نظرية بيرون-فروبينيوس

يترك${\displaystyle A=(a_{ij})}$كن${\displaystyle n\times n}$المصفوفة الموجبة:${\displaystyle a_{ij}>0}$ل${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$إذن، تنطبق العبارات التالية.

1. يوجد عدد حقيقي موجب r ، يُسمى جذر بيرون أو القيمة الذاتية لبيرون-فروبينيوس (وتُسمى أيضًا القيمة الذاتية الرائدة أو القيمة الذاتية الرئيسية أو القيمة الذاتية المهيمنة )، بحيث يكون r قيمة ذاتية للمصفوفة A ، وأي قيمة ذاتية أخرى λ (قد تكون مركبة ) في قيمتها المطلقة أصغر تمامًا من r ، أي | λ | < r . وبالتالي، فإن نصف القطر الطيفي${\displaystyle \rho (A)}$يساوي r . إذا كانت معاملات المصفوفة جبرية، فهذا يعني أن القيمة الذاتية هي عدد بيرون .
2. قيمة بيرون-فروبينيوس الذاتية بسيطة: r هو جذر بسيط لكثير الحدود المميز للمصفوفة A. وبالتالي، فإن الفضاء الذاتي المرتبط بـ r أحادي البعد. (وينطبق الأمر نفسه على الفضاء الذاتي الأيسر، أي الفضاء الذاتي لـ A ^T ، منقولة المصفوفة A ).
3. يوجد متجه ذاتي v = (v₁, ..., vₙ) للمصفوفة A بقيمة ذاتية _r بحيث تكون جميع _مركبات ^v موجبة : A v = rv ، حيث i > ₀ لـ 1 ≤ i ≤ n . (وبالتالي، يوجد متجه ذاتي أيسر موجب w : wᵀA = wᵀr ، حيث _i > 0). يُعرف هذا المتجه في الأدبيات العلمية بأسماء عديدة، منها متجه بيرون ، ومتجه بيرون الذاتي ^، ومتجه ^بيرون -فروبينيوس الذاتي ، والمتجه الذاتي الرائد ، والمتجه الذاتي الرئيسي ، والمتجه الذاتي المهيمن . 
4. لا توجد متجهات ذاتية موجبة أخرى (علاوة على ذلك غير سالبة) باستثناء المضاعفات الموجبة لـ v (على التوالي، المتجهات الذاتية اليسرى باستثناء w )، أي أن جميع المتجهات الذاتية الأخرى يجب أن تحتوي على عنصر واحد سالب أو غير حقيقي على الأقل.
5. ${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty}A^{k}/r^{k}=vw^{T}}$حيث يتم تطبيع المتجهات الذاتية اليسرى واليمنى للمصفوفة A بحيث يكون w ^T v = 1. علاوة على ذلك، فإن المصفوفة vw ^T هي الإسقاط على الفضاء الذاتي المقابل لـ r . يُطلق على هذا الإسقاط اسم إسقاط بيرون . 
6. صيغة كولاتز -ويلاندت : لكل متجه غير سالب وغير صفري x ، ليكن f ( x ) هو القيمة الدنيا لـ [ Ax ] _i / xi المأخوذة على جميع قيم i التي تحقق xi _≠ 0. عندئذٍ تكون f دالة حقيقية القيمة، وقيمتها _القصوى على جميع المتجهات غير السالبة وغير الصفرية x هي القيمة الذاتية لبيرون-فروبينيوس.
7. تأخذ صيغة كولاتز-ويلاندت "الحد الأدنى-الأقصى" شكلاً مشابهاً لما سبق: لكل متجه موجب تماماً x ، ليكن g ( x ) القيمة القصوى لـ [ Ax ] _i / xi المأخوذة على _i . عندئذٍ ، تكون g دالة حقيقية القيمة، وقيمتها الدنيا على جميع المتجهات الموجبة تماماً x هي القيمة الذاتية لبيرون-فروبينيوس.
8. صيغة بيركوف - فارغا : ليكن x و y متجهين موجبين تمامًا. عندئذٍ، ^{[ 8 ]}$${\displaystyle r=\sup _{x>0}\inf _{y>0}{\frac {y^{\top }Ax}{y^{\top }x}}=\inf _{x>0}\sup _{y>0}{\frac {y^{\top }Ax}{y^{\top }x}}=\inf _{x>0}\sup _{y>0}\sum _{i,j=1}^{n}y_{i}a_{ij}x_{j}/\sum _{i=1}^{n}y_{i}x_{i}.}$$
9. صيغة دونسكر – فارادان – فريدلاند : ليكنp متجه احتمالي و x متجه موجب تمامًا. عندئذٍ، ^{[ 9 ] [ 10 ]}$${\displaystyle r=\sup _{p}\inf _{x>0}\sum _{i=1}^{n}p_{i}[Ax]_{i}/x_{i}.}$$
10. صيغة فيدلر : ^{[ 11 ]}$$// _ {i، j = 1} ^ {n} y_ {i} a_ {ij} x_ {j} /\ sum _ {i = 1} ^ {n} y_ {i} x_ {i}.}$$
11. تحقق القيمة الذاتية لبيرون-فروبينيوس المتباينات التالية$${\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leq r\leq \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}$$

تمتد جميع هذه الخصائص إلى ما هو أبعد من المصفوفات الموجبة تمامًا لتشمل المصفوفات الأولية (انظر أدناه). يمكن الاطلاع على الحقائق من 1 إلى 7 في كتاب ماير ^{[ 12 ]} ، الفصل 8، الادعاءات 8.2.11-15، الصفحة 667، والتمارين 8.2.5، 7، 9، الصفحات 668-669.

في بعض الأحيان، يتم تطبيع المتجهين الذاتيين الأيسر والأيمن w و v بحيث يكون مجموع مركباتهما مساويًا لـ 1؛ وفي هذه الحالة، يُطلق عليهما أحيانًا اسم المتجهات الذاتية العشوائية . غالبًا ما يتم تطبيعهما بحيث يكون مجموع المتجه الذاتي الأيمن v ​​مساويًا لـ 1، بينما${\displaystyle w^{T}v=1}$.

يوجد امتداد للمصفوفات ذات العناصر غير السالبة. بما أنه يمكن الحصول على أي مصفوفة غير سالبة كحد للمصفوفات الموجبة، فإنه يمكن استنتاج وجود متجه ذاتي بمكونات غير سالبة؛ وستكون القيمة الذاتية المقابلة غير سالبة وأكبر من أو تساوي ، بالقيمة المطلقة، جميع القيم الذاتية الأخرى. ^{[ 13 ] [ 14 ]} ومع ذلك، بالنسبة للمثال${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$، القيمة الذاتية القصوى r = 1 لها نفس القيمة المطلقة للقيمة الذاتية الأخرى −1؛ بينما بالنسبة لـ${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right)}$، القيمة الذاتية القصوى هي r = 0، وهو ليس جذرًا بسيطًا لكثير الحدود المميز، والمتجه الذاتي المقابل (1، 0) ليس موجبًا تمامًا.

مع ذلك، وجد فروبينيوس فئة فرعية خاصة من المصفوفات غير السالبة - وهي المصفوفات غير القابلة للاختزال - والتي يمكن تعميمها بشكل غير تافه. بالنسبة لهذه المصفوفة، على الرغم من أن القيم الذاتية التي تحقق القيمة المطلقة القصوى قد لا تكون فريدة، إلا أن بنيتها قابلة للتحكم: فهي تأخذ الشكل التالي:${\displaystyle \omega r}$، أين${\displaystyle r}$هي قيمة ذاتية حقيقية موجبة تمامًا، و${\displaystyle \omega }$يتراوح على الجذور المركبة من الرتبة h للعدد 1، حيث h عدد صحيح موجب يُسمى دورة المصفوفة. المتجه الذاتي المقابل لـ${\displaystyle r}$تحتوي على مكونات موجبة تمامًا (على عكس الحالة العامة للمصفوفات غير السالبة، حيث تكون المكونات غير سالبة فقط). كما أن جميع هذه القيم الذاتية هي جذور بسيطة لكثير الحدود المميز. ترد خصائص أخرى أدناه.

إذا كانت A مصفوفة غير قابلة للاختزال وغير سالبة، فإن:

1. المصفوفة (I+ A ) ^{n −1} مصفوفة موجبة. (ماير ^{[ 12 ]} ، الادعاء 8.3.5، صفحة 672 ). بالنسبة للمصفوفة A غير السالبة ، يُعد هذا شرطًا كافيًا أيضًا. ^{[ 16 ]}
2. نظرية فيلاندت. ^{[ 17 ]} إذا كان | B | < A ، فإن ρ ( B ) ≤ ρ ( A ). إذا تحققت المساواة (أي إذا كانت μ = ρ(A)e^ ^(iφ) قيمة ذاتية لـ B )، فإن B = e^ ^(iφ) D AD ^{^-1} لمصفوفة قطرية وحدوية D (أي أن العناصر القطرية لـ D تساوي e ^{^(iφ ₎} ، والعناصر غير القطرية تساوي صفرًا). ^{[ 18 ]}
3. إذا كانت قوة ما A ^q قابلة للاختزال، فإنها تكون قابلة للاختزال تمامًا، أي بالنسبة لمصفوفة تبديل ما P ، يكون صحيحًا ما يلي:$$$حيث _تمثل Aᵢ مصفوفات غير قابلة للاختزال لها نفس القيمة ^{الذاتية} القصوى. عدد هذه المصفوفات d هو القاسم المشترك الأكبر لـ q و h ، حيث h هي دورة A. ^{[ 19} ]
4. إذا كانت c ( x ) = xⁿ + cₖ₁xⁿ⁻ⁿ + cₖ₂xⁿ⁻ⁿ + ... + cₖₛxⁿ⁻⁛ هي متعددة الحدود المميزة لـ A التي تحتوي فقط على الحدود غير الصفرية ، فإن دورة A تساوي القاسم المشترك الأكبر لـ k₁ , k₂ , ... , ks . [ 20 ]
5. متوسط ​​أداء سيزارو :${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }1/k\sum _{i=0,...,k}A^{i}/r^{i}=(vw^{T}),}$حيث يتم تطبيع المتجهات الذاتية اليسرى واليمنى لـ A بحيث يكون w ^T v = 1. علاوة على ذلك، فإن المصفوفة vw ^T هي الإسقاط الطيفي المقابل لـ r ، وهو إسقاط بيرون. ^{[ 21 ]}
6. إذا كانت r هي القيمة الذاتية لبيرون-فروبينيوس، فإن المصفوفة المرافقة لـ ( r - A ) تكون موجبة. ^{[ 22 ]}
7. إذا كان للمصفوفة A عنصر قطري واحد على الأقل غير صفري، فإن A تكون مصفوفة أولية. ^{[ 23 ]}
8. إذا كان 0 ≤ A < B ، فإن r _A ≤ r _B. علاوة على ذلك، إذا كانت B غير قابلة للاختزال، فإن المتباينة تكون صارمة: r _A < r _B.

تكون المصفوفة A أولية إذا كانت غير سالبة، وكانت A m  موجبة لبعض قيم m ، وبالتالي فإن A k  موجبة لجميع قيم k ≥ m . وللتحقق من أولية المصفوفة، نحتاج إلى حد أقصى لأكبر قيمة ممكنة لـ m ، وذلك اعتمادًا على حجم A : [ 24 ]

• إذا كانت A مصفوفة أولية غير سالبة من الرتبة n ، فإن A ^{(n² - 2n + 2 ) موجبة}     . علاوة على ذلك، هذه هي أفضل نتيجة ممكنة، لأنه بالنسبة للمصفوفة M أدناه ، فإن الأس Mk ليس موجبًا لكل k < n² - 2n + 2، لأن ( M ^{(n² - 2n + 1 )} ¹ _,¹ ^{= 0} .      

${\displaystyle M=\left({\begin{smallmatrix}0&1&0&0&\cdots &0\\0&0&1&0&\cdots &0\\0&0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&0&\cdots &1\\1&1&0&0&\cdots &0\end{smallmatrix}}\right)}$

لا تنطبق نظرية بيرون-فروبينيوس مباشرةً على المصفوفات غير السالبة. ومع ذلك، يمكن كتابة أي مصفوفة مربعة قابلة للاختزال A في شكل كتلة مثلثية علوية (المعروفة بالشكل الطبيعي للمصفوفة القابلة للاختزال ) ^{[ 25 ].}

PAP ⁻¹ =${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}B_{1}&*&*&\cdots &*\\0&B_{2}&*&\cdots &*\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &*\\0&0&0&\cdots &B_{h}\end{smallmatrix}}\right)}$

حيث P هي مصفوفة تبديل، وكل _عنصر Bᵢ فيها مصفوفة مربعة إما غير قابلة للاختزال أو تساوي صفرًا. إذا كانت A غير سالبة، فإن كل كتلة من PAP⁻¹ تكون كذلك أيضًا ^، بالإضافة إلى أن طيف A هو اتحاد _أطياف Bᵢ .

يمكن أيضًا دراسة قابلية المصفوفة A للعكس . يجب أن يحتوي معكوس PAP ⁻¹ (إن وُجد) على كتل قطرية من الشكل B _i ^−1، لذا إذا لم تكن أي من B _i قابلة للعكس، فلن تكون كل من PAP ⁻¹ و A قابلة للعكس أيضًا. على العكس، لنفترض أن D هي المصفوفة القطرية الكتلية المناظرة لـ PAP ⁻¹ ، أي PAP ⁻¹ مع إزالة علامات النجمة. إذا كانت كل B _i قابلة للعكس، فإن D قابلة للعكس أيضًا ، ويكون D ⁻¹ ( PAP ⁻¹ ) مساويًا لمصفوفة الوحدة مضافًا إليها مصفوفة عديمة القوة. لكن مثل هذه المصفوفة قابلة للعكس دائمًا (إذا كان N ^k = 0، فإن معكوس 1 − N هو 1 + N + N ² + ... + N ^{k −1} )، لذا فإن كلًا من PAP ⁻¹ و A قابلتان للعكس.

لذا، يمكن استنتاج العديد من الخصائص الطيفية للمصفوفة A بتطبيق النظرية على المصفوفة غير القابلة للاختزال B _i . على سبيل المثال، جذر بيرون هو القيمة القصوى لـ ρ( B _i ). مع أنه سيظل هناك متجهات ذاتية ذات مركبات غير سالبة، فمن المحتمل ألا يكون أي منها موجبًا.

المصفوفة العشوائية الصفية (العمودية) هي مصفوفة مربعة تتكون كل صفوفها (أعمدةها) من أعداد حقيقية غير سالبة مجموعها يساوي واحدًا. لا يمكن تطبيق النظرية مباشرةً على هذه المصفوفات لأنها ليست بالضرورة غير قابلة للاختزال.

إذا كانت المصفوفة A عشوائية الصفوف، فإن متجه العمود الذي يحتوي على كل عنصر 1 هو متجه ذاتي يناظر القيمة الذاتية 1، وهي أيضًا ρ( A ) وفقًا للملاحظة السابقة. قد لا تكون هذه القيمة الذاتية الوحيدة على دائرة الوحدة، وقد يكون الفضاء الذاتي المرتبط بها متعدد الأبعاد. إذا كانت A عشوائية الصفوف وغير قابلة للاختزال، فإن إسقاط بيرون يكون أيضًا عشوائي الصفوف، وجميع صفوفه متساوية.

تُستخدم هذه النظرية بشكل خاص في نظرية المخططات الجبرية . يُعرَّف "المخطط الأساسي" لمصفوفة مربعة غير سالبة من الرتبة n بأنه المخطط ذو الرؤوس المرقمة من 1 إلى n والقوس ij، إذا وفقط إذا كان _Aij ≠ 0. إذا كان المخطط الأساسي لهذه المصفوفة متصلاً اتصالاً قوياً، فإن المصفوفة تكون غير قابلة للاختزال، وبالتالي تنطبق النظرية. على وجه الخصوص، تكون مصفوفة التجاور للمخطط المتصل اتصالاً قوياً غير قابلة للاختزال. ^{[ 26 ] [ 27 ]}

للنظرية تفسير طبيعي في نظرية سلاسل ماركوف المحدودة (حيث أنها المكافئ النظري للمصفوفات لتقارب سلسلة ماركوف المحدودة غير القابلة للاختزال إلى توزيعها الثابت، والمصاغة من حيث مصفوفة الانتقال للسلسلة؛ انظر، على سبيل المثال، المقالة حول الإزاحة الفرعية من النوع المحدود ).

بشكلٍ أعم، يمكن تعميم ذلك ليشمل حالة المؤثرات المدمجة غير السالبة ، والتي تُشبه، من نواحٍ عديدة، المصفوفات ذات الأبعاد المحدودة. تُدرس هذه المؤثرات عادةً في الفيزياء تحت مسمى مؤثرات النقل ، أو أحيانًا مؤثرات رويل-بيرون-فروبينيوس (نسبةً إلى ديفيد رويل ). في هذه الحالة، تُشير القيمة الذاتية الرئيسية إلى التوازن الديناميكي الحراري لنظام ديناميكي ، بينما تُشير القيم الذاتية الأصغر إلى أنماط اضمحلال نظام غير متوازن. بالتالي، تُقدم هذه النظرية طريقةً لاكتشاف اتجاه الزمن فيما قد يبدو، لولا ذلك، عمليات ديناميكية قابلة للانعكاس وحتمية، عند دراستها من منظور طوبولوجيا المجموعات النقطية . ^{[ 28 ]}

إذا كانت A مصفوفة موجبة (أو بشكل عام مصفوفة أولية)، فإنه يوجد قيمة ذاتية موجبة حقيقية r (قيمة ذاتية بيرون-فروبينيوس أو جذر بيرون)، وهي أكبر تمامًا في القيمة المطلقة من جميع القيم الذاتية الأخرى، وبالتالي فإن r هو نصف قطر الطيف لـ A.

لا ينطبق هذا البيان على المصفوفات غير القابلة للاختزال غير السالبة العامة، والتي لها h قيم ذاتية بنفس القيمة الذاتية المطلقة مثل r ، حيث h هي دورة A.

بالنسبة للمصفوفة A الموجبة (أو بشكل عام غير القابلة للاختزال وغير السالبة)، يكون المتجه الذاتي المهيمن حقيقيًا وموجبًا تمامًا (بالنسبة للمصفوفة A غير السالبة، يكون المتجه الذاتي المهيمن غير سالب على التوالي).

يمكن إثبات ذلك باستخدام طريقة القوة ، التي تنص على أنه بالنسبة لمصفوفة A عامة بما فيه الكفاية (بالمعنى المذكور أدناه)، فإن متتالية المتجهات b _{_{k +1}} = Ab_{_k} / | Ab_{_k} | تتقارب إلى المتجه الذاتي ذي القيمة الذاتية القصوى . (يمكن اختيار المتجه الابتدائي b_₀ بشكل عشوائي باستثناء مجموعة قياس صفرية معينة). بالبدء بمتجه غير سالب b _₀ ، نحصل على متتالية المتجهات غير السالبة b_{_k} . وبالتالي، فإن المتجه النهائي غير سالب أيضًا. باستخدام طريقة القوة، يكون هذا المتجه النهائي هو المتجه الذاتي المهيمن للمصفوفة A ، مما يثبت صحة الادعاء. القيمة الذاتية المقابلة غير سالبة.

يتطلب البرهان حجتين إضافيتين. أولاً، تتقارب طريقة القوة للمصفوفات التي لا تحتوي على عدة قيم ذاتية لها نفس القيمة المطلقة للقيمة القصوى. وتضمن حجة القسم السابق ذلك.

ثانيًا، لضمان الإيجابية التامة لجميع مكونات المتجه الذاتي في حالة المصفوفات غير القابلة للاختزال. وينتج هذا عن الحقيقة التالية، وهي ذات أهمية مستقلة:

اللمة: بالنظر إلى مصفوفة موجبة (أو بشكل عام غير قابلة للاختزال وغير سالبة) A و v كمتجه ذاتي غير سالب لـ A ، فإنها بالضرورة موجبة تمامًا والقيمة الذاتية المقابلة موجبة تمامًا أيضًا.

البرهان. أحد تعريفات عدم الاختزال للمصفوفات غير السالبة هو أنه لكل مؤشرين i و j، يوجد m بحيث يكون ( A m )  ij  موجبًا تمامًا. إذا كان لدينا متجه ذاتي غير سالب v ، وكان أحد مكوناته على الأقل - ولنقل المكون i - موجبًا تمامًا، فإن القيمة الذاتية المقابلة تكون موجبة تمامًا. في الواقع، إذا كان لدينا n بحيث يكون ( A  n ) ii  > 0، فإن: r n v i  = A n  v i ≥ ( A n  ) ii v i > 0. وبالتالي ، فإن r n موجب تمامًا. المتجه الذاتي موجب تمامًا. ثم إذا كان لدينا m بحيث يكون ( A m ) ji  > 0، فإن: r m v  j = ( A  m vj ) ≥ ( A  m )  ji v i > 0، وبالتالي فإن v  j  موجب تمامًا، أي أن المتجه الذاتي موجب تمامًا.

يُثبت هذا القسم أن القيمة الذاتية لبيرون-فروبينيوس هي جذر بسيط لكثير الحدود المميز للمصفوفة. وبالتالي، فإن الفضاء الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية r لبيرون-فروبينيوس هو فضاء أحادي البعد. وتتشابه الحجج هنا مع تلك الواردة في بحث ماير. ^{[ 12 ]}

بفرض وجود متجه ذاتي موجب تمامًا v يناظر r ، ومتجه ذاتي آخر w له نفس القيمة الذاتية. ( يمكن اختيار المتجهين v و w كمتجهين حقيقيين، لأن A و r كلاهما حقيقيان، وبالتالي فإن الفضاء الصفري لـ Ar له أساس يتكون من متجهات حقيقية). بافتراض أن أحد مركبات w على الأقل موجب (وإلا يُضرب w في -1). بفرض وجود قيمة عظمى ممكنة لـ α بحيث يكون u = v - α، فإن w غير سالب، وبالتالي فإن أحد مركبات u يساوي صفرًا، وإلا فإن α ليست عظمى. المتجه u هو متجه ذاتي. وهو غير سالب، وبالتالي، وفقًا للنتيجة المذكورة في القسم السابق، فإن عدم السالبية يستلزم الإيجابية التامة لأي متجه ذاتي. من ناحية أخرى، وكما ذُكر أعلاه، فإن أحد مركبات u على الأقل يساوي صفرًا. هذا التناقض يعني أن w غير موجود.

Case: There are no Jordan blocks corresponding to the Perron–Frobenius eigenvalue r and all other eigenvalues which have the same absolute value.

If there is a Jordan block, then the infinity norm (A/r)^k_∞ tends to infinity for k → ∞ , but that contradicts the existence of the positive eigenvector.

Given r = 1, or A/r. Letting v be a Perron–Frobenius strictly positive eigenvector, so Av=v, then:

${\displaystyle \|v\|_{\infty }=\|A^{k}v\|_{\infty }\geq \|A^{k}\|_{\infty }\min _{i}(v_{i}),~~\Rightarrow ~~\|A^{k}\|_{\infty }\leq \|v\|/\min _{i}(v_{i})}$ So ‖A^k‖_∞ is bounded for all k. This gives another proof that there are no eigenvalues which have greater absolute value than Perron–Frobenius one. It also contradicts the existence of the Jordan block for any eigenvalue which has absolute value equal to 1 (in particular for the Perron–Frobenius one), because existence of the Jordan block implies that ‖A^k‖_∞ is unbounded. For a two by two matrix:

${\displaystyle J^{k}={\begin{pmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix}}^{k}={\begin{pmatrix}\lambda ^{k}&k\lambda ^{k-1}\\0&\lambda ^{k}\end{pmatrix}},}$

hence ‖J^k‖_∞ = |k + λ| (for |λ| = 1), so it tends to infinity when k does so. Since J^k = C⁻¹A^kC, then A^k ≥ J^k/ (C⁻¹C ), so it also tends to infinity. The resulting contradiction implies that there are no Jordan blocks for the corresponding eigenvalues.

Combining the two claims above reveals that the Perron–Frobenius eigenvalue r is simple root of the characteristic polynomial. In the case of nonprimitive matrices, there exist other eigenvalues which have the same absolute value as r. The same claim is true for them, but requires more work.

Given positive (or more generally irreducible non-negative matrix) A, the Perron–Frobenius eigenvector is the only (up to multiplication by constant) non-negative eigenvector for A.

Other eigenvectors must contain negative or complex components since eigenvectors for different eigenvalues are orthogonal in some sense, but two positive eigenvectors cannot be orthogonal, so they must correspond to the same eigenvalue, but the eigenspace for the Perron–Frobenius is one-dimensional.

بافتراض وجود زوج ذاتي ( λ , y ) للمصفوفة A ، بحيث يكون المتجه y موجبًا، وبمعرفة ( r , x )، حيث x هو المتجه الذاتي الأيسر لبيرون-فروبينيوس للمصفوفة A (أي المتجه الذاتي لـ A ^T )، فإن rx ^T y = ( x ^T A ) y = x ^T ( Ay ) = λx ^T y ، وبما أن x ^T y > 0، فإن r = λ . ولأن الفضاء الذاتي للقيمة الذاتية لبيرون-فروبينيوس r أحادي البعد، فإن المتجه الذاتي غير السالب y هو مضاعف للمتجه الذاتي لبيرون-فروبينيوس. ^{[ 31 ]}

بالنظر إلى مصفوفة موجبة (أو بشكل عام مصفوفة غير سالبة غير قابلة للاختزال) A ، يتم تعريف الدالة f على مجموعة جميع المتجهات غير السالبة وغير الصفرية x بحيث تكون f(x) هي القيمة الدنيا لـ [ Ax ] _i / xi _{المأخوذة} على جميع تلك i التي xi _≠ 0. عندئذٍ تكون f دالة حقيقية القيمة، وقيمتها القصوى هي القيمة الذاتية r لبيرون-فروبينيوس .

لإثبات ذلك، نرمز إلى القيمة العظمى للدالة f بالقيمة R. يتطلب الإثبات إثبات أن R = r . بإدخال المتجه الذاتي v لبيرون-فروبينيوس في f ، نحصل على f(v) = r، ومن ثم نستنتج أن r ≤ R. وللحصول على المتباينة المعاكسة، نعتبر متجهًا غير سالب x ونضع ξ = f(x) . يُعطي تعريف f أن 0 ≤ ξx ≤ Ax (مركبةً مركبة). الآن، نستخدم المتجه الذاتي الأيمن الموجب w للمصفوفة A للقيمة الذاتية r لبيرون-فروبينيوس ، فنحصل على: ξ = wTx ^≤ wT ⁽ Ax) = (wT ^{( A} )x) = rwTx ^. بالتالي ، f(x) = ξ ≤ r ، مما يعني أن R ≤ r . ^{[ 32 ]}

ليكن A مصفوفة موجبة (أو بشكل عام، مصفوفة أولية)، وليكن r هو القيمة الذاتية لبيرون-فروبينيوس.

1. يوجد حد A ^k /r ^k عندما k → ∞ ، نرمز إليه بـ P.
2. P هو عامل إسقاط : P ² = P ، والذي يتبادل مع A : AP = PA .
3. صورة P أحادية البعد وممتدة بواسطة المتجه الذاتي لبيرون-فروبينيوس v (على التوالي لـ P ^T —بواسطة المتجه الذاتي لبيرون-فروبينيوس w لـ A ^T ).
4. P = vw ^T ، حيث يتم تطبيع v و w بحيث يكون w ^T v = 1.
5. وبالتالي فإن P عامل موجب.

لذا، فإن P هو إسقاط طيفي للقيمة الذاتية r لـ Perron–Frobenius ، ويُسمى إسقاط Perron. لا يصح ما سبق ذكره بالنسبة للمصفوفات غير السالبة غير القابلة للاختزال بشكل عام.

في الواقع، فإن الادعاءات المذكورة أعلاه (باستثناء الادعاء 5) صحيحة لأي مصفوفة M بحيث توجد قيمة ذاتية r أكبر تمامًا من القيم الذاتية الأخرى بالقيمة المطلقة وهي الجذر البسيط لكثير الحدود المميز . (تنطبق هذه الشروط على المصفوفات الأولية كما سبق).

بما أن المصفوفة M قابلة للتقطير، فإنها مترافقة مع مصفوفة قطرية ذات قيم ذاتية r₁ _, ..., rₙ على القطر (حيث r₁ = r ). ستكون المصفوفة Mₖ ^/ rₖ مترافقة مع _{المصفوفة} (1, ( r₂ / _rₖ ^{) ₖ} , ..., ( rₙ _/ rₖ ) ^ₖ _{)، والتي تؤول إلى (1, 0, 0} , ..., 0) عندما k → ∞ ، وبالتالي فإن النهاية موجودة. وينطبق الأسلوب نفسه على المصفوفة M العامة ( دون افتراض أنها قابلة للتقطير).

تُعدّ خاصيتا الإسقاط والتبادلية نتيجتين أساسيتين للتعريف: MM ^k / r ^k = M ^k / r ^k M  ; P ² = lim M ^{2 k} / r ^{2 k} = P. والحقيقة الثالثة أساسية أيضًا: M ( Pu ) = M lim M ^k / r ^k u = lim rM ^{k +1} / r ^{k +1} u ، لذا فإن أخذ النهاية يُعطي M ( Pu ) = r ( Pu )، وبالتالي فإن صورة P تقع في الفضاء الذاتي r لـ M ، وهو فضاء أحادي البعد وفقًا للافتراضات.

إذا رمزنا بـ v للمتجه الذاتي r للمصفوفة M (وبـ w للمصفوفة M ^T )، فإن أعمدة المصفوفة P هي مضاعفات v ، لأن صورة P ممتدة بواسطته. وبالمثل، فإن صفوف w هي مضاعفات v . لذا، تأخذ P الشكل (avw ^T ) ، حيث a قيمة معينة . ومن ثم، فإن أثرها يساوي (aw ^T v) . أثر المسقط يساوي بُعد صورته. وقد ثبت سابقًا أنه ليس أكثر من بُعد واحد. من التعريف، نرى أن P تؤثر بشكل مطابق على المتجه الذاتي r للمصفوفة M. لذا ، فهي أحادية البُعد. باختيار ( w ^T v ) = 1، ينتج أن P = vw ^T.

بالنسبة لأي مصفوفة غير سالبة A، فإن قيمتها الذاتية r وفقًا لنظرية بيرون-فروبينيوس تحقق المتباينة التالية:

${\displaystyle r\;\leq \;\max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}$

هذا لا يقتصر على المصفوفات غير السالبة: لأي مصفوفة A ذات قيمة ذاتية${\displaystyle \scriptstyle \lambda }$صحيح أن${\displaystyle \scriptstyle |\lambda |\;\leq \;\max _{i}\sum _{j}|a_{ij}|}$هذه نتيجة مباشرة لنظرية دائرة غيرشغورين . ومع ذلك، هناك برهان آخر أكثر مباشرة:

أي معيار مستحث من المصفوفة يحقق المتباينة${\displaystyle \scriptstyle \|A\|\geq |\lambda |}$لأي قيمة ذاتية${\displaystyle \scriptstyle \lambda }$لأنه إذا${\displaystyle \scriptstyle x}$هو متجه ذاتي مناظر،${\displaystyle \scriptstyle \|A\|\geq |Ax|/|x|=|\lambda x|/|x|=|\lambda |}$معيار اللانهاية للمصفوفة هو أكبر مجموع لصفوفها:${\displaystyle \scriptstyle \left\|A\right\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|.}$وبالتالي فإن المتباينة المطلوبة هي بالضبط ${\displaystyle \scriptstyle \|A\|_{\infty }\geq |\lambda |}$يتم تطبيقها على المصفوفة غير السالبة A.

ومن أوجه عدم المساواة الأخرى ما يلي:

${\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\;\leq \;r.}$

هذه الحقيقة خاصة بالمصفوفات غير السالبة؛ أما بالنسبة للمصفوفات العامة، فلا يوجد ما يشابهها. إذا كانت المصفوفة A موجبة (وليست فقط غير سالبة)، فإنه يوجد متجه ذاتي موجب w بحيث يكون Aw = rw ، وأصغر عنصر في w (ولنقل wᵢ ₎ يساوي 1. عندئذٍ، يكون r = ( Aw ) _ᵢ ≥ مجموع الأعداد في الصف i من A. وبالتالي، فإن أصغر مجموع للصف يعطي حدًا أدنى لـ r، ويمكن تعميم هذه الملاحظة على جميع المصفوفات غير السالبة عن طريق الاستمرارية.

هناك طريقة أخرى لإثبات ذلك وهي باستخدام صيغة كولاتز -ويلاندت. نأخذ المتجه x  =  (1,  1,  ...,  1) ونحصل مباشرة على المتباينة.

• أبراهام بيرمان، روبرت ج. بليمونز ، المصفوفات غير السالبة في العلوم الرياضية ، 1994، SIAM. ISBN 0-89871-321-8.
• كريس جودسيل وجوردون رويل ، نظرية الرسم البياني الجبرية ، سبرينغر، 2001.
• أ. غراهام، المصفوفات غير السالبة والمواضيع التطبيقية في الجبر الخطي ، جون وايلي وأولاده، نيويورك، 1987.
• آر إيه هورن وسي آر جونسون، تحليل المصفوفات ، مطبعة جامعة كامبريدج، 1990
• باس ليمينز وروجر نوسباوم، نظرية بيرون-فروبينيوس غير الخطية ، سلسلة كامبريدج في الرياضيات 189، مطبعة جامعة كامبريدج، 2012.
• إس بي ماين و آر إل تويدي، سلاسل ماركوف والاستقرار العشوائي ، لندن: سبرينغر-فيرلاغ، 1993. ISBN 0-387-19832-6(الطبعة الثانية، مطبعة جامعة كامبريدج، 2009)
• سينيتا، إي. المصفوفات غير السالبة وسلاسل ماركوف . الطبعة الثانية المنقحة، 1981، 16، 288 صفحة، غلاف ورقي، سلسلة سبرينغر في الإحصاء. (نُشرت أصلاً بواسطة ألين وأونوين المحدودة، لندن، 1973) ISBN 978-0-387-29765-1
• سوبرونينكو، د.أ. (2001) [1994]، "نظرية بيرون-فروبينيوس" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS(الادعاء بأن A _j لها رتبة n / h في نهاية نص النظرية غير صحيح.)
• فارغا، ريتشارد س. (2002)، التحليل التكراري للمصفوفات (الطبعة الثانية  )، سبرينغر-فيرلاغ.