مصفوفة مهيمنة قطريًا

في الرياضيات، يُقال إن المصفوفة المربعة ذات سيادة قطرية إذا كان مقدار كل عنصر قطري في صف من صفوفها أكبر من أو يساوي مجموع مقادير جميع العناصر الأخرى (غير القطرية) في ذلك الصف. بتعبير أدق، المصفوفة${\displaystyle A}$تكون مهيمنة قطريًا إذا

${\displaystyle |a_{ii}|\geq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|\ \ \forall \ i}$

أين${\displaystyle a_{ij}}$يشير إلى المدخل في${\displaystyle i}$الصف الثالث و${\displaystyle j}$العمود رقم 1.

يستخدم هذا التعريف متباينة ضعيفة، ولذلك يُطلق عليه أحيانًا اسم الهيمنة القطرية الضعيفة . أما إذا استُخدمت متباينة صارمة (>)، فيُطلق عليها اسم الهيمنة القطرية الصارمة . ويمكن أن يشير مصطلح الهيمنة القطرية غير المحدد إلى كلٍّ من الهيمنة القطرية الصارمة والضعيفة، وذلك بحسب السياق. ^{[ 1 ]}

يُعرّف التعريف الوارد في الفقرة الأولى بأنه مجموع القيم في كل صف، ولذلك يُطلق عليه أحيانًا اسم " هيمنة القطر الصفّي ". أما إذا تم تغيير التعريف ليشمل مجموع القيم في كل عمود، فيُطلق عليه اسم " هيمنة القطر العمودي" .

أي مصفوفة ذات هيمنة قطرية صارمة هي بالضرورة مصفوفة ذات هيمنة قطرية متسلسلة ضعيفة . المصفوفات ذات الهيمنة القطرية المتسلسلة الضعيفة غير منفردة، وتشمل عائلة المصفوفات ذات الهيمنة القطرية غير القابلة للاختزال . هذه مصفوفات غير قابلة للاختزال ذات هيمنة قطرية ضعيفة، ولكنها ذات هيمنة قطرية صارمة في صف واحد على الأقل.

المصفوفة

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&-2&1\\1&3&2\\-1&2&4\end{bmatrix}}}$

هي مهيمنة قطريًا بشكل ضعيف لأن

${\displaystyle |a_{11}|\geq |a_{12}|+|a_{13}|}$ منذ ${\displaystyle |{+3}|\geq |{-2}|+|{+1}|}$

${\displaystyle |a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|}$ منذ ${\displaystyle |{+3}|\geq |{+1}|+|{+2}|}$

${\displaystyle |a_{33}|\geq |a_{31}|+|a_{32}|}$ منذ ${\displaystyle |{+4}|\geq |{-1}|+|{+2}|}$.

المصفوفة

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}-2&2&1\\1&3&2\\1&-2&0\end{bmatrix}}}$

لا يُعتبر مسيطراً قطرياً لأن

${\displaystyle |b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|}$ منذ ${\displaystyle |{-2}|<|{+2}|+|{+1}|}$

${\displaystyle |b_{22}|\geq |b_{21}|+|b_{23}|}$ منذ ${\displaystyle |{+3}|\geq |{+1}|+|{+2}|}$

${\displaystyle |b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|}$ منذ ${\displaystyle |{+0}|<|{+1}|+|{-2}|}$.

أي أن الصفين الأول والثالث لا يستوفيان شرط الهيمنة القطرية.

المصفوفة

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}-4&2&1\\1&6&2\\1&-2&5\end{bmatrix}}}$

هي مهيمنة قطريًا بشكل صارم لأن

${\displaystyle |c_{11}|>|c_{12}|+|c_{13}|}$ منذ ${\displaystyle |{-4}|>|{+2}|+|{+1}|}$

${\displaystyle |c_{22}|>|c_{21}|+|c_{23}|}$ منذ ${\displaystyle |{+6}|>|{+1}|+|{+2}|}$

${\displaystyle |c_{33}|>|c_{31}|+|c_{32}|}$ منذ ${\displaystyle |{+5}|>|{+1}|+|{-2}|}$.

يمكن إثبات النتائج التالية بسهولة من خلال نظرية الدائرة لجيرشغورين . وتتميز نظرية الدائرة لجيرشغورين نفسها ببرهان قصير جدًا.

المصفوفة المهيمنة قطريًا بشكل صارم (أو المصفوفة المهيمنة قطريًا بشكل غير قابل للاختزال ^{[ 2 ]} ) هي مصفوفة غير منفردة .

مصفوفة هيرميتية مهيمنة قطريًا${\displaystyle A}$المصفوفة التي تحتوي على عناصر قطرية حقيقية غير سالبة تكون شبه موجبة . هذا ناتج عن كون القيم الذاتية حقيقية، ونظرية دائرة غيرشغورين. إذا تم حذف شرط التناظر، فإن هذه المصفوفة ليست بالضرورة شبه موجبة. على سبيل المثال، لنأخذ

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-2&2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}}<0.}$

ومع ذلك، تظل الأجزاء الحقيقية لقيمها الذاتية غير سالبة وفقًا لنظرية دائرة غيرشغورين.

وبالمثل، فإن المصفوفة الهرميتية ذات السيطرة القطرية الصارمة مع المدخلات القطرية الحقيقية الموجبة تكون موجبة التحديد .

لا يلزم إجراء عملية التمحور (الجزئي) لمصفوفة ذات هيمنة قطرية عمودية صارمة عند إجراء عملية الحذف الغاوسي (تحليل LU).

تتقارب طرق جاكوبي وجاوس - سيدل لحل نظام خطي إذا كانت المصفوفة مهيمنة قطريًا بشكل صارم (أو غير قابل للاختزال).

العديد من المصفوفات التي تظهر في طرق العناصر المحدودة تكون مهيمنة قطريًا.

يُستخدم تعديل طفيف على فكرة الهيمنة القطرية لإثبات أن الاقتران على المخططات الخالية من الحلقات في جبر تمبرلي-ليب غير مُنحط. ^{[ 3 ]} بالنسبة لمصفوفة ذات مدخلات متعددة الحدود، فإن أحد التعريفات المنطقية للهيمنة القطرية هو إذا كانت أعلى قوة لـ${\displaystyle q}$يظهر العنصر الموجود في كل صف على القطر فقط. (تقييمات هذه المصفوفة عند القيم الكبيرة لـ${\displaystyle q}$(تسيطر قطريًا بالمعنى المذكور أعلاه.)

أي مصفوفة مربعة معقدة ذات هيمنة قطرية صارمة تكون غير منفردة (قابلة للعكس). يُعرف هذا أيضًا باسم نظرية ليفي-ديسبلانك، ^{[ 4 ]} والتي تُستخدم تطبيقاتها العملية في مسائل معالجة إشارات المصفوفات، مثل تعداد المصادر. ^{[ 5 ]} تُكافئ نظرية ليفي-ديسبلانك نظرية دائرة غيرشغورين.

• مصفوفة نيكراسوف ، وهي فئة فرعية من المصفوفات المهيمنة قطريًا.
• أثر مصفوفة مربعة

• جولوب، جين هـ .؛ فان لون، تشارلز ف. (1996). حسابات المصفوفات . مطبعة جامعة جونز هوبكنز. ISBN 0-8018-5414-8.
• هورن، روجر أ.؛ جونسون، تشارلز ر. (1985). تحليل المصفوفات (  طبعة غلاف ورقي). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-38632-2.

• PlanetMath: تعريف الهيمنة القطرية
• بلانيت ماث: خصائص المصفوفات المهيمنة قطريًا
• عالم الرياضيات