الجاذبية الخطية

عملية تفكيك الزمكان العام${\displaystyle g_{\mu \nu }}$إن تحويل البيانات إلى مقياس مينكوفسكي بالإضافة إلى حد الاضطراب ليس فريدًا. وذلك لأن الخيارات المختلفة للإحداثيات قد تعطي أشكالًا مختلفة لـ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$. من أجل فهم هذه الظاهرة، يتم تقديم مفهوم تناظر القياس .

تُعد تناظرات القياس أداة رياضية لوصف نظام لا يتغير عند "إزاحة" نظام الإحداثيات الأساسي بمقدار متناهي الصغر. لذا، على الرغم من أن مقياس الاضطراب${\displaystyle h_{\mu \nu }}$لا يتم تعريفها بشكل متسق بين أنظمة الإحداثيات المختلفة، النظام الكلي الذي تصفه هو .

ولتوضيح ذلك بشكل رسمي، فإن عدم تفرد الاضطراب${\displaystyle h_{\mu \nu }}$يُصوَّر على أنه نتيجة لمجموعة متنوعة من التحويلات التفاضلية على الزمكان التي تترك${\displaystyle h_{\mu \nu }}$صغيرة بما فيه الكفاية. لذلك، من الضروري أن${\displaystyle h_{\mu \nu }}$يمكن تعريفها بدلالة مجموعة عامة من التحويلات التفاضلية، ثم اختيار المجموعة الفرعية من هذه التحويلات التي تحافظ على المقياس الصغير المطلوب لتقريب المجال الضعيف. وبالتالي، يمكن تعريف${\displaystyle \phi }$للدلالة على تحويل تفاضلي عشوائي يحول فضاء مينكوفسكي المسطح إلى فضاء أكثر عمومية ممثل بالمقياس${\displaystyle g_{\mu \nu }}$وبناءً على ذلك، يمكن تعريف مقياس الاضطراب بأنه الفرق بين التراجع لـ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ومقياس مينكوفسكي:

${\displaystyle h_{\mu \nu }=(\phi ^{*}g)_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }.}$

التحولات التباينية${\displaystyle \phi }$وبالتالي يمكن اختيارها بحيث${\displaystyle \vert h_{\mu \nu }\vert \ll 1}$⁠ .

بفرض حقل متجه${\displaystyle \xi ^{\mu }}$معرفة على خلفية الزمكان المسطحة، عائلة إضافية من التشاكلات التفاضلية${\displaystyle \psi _{\epsilon }}$يمكن تعريفها بأنها تلك التي تم إنشاؤها بواسطة${\displaystyle \xi ^{\mu }}$وتم تحديدها بواسطة${\displaystyle \epsilon >0}$ستُستخدم هذه التحويلات التفاضلية الجديدة لتمثيل تحويلات الإحداثيات لـ "الإزاحات المتناهية الصغر" كما نوقش أعلاه. بالإضافة إلى${\displaystyle \phi }$، تُعطى عائلة من الاضطرابات بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}&=[(\phi \circ \psi _{\epsilon })^{*}g]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=[\psi _{\epsilon }^{*}(\phi ^{*}g)]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=\psi _{\epsilon }^{*}(h+\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=(\psi _{\epsilon }^{*}h)_{\mu \nu }+\epsilon \left[{\frac {(\psi _{\epsilon }^{*}\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }}{\epsilon }}\right].\end{aligned}}}$

لذلك، في النهاية${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$،​

${\displaystyle h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon {\mathcal {L}}_{\xi }\eta _{\mu \nu }}$

أين${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }}$هي مشتقة لي على طول حقل المتجهات${\displaystyle \xi _{\mu }}$⁠ .

تُؤدي مشتقة لي إلى التحويل القياسي النهائي لمقياس الاضطراب ⁠${\displaystyle h_{\mu \nu }}$⁠ :

${\displaystyle h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon (\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }),}$

والتي تحدد بدقة مجموعة مقاييس الاضطراب التي تصف النظام الفيزيائي نفسه. بعبارة أخرى، فهي تميز تناظر القياس لمعادلات المجال الخطية.

من خلال استغلال خاصية ثبات القياس، يمكن ضمان خصائص معينة لمقياس الاضطراب عن طريق اختيار حقل متجه مناسب .${\displaystyle \xi ^{\mu }}$⁠ .