراف الجيوديسي أيضًا على النحو التالي

${\displaystyle {\frac {D^{2}X^{\mu }}{d\tau ^{2}}}={R^{\mu }}_{\nu \rho \sigma }T^{\nu }T^{\rho }X^{\sigma }.}$

يمكن اشتقاق معادلة الانحراف الجيوديسي من التغير الثاني لدالة لاغرانج للجسيم النقطي على طول المسارات الجيوديسية، أو من التغير الأول لدالة لاغرانج مركبة. يتميز منهج لاغرانج بميزتين: أولاً، يسمح بتطبيق مناهج تكميمية رسمية متنوعة على نظام الانحراف الجيوديسي. ثانياً، يسمح بصياغة الانحراف لأجسام أكثر عمومية من المسارات الجيوديسية (أي نظام ديناميكي له زخم مُفهرس في الزمكان يبدو أنه يمتلك تعميماً مماثلاً للانحراف الجيوديسي).

يمكن ملاحظة العلاقة بين الانحراف الجيوديسي والتسارع المدّي بشكل أوضح من خلال دراسة الانحراف الجيوديسي في حالة المجال الضعيف ، حيث يكون المقياس تقريبًا مينكوفسكي، وتُفترض سرعات الجسيمات الاختبارية أقل بكثير من سرعة الضوء ( ^c ) . عندئذٍ يكون متجه المماس Tμ تقريبًا (1، 0، 0، 0)؛ أي أن المكون الزمني فقط هو غير الصفري.

تُعطى المكونات المكانية للتسارع النسبي بالصيغة التالية:

${\displaystyle A^{i}={R^{i}}_{0j0}X^{j},}$

حيث يعمل i و j فقط على المؤشرات المكانية 1 و 2 و 3.

في الحالة الخاصة لمقياس يتوافق مع الجهد النيوتوني Φ( x , y , z ) لجسم ضخم عند x = y = z = 0، لدينا

${\displaystyle {R^{i}}_{0j0}=-{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{i}\partial x^{j}}},}$

وهو موتر المد والجزر للجهد النيوتوني.

• برنارد ريمان
• انحناء
• مسرد مصطلحات الهندسة الريمانية والهندسة المترية

• ستيفاني، هانز (1982)، النسبية العامة - مقدمة لنظرية مجال الجاذبية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-37066-3.
• والد، روبرت م. (1984)، النسبية العامة ، مطبعة جامعة شيكاغو، رقم ISBN 978-0-226-87033-5.

• النسبية العامة وعلم الكون الكمي
• الموترات والنسبية: الانحراف الجيوديسي ( مؤرشف بتاريخ 16 نوفمبر 2011 في أرشيف الإنترنت)