مبدأ الحجة

في التحليل المركب ، مبدأ الحجة (أو مبدأ حجة كوشي ) هو نظرية تربط الفرق بين عدد الأصفار والأقطاب لدالة ميرومورفية بتكامل محيطي للمشتقة اللوغاريتمية للدالة .

إذا كانت f دالة ميرومورفية داخل وعلى مسار مغلق C ، ولم يكن لـ f أصفار أو أقطاب على C ، فإن

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=ZP}$

حيث يرمز Z و P على التوالي إلى عدد أصفار وأقطاب الدالة f داخل المسار C ، ويُحسب كل صفر وقطب بعدد مرات تكراره ورتبته ، على التوالي. يفترض هذا النص من النظرية أن المسار C بسيط، أي بدون تقاطعات ذاتية، وأنه موجه عكس اتجاه عقارب الساعة.

بشكل أعم، لنفترض أن f دالة ميرومورفية على مجموعة مفتوحة Ω في المستوى المركب ، وأن C منحنى مغلق في Ω يتجنب جميع أصفار وأقطاب f ، وقابل للانكماش إلى نقطة داخل Ω. لكل نقطة z ∈ Ω، ليكن n ( C , z ) عدد لفات C حول z . عندئذٍ

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\,}$

حيث يكون المجموع الأول على جميع الأصفار a من f محسوبة مع تعدداتها، ويكون المجموع الثاني على الأقطاب b من f محسوبة مع رتبها.

التكامل الكفافي${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz}$يمكن تفسير ذلك على أنه 2πi مضروبًا في عدد لفات المسار f ( C ) حول نقطة الأصل، باستخدام الاستبدال w = f ( z ):

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\oint _{f(C)}{\frac {1}{w}}\,dw}$

أي أن هذا يساوي i ضعف التغير الكلي في وسيط الدالة f ( z ) عندما يتحرك z حول C ، وهو ما يفسر اسم النظرية؛ وهذا يتبع من

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log(f(z))={\frac {f'(z)}{f(z)}}}$

والعلاقة بين الوسائط واللوغاريتمات.

ليكن z صفرًا للدالة f . يمكننا كتابة f ( z ) = ( z - z − z − _z ) ^kg ( z ) حيث _k هي رتبة الصفر، وبالتالي g ( z − _z ) ≠ 0. نحصل على   

${\displaystyle f'(z)=k(z-z_{Z})^{k-1}g(z)+(z-z_{Z})^{k}g'(z)\,\!}$

و

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{Z}}+{g'(z) \over g(z)}.}$

بما أن g ( z _Z ) ≠ 0، فإنه يترتب على ذلك أن g' ( z )/ g ( z ) ليس لها نقاط شاذة عند z _Z ، وبالتالي فهي تحليلية عند z _Z ، مما يعني أن الباقي من f ′ ( z )/ f ( z ) عند z _Z هو k . 

ليكن z _P قطبًا للدالة f . يمكننا كتابة f ( z ) = ( z − z _P ) ^{− m} h ( z ) حيث m هي رتبة القطب، و h ( z _P ) ≠ 0. إذن،  

${\displaystyle f'(z)=-m(z-z_{P})^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\,\!.}$

و

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={-m \over z-z_{P}}+{h'(z) \over h(z)}}$

وبالمثل كما سبق. يترتب على ذلك أن h ′ ( z )/ h ( z ) لا تحتوي على نقاط شاذة عند zP لأن h ( zP ) ≠ 0 _، وبالتالي فهي دالة تحليلية عند zP _{. نجد} أن باقي قسمة f ′ ( z )/ f ( z ) عند zP _هو −m .

بجمع هذه العناصر، يُنشئ كل صفر z _Z من الرتبة k للدالة f قطبًا بسيطًا لـ f ′ ( z )/ f ( z ) بباقي يساوي k ، ويُنشئ كل قطب z _P من الرتبة m للدالة f قطبًا بسيطًا لـ f ′ ( z )/ f ( z ) بباقي يساوي − m . (هنا، يُقصد بالقطب البسيط قطبًا من الرتبة واحد). إضافةً إلى ذلك، يمكن إثبات أن f ′ ( z )/ f ( z ) ليس لها أقطاب أخرى، وبالتالي ليس لها بواقي أخرى.

بحسب نظرية البواقي، _فإن التكامل حول C يساوي حاصل ضرب 2πi في مجموع البواقي. وبذلك، يكون مجموع قيم k لكل صفر z هو عدد الأصفار مع مراعاة تكرارها، وينطبق الأمر نفسه على الأقطاب، ومن ثم نحصل على النتيجة المطلوبة.

يوجد تعميم مباشر لمبدأ الحجة. في ظل نفس الفرضيات، لنفترض أن g دالة تحليلية في المنطقة$أوميغا$. ثم

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}g(z)\,dz=\sum _{a}g(a)n(C,a)-\sum _{b}g(b)n(C,b)\,}$

حيث يكون المجموع الأول مرة أخرى على جميع الأصفار a من f محسوبة مع تعدداتها، ويكون المجموع الثاني مرة أخرى على أقطاب b من f محسوبة مع رتبها.

يمكن استخدام مبدأ الوسيط لتحديد أصفار أو أقطاب الدوال الميرومورفية بكفاءة على الحاسوب. حتى مع وجود أخطاء التقريب، فإن التعبير${\displaystyle {1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz}$ستُعطي نتائج قريبة من عدد صحيح؛ ومن خلال تحديد هذه الأعداد الصحيحة لمختلف المنحنيات C، يمكن الحصول على معلومات حول موقع الأصفار والأقطاب. تستخدم الاختبارات العددية لفرضية ريمان هذه التقنية للحصول على حد أعلى لعدد أصفار مصفوفة ريمان.${\displaystyle \xi (s)}$دالة داخل مستطيل يتقاطع مع الخط الحرج. يمكن أيضًا استخدام مبدأ الحجة لإثبات نظرية روشيه ، التي يمكن استخدامها لتقييد جذور كثيرات الحدود.

نتيجةً لمبدأ الحجة المعممة، إذا كانت f دالة متعددة الحدود لها أصفار z₁ _، ...، zₚ داخل مسار بسيط C ، و g ₍ z ) = zₖ ^، فإن

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=z_{1}^{k}+z_{2}^{k}+\cdots +z_{p}^{k},}$

هي متعددة حدود متناظرة مجموع قوى جذور f .

ومن النتائج الأخرى التي يمكن تحقيقها إذا قمنا بحساب التكامل المركب:

${\displaystyle \oint _{C}f(z){g'(z) \over g(z)}\,dz}$

بالنسبة لاختيار مناسب لـ g و f، لدينا صيغة أبيل-بلانا :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)-\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt\,}$

والتي تعبر عن العلاقة بين المجموع المنفصل وتكامله.

يُطبَّق مبدأ الحجة أيضًا في نظرية التحكم . في الكتب الحديثة حول نظرية التحكم بالتغذية الراجعة، يُستخدم عادةً كأساس نظري لمعيار استقرار نايكويست . علاوة على ذلك، يمكن استخدام صيغة أكثر عمومية لمبدأ الحجة لاستنتاج تكامل حساسية بود وعلاقات تكاملية أخرى ذات صلة. ^{[ 1 ]}

بحسب كتاب فرانك سميثيز ( كوشي ونشأة نظرية الدوال المركبة ، مطبعة جامعة كامبريدج، 1997، ص  177)، قدّم أوغستين لويس كوشي نظرية مشابهة لما سبق ذكره في 27 نوفمبر 1831، خلال منفاه الاختياري في تورينو (عاصمة مملكة بيدمونت-سردينيا آنذاك) بعيدًا عن فرنسا. مع ذلك، ووفقًا لهذا الكتاب، لم يُذكر سوى الأصفار، دون الأقطاب. لم تُنشر نظرية كوشي هذه إلا بعد سنوات عديدة، في عام 1874، بصيغة مكتوبة بخط اليد، ولذا يصعب قراءتها. نشر كوشي بحثًا يتضمن مناقشة للأصفار والأقطاب معًا في عام 1855، قبل وفاته بعامين.

• المشتق اللوغاريتمي
• معيار نايكويست للاستقرار

• رودين، والتر (1986). التحليل الحقيقي والمركب (سلسلة دولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية) . ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-054234-1.
• أهلفورس، لارس (1979). التحليل المركب: مقدمة لنظرية الدوال التحليلية لمتغير مركب واحد . ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-000657-7.
• تشرشل، رويل فانس؛ براون، جيمس وارد (1989). المتغيرات المركبة وتطبيقاتها . ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-010905-6.
• باكلوند، ر.-ج. (1914) Sur les zeros de la fonction zeta(s) de Riemann, CR Acad. الخيال العلمي. باريس 158، 1979-1982.

• "الحجة، مبدأ" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]