جيري موناد

في الرياضيات ، تُعرف موناد جيري بأنها بنية تُخصص لفضاء قابل للقياس فضاءً من مقاييس الاحتمال عليه، مزودًا بجبر سيجما معياري . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} وهي أحد الأمثلة الرئيسية على موناد الاحتمال .

يتم استخدامه ضمنيًا في نظرية الاحتمالات كلما نظر المرء في مقاييس الاحتمال التي تعتمد بشكل قابل للقياس على معلمة (مما يؤدي إلى ظهور نوى ماركوف )، أو عندما يكون لدى المرء مقاييس احتمال على مقاييس الاحتمال (كما هو الحال في نظرية دي فينيتي ).

ومثل العديد من البنى القابلة للتكرار، فإن لها بنية نظرية الفئات الخاصة بالموناد ، على فئة الفضاءات القابلة للقياس .

تتكون موناد جيري، مثل كل موناد ، من ثلاثة هياكل: ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

• التعيين الوظيفي ، الذي يُعيّن في هذه الحالة إلى فضاء قابل للقياس${\displaystyle X}$فضاء من مقاييس الاحتمالية${\displaystyle PX}$تجاوز الأمر؛
• خريطة طبيعية${\displaystyle \delta _{X}:X\to PX}$تسمى الوحدة ، والتي في هذه الحالة تعين لكل عنصر من عناصر الفضاء مقياس ديراك عليه؛
• خريطة طبيعية${\displaystyle {\mathcal {E}}_{X}:PPX\to PX}$وتسمى هذه العملية بالضرب ، والتي في هذه الحالة تعين لكل مقياس احتمالي على مقاييس الاحتمال قيمته المتوقعة .

إحدى خصائص جبر سيجما${\displaystyle {\mathcal {PF}}}$هل ذلك بالنظر إلى المساحات القابلة للقياس${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$و${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}$لدينا تناظر تقابلي بين الدوال القابلة للقياس${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\to (PY,{\mathcal {PG}})}$ونوى ماركوف${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$وهذا يسمح بالنظر إلى نواة ماركوف، بشكل مكافئ، على أنها مقياس احتمالي قابل للقياس. ^{[ 10 ]}

بمزيد من التفصيل، بالنظر إلى دالة قابلة للقياس${\displaystyle f:(X,{\mathcal {F}})\to (PY,{\mathcal {PG}})}$، يمكن الحصول على نواة ماركوف${\displaystyle f^{\flat }:(X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$على النحو التالي،

${\displaystyle f^{\flat }(B|x)=f(x)(B)}$

لكل${\displaystyle x\in X}$وكل ما يمكن قياسه${\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}$(لاحظ أن${\displaystyle f(x)\in PY}$(هو مقياس احتمالي). وعلى العكس من ذلك، بالنظر إلى نواة ماركوف${\displaystyle k:(X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$، يمكن للمرء أن يشكل الدالة القابلة للقياس${\displaystyle k^{\sharp }:(X,{\mathcal {F}})\to (PY,{\mathcal {PG}})}$رسم الخرائط${\displaystyle x\in X}$إلى مقياس الاحتمالية${\displaystyle k^{\sharp }(x)\in PY}$محدد بواسطة

${\displaystyle k^{\sharp }(x)(B)=k(B|x)}$

لكل قابل للقياس${\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}$. التعيينان متعاكسان.

من وجهة نظر نظرية الفئات ، يمكننا تفسير هذا التطابق على أنه اقتران.

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathrm {Meas} }(X,PY)\cong \mathrm {Hom} _{\mathrm {Stoch} }(X,Y)}$

بين فئة الفضاءات القابلة للقياس وفئة نوى ماركوف . وعلى وجه الخصوص، يمكن اعتبار فئة نوى ماركوف بمثابة فئة كليسلي لموناد جيري. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

بالنظر إلى المساحات القابلة للقياس${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$و${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}$، يمكن للمرء أن يشكل المساحة القابلة للقياس${\displaystyle (PX,{\mathcal {PX}})\times (PY,{\mathcal {PY}})=(X\times Y,{\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}})}$مع جبر سيجما الناتج ، وهو الناتج في فئة الفضاءات القابلة للقياس . بالنظر إلى مقاييس الاحتمال${\displaystyle p\in PX}$و${\displaystyle q\in PY}$، يمكن للمرء أن يشكل مقياس المنتج${\displaystyle p\otimes q}$على${\displaystyle (X\times Y,{\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}})}$وهذا يعطي خريطة طبيعية وقابلة للقياس

${\displaystyle (PX,{\mathcal {PF}})\times (PY,{\mathcal {PG}})\to {\big (}P(X\times Y),{\mathcal {P(F\times G)}}{\big )}}$

ويرمز إليه عادة بـ${\displaystyle \nabla }$أو عن طريق${\displaystyle \otimes }$[ ^{4 ]​}

الخريطة${\displaystyle \nabla :PX\times PY\to P(X\times Y)}$بشكل عام، لا يُعدّ تماثلاً، حيث توجد مقاييس احتمالية على${\displaystyle X\times Y}$والتي لا تمثل توزيعات ناتجة عن منتج، على سبيل المثال في حالة الارتباط . ومع ذلك، فإن الخرائط${\displaystyle \nabla :PX\times PY\to P(X\times Y)}$والتماثل${\displaystyle 1\cong P1}$اجعل موناد جيري مونادًا أحاديًا ، وبالتالي مونادًا قويًا تبادليًا على وجه الخصوص . ^{[ 4 ]}

• إذا كانت مساحة قابلة للقياس${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$هو معيار بوريل ، وكذلك${\displaystyle (PX,{\mathcal {PF}})}$لذلك، فإن موناد جيري يقتصر على الفئة الفرعية الكاملة لفضاءات بوريل القياسية. ^{[ 1 ] [ 4 ]}
• تتضمن جبريات موناد جيري مجموعات فرعية محدبة مضغوطة من الفضاءات الإقليدية ، بالإضافة إلى خط الأعداد الحقيقية الموجبة الممتد${\displaystyle [0,\infty ]}$، مع خريطة البنية الجبرية المعطاة بأخذ القيم المتوقعة . ^{[ 11 ]} على سبيل المثال، لـ${\displaystyle [0,\infty ]}$خريطة الهيكل${\displaystyle e:P[0,\infty ]\to [0,\infty ]}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle p\longmapsto \int _{[0,\infty )}x\,p(dx)}$

حينما${\displaystyle p}$مدعوم على${\displaystyle [0,\infty )}$وله قيمة متوقعة محدودة، و${\displaystyle e(p)=\infty }$خلاف ذلك.

توجد نسخة محدودة من موناد جيري، المشار إليها هنا بـ${\displaystyle F}$الذي يرسم مجموعة${\displaystyle S}$إلى مجموعة التركيبات المحدبة على${\displaystyle S.}$وهكذا، على سبيل المثال إذا${\displaystyle S=\{a,b,c\}}$، التركيبة الرسمية${\displaystyle 0.2a+0.2b+0.6c}$سيتم تضمينها في${\displaystyle FS}$.

• توزيع الخليط
• توزيع المركب
• نظرية دي فينيتي
• مساحة قابلة للقياس
• نواة ماركوف
• الموناد (نظرية الفئات)
• الموناد (البرمجة الوظيفية)
• فئة المساحات القابلة للقياس
• فئة نواة ماركوف
• الاحتمال الفئوي

• مونادات الاحتمالات والمقاييس والتقييمات ، في nLab .
• https://ncatlab.org/nlab/show/Giry+monad

• ما هو الموناد الاحتمالي؟، فيديو تعليمي.