أربع سرعات

انطلاقاً من تمدد الزمن ، ترتبط التفاضلات في الزمن الإحداثي t والزمن الخاص τ بالعلاقة التالية:$${\displaystyle dt=\gamma (u)d\tau }$$ حيث عامل لورنتز ، $${\displaystyle \gamma (u)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\,,}$$ هي دالة للمعيار الإقليدي u لمتجه السرعة ثلاثي الأبعاد${\displaystyle {\vec {u}}}$:$${\displaystyle u=\left\|\ {\vec {u}}\ \right\|={\sqrt {\left(u^{1}\right)^{2}+\left(u^{2}\right)^{2}+\left(u^{3}\right)^{2}}}\,.}$$

السرعة الرباعية هي المتجه الرباعي المماس لخط زمني عالمي . السرعة الرباعية${\displaystyle \mathbf {U} }$في أي نقطة من خط العالم${\displaystyle \mathbf {X} (\tau )}$يُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}}$$ أين${\displaystyle \mathbf {X} }$هو الوضع الرابع و${\displaystyle \tau }$هذا هو الوقت المناسب . ^{[ 1 ]}

إن السرعة الرباعية المحددة هنا باستخدام الزمن الخاص لجسم ما لا توجد لخطوط العالم للأجسام عديمة الكتلة مثل الفوتونات التي تسافر بسرعة الضوء؛ كما أنها غير محددة لخطوط العالم التاكيونية ، حيث يكون متجه المماس فضائيًا .

تُعرَّف العلاقة بين الزمن t والزمن الإحداثي x₀ كما يلي ^:$${\displaystyle x^{0}=ct.}$$

بأخذ مشتقة هذا بالنسبة للزمن الخاص τ ، نجد مركبة السرعة U ^μ لـ μ = 0 : $${\displaystyle U^{0}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}={\frac {d(ct)}{d\tau }}=c{\frac {dt}{d\tau }}=c\gamma (u)}$$

وبالنسبة للمكونات الثلاثة الأخرى للزمن المناسب، نحصل على مكون السرعة U ^μ لـ μ = 1، 2، 3 : $${\displaystyle U^{i}={\frac {dx^{i}}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}\gamma (u)=\gamma (u)u^{i}}$$ حيث استخدمنا قاعدة السلسلة والعلاقات $${\displaystyle u^{i}={dx^{i} \over dt}\,,\quad {\frac {dt}{d\tau }}=\gamma (u)}$$

وهكذا، نجد بالنسبة للسرعة الرباعية${\displaystyle \mathbf {U} }$:$${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma {\begin{bmatrix}c\\{\vec {u}}\\\end{bmatrix}}.}$$

مكتوبة بالصيغة القياسية للمتجهات الرباعية كما يلي: $${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\vec {u}}\right)}$$ أين${\displaystyle \gamma c}$هو المكون الزمني و${\displaystyle \gamma {\vec {u}}}$هو المكون المكاني.

فيما يتعلق بالساعات والمساطر المتزامنة المرتبطة بشريحة معينة من الزمكان المسطح، فإن المكونات المكانية الثلاثة للسرعة الرباعية تحدد السرعة الذاتية لجسم متحرك.${\displaystyle \gamma {\vec {u}}=d{\vec {x}}/d\tau }$أي المعدل الذي يتم به قطع المسافة في إطار الخريطة المرجعية لكل وحدة زمنية خاصة منقضية على الساعات التي تتحرك مع الجسم.

بخلاف معظم المتجهات الرباعية الأخرى، فإن السرعة الرباعية لها 3 مركبات مستقلة فقط${\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$بدلاً من 4.${\displaystyle \gamma }$العامل هو دالة للسرعة ثلاثية الأبعاد${\displaystyle {\vec {u}}}$.

عندما يتم ضرب بعض الكميات القياسية لورنتز في السرعة الرباعية، فإن المرء يحصل بعد ذلك على متجهات رباعية فيزيائية جديدة لها 4 مكونات مستقلة.

على سبيل المثال:

• الزخم الرباعي :$${\displaystyle \mathbf {P} =m_{o}\mathbf {U} =\gamma m_{o}\left(c,{\vec {u}}\right)=m\left(c,{\vec {u}}\right)=\left(mc,m{\vec {u}}\right)=\left(mc,{\vec {p}}\right)=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right),}$$أين${\displaystyle m_{o}}$كتلة السكون
• كثافة التيار الرباعي :$${\displaystyle \mathbf {J} =\rho _{o}\mathbf {U} =\gamma \rho _{o}\left(c,{\vec {u}}\right)=\rho \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\rho c,\rho {\vec {u}}\right)=\left(\rho c,{\vec {j}}\right),}$$أين${\displaystyle \rho _{o}}$هي كثافة الشحنة

في الواقع،${\displaystyle \gamma }$يتحد العامل مع الحد القياسي لورنتز لتكوين المكون المستقل الرابع $${\displaystyle m=\gamma m_{o}}$$و$${\displaystyle \rho =\gamma \rho _{o}.}$$

باستخدام تفاضل الموضع الرباعي في إطار السكون، يمكن الحصول على مقدار السرعة الرباعية بواسطة مقياس مينكوفسكي ذي الإشارة (−, +, +, +) : $${\displaystyle \left\|\mathbf {U} \right\|^{2}=\eta _{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=\eta _{\mu \nu }{\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX^{\nu }}{d\tau }}=-c^{2}\,,}$$ باختصار، مقدار السرعة الرباعية لأي جسم هو دائمًا ثابت: $${\displaystyle \left\|\mathbf {U} \right\|^{2}=-c^{2}}$$

في الإطار المتحرك، يكون المعيار نفسه كما يلي: $${\displaystyle \left\|\mathbf {U} \right\|^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(-c^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right),}$$ لهذا السبب: $${\displaystyle -c^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(-c^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right),}$$

والذي يختزل إلى تعريف عامل لورنتز.