نظرية دائرة جيرشجورين

في الرياضيات ، يمكن استخدام نظرية دائرة جيرشجورين لتحديد طيف مصفوفة مربعة . وقد نشرها لأول مرة عالم الرياضيات السوفييتي سيميون أرونوفيتش جيرشجورين في عام 1931. وقد نُسخ اسم جيرشجورين بعدة طرق مختلفة، بما في ذلك جيرشجورين، وجيرشجورين، وجيرشجورين، وهيرشهورن، وهيرشهورن.

لتكن مصفوفة معقدة ، مع إدخالات . لتكن مجموع القيم المطلقة للإدخالات غير القطرية في الصف -: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle R_{i}=\sum _{j\neq {i}}\left|a_{ij}\right|.}$

ليكن قرصًا مغلقًا مركزه عند ونصف قطره . يسمى هذا القرص قرص جيرشجورين. ${\displaystyle D(a_{ii},R_{i})\subseteq \mathbb {C} }$${\displaystyle a_{ii}}$${\displaystyle R_{i}}$

مبرهنة. كل قيمة ذاتية لـ تقع ضمن قرص واحد على الأقل من أقراص جيرشجورين${\displaystyle A}$${\displaystyle D(a_{ii},R_{i}).}$

الإثبات. ليكن قيمة ذاتية لـ مع متجه ذاتي مطابق . أوجد i بحيث يكون عنصر x ذو أكبر قيمة مطلقة هو . بما أن ، على وجه الخصوص، نأخذ المكون i لتلك المعادلة لنحصل على: ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A}$${\displaystyle x=(x_{j})}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle Ax=\lambda x}$

${\displaystyle \sum _{j}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i}.}$

الذهاب إلى الجانب الآخر: ${\displaystyle a_{ii}}$

${\displaystyle \sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}=(\lambda -a_{ii})x_{i}.}$

لذلك، بتطبيق متباينة المثلث وتذكر أنه بناءً على كيفية اختيارنا لـ i ، ${\displaystyle {\frac {\left|x_{j}\right|}{\left|x_{i}\right|}}\leq 1}$

${\displaystyle \left|\lambda -a_{ii}\right|=\left|\sum _{j\neq i}{\frac {a_{ij}x_{j}}{x_{i}}}\right|\leq \sum _{j\neq i}\left|{\frac {a_{ij}x_{j}}{x_{i}}}\right|=\sum _{j\neq i}\left|a_{ij}\right|{\frac {\left|x_{j}\right|}{\left|x_{i}\right|}}\leq \sum _{j\neq i}\left|a_{ij}\right|=R_{i}.}$

النتيجة المترتبة على ذلك هي أن القيم الذاتية لـ A يجب أن تقع أيضًا ضمن أقراص Gershgorin C _j المقابلة لأعمدة A.

الإثبات. قم بتطبيق النظرية على A ^T مع إدراك أن القيم الذاتية للمتغير المنقول هي نفس القيم الذاتية للمصفوفة الأصلية.

مثال. بالنسبة لمصفوفة قطرية ، تتطابق أقراص جيرشجورين مع الطيف. وعلى العكس من ذلك، إذا تطابقت أقراص جيرشجورين مع الطيف، تكون المصفوفة قطرية.

إحدى الطرق لتفسير هذه النظرية هي أنه إذا كانت المدخلات غير القطرية لمصفوفة مربعة على الأعداد المركبة لها معايير صغيرة ، فلا يمكن أن تكون القيم الذاتية للمصفوفة "بعيدة عن" المدخلات القطرية للمصفوفة. لذلك، من خلال تقليل معايير المدخلات غير القطرية، يمكن للمرء أن يحاول تقريب القيم الذاتية للمصفوفة. بالطبع، قد تتغير المدخلات القطرية في عملية تقليل المدخلات غير القطرية.

لا تدعي النظرية وجود قرص واحد لكل قيمة ذاتية؛ بل إن الأقراص تتوافق مع المحاور في ، ويعبر كل منها عن حد على وجه التحديد لتلك القيم الذاتية التي تكون فضاءاتها الذاتية أقرب إلى محور معين. في المصفوفة ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&2&2\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&2&2\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}-3a+2b+2c&6a-2b-4c&6a-4b-2c\\b-a&a+(a-b)&2(a-b)\\c-a&2(a-c)&a+(a-c)\end{pmatrix}}}$

— والتي من خلال البناء لها قيم ذاتية ، ، ومع متجهات ذاتية ، ، و — من السهل أن نرى أن القرص للصف 2 يغطي و بينما يغطي القرص للصف 3 و . ومع ذلك، فهذه مجرد مصادفة سعيدة؛ إذا عملنا من خلال خطوات الإثبات، فسنجد أنه في كل متجه ذاتي هو العنصر الأول الذي يكون الأكبر (كل فضاء ذاتي أقرب إلى المحور الأول من أي محور آخر)، لذا فإن النظرية تعد فقط بأن القرص للصف 1 (الذي يمكن أن يكون نصف قطره ضعف مجموع نصفي القطر الآخرين) يغطي جميع القيم الذاتية الثلاث. ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}3\\1\\1\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}2\\1\\0\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}2\\0\\1\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle c}$

إذا كان أحد الأقراص منفصلاً عن الأقراص الأخرى، فإنه يحتوي على قيمة ذاتية واحدة فقط. أما إذا التقى بقرص آخر، فمن الممكن ألا يحتوي على أي قيمة ذاتية (على سبيل المثال، أو ). وفي الحالة العامة، يمكن تعزيز النظرية على النحو التالي: ${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\4&0\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}1&-2\\1&-1\end{smallmatrix}}\right)}$

المبرهنة : إذا كان اتحاد k أقراص منفصلًا عن اتحاد n  −  k أقراص أخرى، فإن الاتحاد الأول يحتوي بالضبط على k ، والاتحاد الأخير يحتوي على n  −  k قيمة ذاتية لـ A ، عندما يتم حساب القيم الذاتية مع مضاعفاتها الجبرية.

الإثبات : ليكن D هي المصفوفة القطرية ذات المدخلات المساوية للمدخلات القطرية لـ A وليكن

${\displaystyle B(t)=(1-t)D+tA.}$

سنستخدم حقيقة أن القيم الذاتية متصلة في ، ونُظهر أنه إذا انتقلت أي قيمة ذاتية من أحد الاتحادات إلى الأخرى، فيجب أن تكون خارج جميع الأقراص لبعض ، وهو تناقض. ${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$

العبارة صحيحة بالنسبة لـ . المدخلات القطرية لـ تساوي مدخلات A ، وبالتالي فإن مراكز دوائر جيرشجورين هي نفسها، إلا أن نصف قطرها يساوي t مضروبًا في A. وبالتالي فإن اتحاد الأقراص k المقابلة لـ منفصل عن اتحاد nk المتبقية لجميع . الأقراص مغلقة، وبالتالي فإن المسافة بين الاتحادين لـ A هي . المسافة لـ هي دالة متناقصة لـ t ، وبالتالي فهي دائمًا على الأقل d . ونظرًا لأن القيم الذاتية لـ هي دالة متصلة لـ t ، فإن أي قيمة ذاتية لـ في اتحاد k أقراص تكون بعدها عن اتحاد الأقراص nk الأخرى متصلة أيضًا. من الواضح أن و افترض تقع في اتحاد الأقراص nk . إذن ، يوجد مثل هذا بحيث . ولكن هذا يعني أنها تقع خارج أقراص جيرشجورين، وهو أمر مستحيل. وبالتالي تقع في اتحاد k أقراص، ويتم إثبات النظرية. ${\displaystyle D=B(0)}$${\displaystyle B(t)}$${\displaystyle B(t)}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle d>0}$${\displaystyle B(t)}$${\displaystyle B(t)}$${\displaystyle \lambda (t)}$${\displaystyle B(t)}$${\displaystyle d(t)}$${\displaystyle d(0)\geq d}$${\displaystyle \lambda (1)}$${\displaystyle d(1)=0}$${\displaystyle 0<t_{0}<1}$${\displaystyle 0<d(t_{0})<d}$${\displaystyle \lambda (t_{0})}$${\displaystyle \lambda (1)}$

ملاحظات: من الضروري حساب القيم الذاتية بالنسبة لمضاعفاتها الجبرية. فيما يلي مثال مضاد:

خذ بعين الاعتبار المصفوفة، $${\displaystyle {\begin{bmatrix}5&1&0&0&0\\0&5&1&0&0\\0&0&5&0&0\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}}$$

لا يتقاطع اتحاد الأقراص الثلاثة الأولى مع القرصين الأخيرين، ولكن المصفوفة تحتوي على متجهين ذاتيين فقط، e1 وe4، وبالتالي قيمتين ذاتيتين فقط، مما يدل على أن هذه النظرية خاطئة في صياغتها. يُظهِر إثبات أن القيم الذاتية مميزة فقط، ومع ذلك فإن أي تأكيد على عدد منها هو أمر لا يناسب، وهذا مثال مضاد.

• يجب فهم استمرارية بمعنى الطوبولوجيا . يكفي أن نظهر أن الجذور (كنقطة في الفضاء ) هي دالة متصلة لمعاملاتها. لاحظ أن الخريطة العكسية التي تربط الجذور بالمعاملات موصوفة بصيغ فييتا (لاحظ بالنسبة لكثيرات الحدود المميزة أن )، والتي يمكن إثباتها كخريطة مفتوحة . يثبت هذا أن الجذور ككل هي دالة متصلة لمعاملاتها. نظرًا لأن تكوين الدوال المستمرة مستمر مرة أخرى، فإن كتركيبة من الجذور، فإن مُحلل و مستمر أيضًا.${\displaystyle \lambda (t)}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle a_{n}\equiv 1}$${\displaystyle \lambda (t)}$${\displaystyle B(t)}$
• قد تندمج القيمة الذاتية الفردية مع قيمة ذاتية أخرى أو تظهر من انقسام القيمة الذاتية السابقة. قد يربك هذا الأشخاص ويثير تساؤلات حول مفهوم الاستمرارية. ومع ذلك، عند النظر من مساحة مجموعة القيم الذاتية ، يظل المسار منحنى مستمرًا على الرغم من أنه ليس سلسًا بالضرورة في كل مكان.${\displaystyle \lambda (t)}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

تمت إضافة ملاحظة:

• الدليل المذكور أعلاه يمكن القول إنه غير صحيح...... هناك نوعان من الاستمرارية فيما يتعلق بالقيم الذاتية: (1) كل قيمة ذاتية فردية هي دالة مستمرة عادية (مثل هذا التمثيل موجود على فاصل حقيقي ولكن قد لا يوجد على مجال معقد)، (2) القيم الذاتية مستمرة ككل بالمعنى الطوبولوجي (تعيين من مساحة المصفوفة مع المقياس المستحث بواسطة معيار إلى ثنائيات غير مرتبة، أي مساحة حاصل قسمة C ^ n تحت تكافؤ التبديل مع المقياس المستحث). أيًا كانت الاستمرارية المستخدمة في إثبات نظرية قرص جيرشجورين، فيجب تبرير أن مجموع المضاعفات الجبرية للقيم الذاتية يظل دون تغيير في كل منطقة متصلة. لا يتطلب الإثبات باستخدام مبدأ الحجج للتحليل المركب أي نوع من استمرارية القيم الذاتية. ^[1] لمناقشة وتوضيح موجزين، انظر. ^[2]

تعتبر نظرية دائرة جيرشجورين مفيدة في حل معادلات المصفوفة من النموذج Ax = b لـ x حيث b هو متجه و A هي مصفوفة ذات رقم شرط كبير .

في هذا النوع من المشكلات، يكون الخطأ في النتيجة النهائية عادةً بنفس ترتيب حجم الخطأ في البيانات الأولية مضروبًا في رقم الشرط لـ A. على سبيل المثال، إذا كانت قيمة b معروفة حتى ستة منازل عشرية وكان رقم الشرط لـ A هو 1000، فلا يمكننا إلا أن نكون واثقين من أن قيمة x دقيقة حتى ثلاثة منازل عشرية. بالنسبة لأرقام الشروط المرتفعة للغاية، يمكن تضخيم حتى الأخطاء الصغيرة جدًا بسبب التقريب إلى الحد الذي تصبح فيه النتيجة بلا معنى.

سيكون من الجيد تقليل عدد الشروط لـ A. ويمكن القيام بذلك من خلال التكييف المسبق : يتم إنشاء مصفوفة P بحيث تكون P ≈ A ⁻¹ ، ثم يتم حل المعادلة PAx = Pb لـ x . سيكون استخدام العكس الدقيق لـ A أمرًا رائعًا، ولكن إيجاد معكوس المصفوفة هو شيء نريد تجنبه بسبب التكلفة الحسابية.

الآن، بما أن PA ≈ I حيث I هي مصفوفة الهوية، فيجب أن تكون جميع القيم الذاتية لـ PA قريبة من 1. وفقًا لنظرية دائرة جيرشجورين، فإن كل قيمة ذاتية لـ PA تقع ضمن منطقة معروفة وبالتالي يمكننا تكوين تقدير تقريبي لمدى جودة اختيارنا لـ P.

استخدم نظرية دائرة جيرشجورين لتقدير القيم الذاتية لـ:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}10&1&0&1\\0.2&8&0.2&0.2\\1&1&2&1\\-1&-1&-1&-11\\\end{bmatrix}}.}$

بدءًا من الصف الأول، نأخذ العنصر الموجود على القطر، a _ii كمركز للقرص. ثم نأخذ العناصر المتبقية في الصف ونطبق الصيغة

${\displaystyle \sum _{j\neq i}|a_{ij}|=R_{i}}$

للحصول على الأقراص الأربعة التالية:

${\displaystyle D(10,2),\;D(8,0.6),\;D(2,3),\;{\text{and}}\;D(-11,3).}$

لاحظ أنه يمكننا تحسين دقة القرصين الأخيرين عن طريق تطبيق الصيغة على الأعمدة المقابلة للمصفوفة، والحصول على و . ${\displaystyle D(2,1.2)}$${\displaystyle D(-11,2.2)}$

القيم الذاتية هي -10.870، 1.906، 10.046، 7.918. لاحظ أن هذه مصفوفة مهيمنة قطريًا (عموديًا) : . وهذا يعني أن معظم المصفوفة قطريًا، وهو ما يفسر سبب كون القيم الذاتية قريبة جدًا من مراكز الدوائر، والتقديرات جيدة جدًا. بالنسبة لمصفوفة عشوائية، نتوقع أن تكون القيم الذاتية أبعد بشكل كبير عن مراكز الدوائر. ${\textstyle |a_{ii}|>\sum _{j\neq i}|a_{ji}|}$

• بالنسبة للمصفوفات ذات الإدخالات غير السلبية، انظر نظرية بيرون-فروبينيوس .
• مصفوفة عشوائية مزدوجة
• مصفوفة هورويتز
• جويل لي برينر
• مصفوفة ميتزلر
• عدم المساواة في مويرهيد
• متباينة بنديكسون
• نظرية شور-هورن

• Gerschgorin، S. (1931)، “Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix”، Izv. أكاد. ناوك. اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية Otd. فيز-مات. ناوك (بالألمانية)، 6 : 749-754.
• فارغا، ريتشارد س. (2004)، جيرشجورين ودوائره ، برلين: سبرينغر فيرلاغ، رقم ISBN 3-540-21100-4. (أخطاء).
• فارغا، ريتشارد س. (2002)، التحليل التكراري للمصفوفة (الطبعة الثانية)، سبرينغر فيرلاغ. الطبعة الأولى، برنتيس هول، 1962.
• Golub, GH ; Van Loan, CF (1996), Matrix Computations , بالتيمور: مطبعة جامعة جونز هوبكنز، ص. 320، ISBN 0-8018-5413-X.

• "نظرية الدائرة لجيرشجورين". PlanetMath .
• إريك دبليو فايسشتاين. "نظرية دائرة جيرشجورين". من موقع MathWorld—أحد موارد شبكة Wolfram.
• سيرة سيميون أرانوفيتش جيرشجورين على موقع MacTutor