الموناد (نظرية الفئات)

تنشأ الموناد المزدوجة للازدواجية ، بالنسبة لحقل ثابت k، من الاقتران.

${\displaystyle (-)^{*}:\mathbf {Vect} _{k}\rightleftarrows \mathbf {Vect} _{k}^{op}:(-)^{*}}$

حيث يتم إعطاء كلا المؤثرين عن طريق إرسال فضاء متجهي V إلى فضاءه المتجهي الثنائي${\displaystyle V^{*}:=\operatorname {Hom} (V,k)}$ترسل الموناد المرتبطة فضاءً متجهيًا V إلى ثنائيها المزدوج .${\displaystyle V^{**}}$تمت مناقشة هذه الوحدة، بشكل أكثر عمومية، من قبل كوك (1970) .

بالنسبة للفئات الناشئة عن المجموعات المرتبة جزئيا${\displaystyle (P,\leq )}$(مع تشاكل واحد من${\displaystyle x}$ل${\displaystyle y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x\leq y}$), ثم يصبح الشكل أبسط بكثير: الأزواج المرافقة هي اتصالات غالوا والمونادات هي عوامل الإغلاق .

على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle G}$ليكن المؤثر النسياني من فئة الزمر Grp إلى فئة المجموعات Set ، وليكن ${\displaystyle F}$ليكن دالة المجموعة الحرة من فئة المجموعات إلى فئة المجموعات.${\displaystyle F}$هو المجاور الأيسر لـ${\displaystyle G}$في هذه الحالة، الموناد المرتبط${\displaystyle T=G\circ F}$يأخذ مجموعة${\displaystyle X}$وتعيد المجموعة الأساسية للمجموعة الحرة${\displaystyle \mathrm {Free} (X)}$يتم تحديد خريطة الوحدة لهذه الموناد بواسطة الخرائط

${\displaystyle X\to T(X)}$

بما في ذلك أي مجموعة${\displaystyle X}$في المجموعة${\displaystyle \mathrm {Free} (X)}$بالطريقة الطبيعية، كسلاسل طولها 1. علاوة على ذلك، فإن ضرب هذه الموناد هو الخريطة

${\displaystyle T(T(X))\to T(X)}$

يتكون من تسلسل طبيعي أو "تسطيح" لسلاسل من السلاسل. وهذا يُعادل تحويلين طبيعيين . يمكن تعميم المثال السابق حول المجموعات الحرة على أي نوع من الجبر بمعنى تنوع الجبر في الجبر الشامل . وبالتالي، يُنتج كل نوع من هذا الجبر مونادًا على فئة المجموعات. والأهم من ذلك، أنه يمكن استعادة نوع الجبر من الموناد (كفئة جبر إيلنبرغ-مور)، لذا يمكن أيضًا اعتبار المونادات تنوعات معممة للجبر الشامل.

الموناد الأخرى الناشئة عن الاقتران هي عندما${\displaystyle T}$هو الدالة الداخلية على فئة الفضاءات المتجهة التي تُسقط على فضاء متجهي${\displaystyle V}$إلى جبر الموترات الخاص به${\displaystyle T(V)}$، والتي تُحوّل الخرائط الخطية إلى حاصل ضربها الموتري. ثم لدينا تحويل طبيعي يُقابل تضمين${\displaystyle V}$إلى جبر الموترات الخاص بها ، وتحويل طبيعي يتوافق مع الخريطة من${\displaystyle T(T(V))}$ل${\displaystyle T(V)}$يتم الحصول عليها ببساطة عن طريق توسيع جميع نواتج الضرب الموترية.

تضيف الدالة الداخلية للموناد ربما أو الجزئية نقطة منفصلة: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle (-)_{*}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set} }$

${\displaystyle X\mapsto X\cup \{*\}}$

تُحدد الوحدة من خلال تضمين مجموعة${\displaystyle X}$داخل${\displaystyle X_{*}}$:

${\displaystyle \eta _{X}:X\to X_{*}}$

${\displaystyle x\mapsto x}$

تُمثل عملية الضرب عناصر من${\displaystyle X}$لأنفسهم، والنقطتين المنفصلتين في${\displaystyle (X_{*})_{*}}$إلى الشخص الموجود في${\displaystyle X_{*}}$.

في كل من البرمجة الوظيفية والدلالات الدلالية، يمثل نموذج ربما موناد العمليات الحسابية الجزئية ، أي العمليات الحسابية التي قد تفشل.

بالنظر إلى مجموعة${\displaystyle S}$، تقوم الدالة الداخلية لحالة الموناد بتعيين كل مجموعة${\displaystyle X}$إلى مجموعة الدوال${\displaystyle S\to S\times X}$. إنه${\displaystyle S(X)=\{f:S\to S\times X\}}$، و${\displaystyle S(S(X))=\{f:S\to S\times (S\to S\times X)\}}$.

مكون الوحدة عند${\displaystyle X}$يرسم كل عنصر${\displaystyle x\in X}$إلى الوظيفة

${\displaystyle \eta _{X}(x):S\to S\times X}$

${\displaystyle s\mapsto (s,x)}$

عملية الضرب تحدد الدالة${\displaystyle f:S\to S\times (S\to S\times X),s\mapsto (s',f')}$إلى الوظيفة

${\displaystyle \mu _{X}(f):S\to S\times X}$

${\displaystyle s\mapsto f'(s')}$

بمزيد من التفصيل، بالنظر إلى${\displaystyle f\in S(S(X))}$وهو الزوج${\displaystyle f=(f_{1},f_{2})}$أين ${\displaystyle f_{1}:S\to S}$و${\displaystyle f_{2}:S\to (S\to S\times X)}$، لهذا السبب ${\displaystyle f(s)={\big (}f_{1}(s),f_{2}(s):S\to (S\times X){\big )}}$.

يمكننا عكس الكاري${\displaystyle f_{2}}$لإعطاء${\displaystyle f_{3}:(S\times S)\to (S\times X)}$وهذا بدوره يمكن تقسيمه إلى ${\displaystyle f_{4}:(S\times S)\to S}$و${\displaystyle f_{5}:(S\times S)\to X)}$لهذا السبب.

${\displaystyle f_{2}(s_{1})(s_{2})=f_{3}(s_{1},s_{2})={\Big (}f_{4}(s_{1},s_{2}),f_{5}(s_{1},s_{2}){\Big )}}$

ثم يمكننا إعادة التعبير${\displaystyle f\in S(S(X))}$مثل

${\displaystyle f:S\times S\to S\times S\times X,\qquad f(s_{1},s_{2})={\Big (}f_{1}(s_{1}),f_{4}(s_{1},s_{2}),f_{5}(s_{1},s_{2}){\Big )}}$

يمكننا الآن إعطاء الانضمام كـ${\displaystyle \mu _{X}(f):S\to S\times X}$

${\displaystyle {\big (}\mu _{X}(f){\big )}(s)={\Big (}f_{4}(s,f_{1}(s)),f_{5}(s,f_{1}(s)){\Big )}}$

في البرمجة الوظيفية والدلالات التفسيرية، يمثل نموذج الحالة الأحادي العمليات الحسابية ذات الحالة .

بالنظر إلى مجموعة${\displaystyle E}$، الدالة الداخلية للقارئ أو موناد البيئة تقوم بتعيين كل مجموعة${\displaystyle X}$إلى مجموعة الدوال${\displaystyle E\to X}$وبالتالي، فإن الدالة الداخلية لهذه الموناد هي بالضبط دالة التماثل .${\displaystyle \mathrm {Hom} (E,-)}$. مكون الوحدة عند${\displaystyle X}$يرسم كل عنصر${\displaystyle x\in X}$إلى الدالة الثابتة${\displaystyle e\mapsto x}$.

عملية الضرب تُحوّل دالة ذات متغيرين${\displaystyle f:E\to (E\to X)}$إلى "مكونها القطري"${\displaystyle (e\mapsto f(e,e)):E\to X}$بمعنى آخر، الضرب هو عملية تركيب مسبق مع

${\displaystyle \Delta :E\to E\times E}$

${\displaystyle e\mapsto (e,e).}$

في البرمجة الوظيفية والدلالات التفسيرية، تقوم موناد البيئة بنمذجة العمليات الحسابية مع إمكانية الوصول إلى بعض البيانات للقراءة فقط.

تُحوّل وحدة القائمة أو وحدة اللا حتمية مجموعة X إلى مجموعة المتتاليات المنتهية (أي القوائم ) التي تحتوي على عناصر من X. وتُحوّل وحدة المحايد العنصر x في X إلى القائمة الأحادية [x]. أما عملية الضرب فتدمج قائمة من القوائم في قائمة واحدة.

في البرمجة الوظيفية، تُستخدم موناد القائمة لنمذجة العمليات الحسابية غير الحتمية . وتُعرف موناد مجموعة القوى المتغيرة أيضًا باسم موناد المجموعة ، وتُستخدم كذلك لنمذجة العمليات الحسابية غير الحتمية.

على سبيل المثال، بالنسبة لمجموعة الموناد الحرة التي نوقشت أعلاه، أ${\displaystyle T}$الجبر هو مجموعة${\displaystyle X}$بالإضافة إلى خريطة من المجموعة المجانية التي تم إنشاؤها بواسطة${\displaystyle X}$تجاه${\displaystyle X}$يخضع ذلك لشروط التجميع والوحدة. هذا الهيكل يعادل القول بأن${\displaystyle X}$هي مجموعة بحد ذاتها.

مثال آخر هو موناد التوزيع${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ضمن فئة المجموعات. يتم تعريفها عن طريق إرسال مجموعة${\displaystyle X}$إلى مجموعة الدوال${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ذات دعم محدود، بحيث يكون مجموعها مساوياً لـ${\displaystyle 1}$في تدوين بناء المجموعات، هذه هي المجموعة$${\displaystyle {\mathcal {D}}(X)=\left\{f:X\to [0,1]:{\begin{matrix}\#{\text{supp}}(f)<+\infty \\\sum _{x\in X}f(x)=1\end{matrix}}\right\}}$$من خلال فحص التعريفات، يمكن إثبات أن الجبر على موناد التوزيع مكافئ للمجموعات المحدبة ، أي المجموعات المزودة بعمليات${\displaystyle x+_{r}y}$ل${\displaystyle r\in [0,1]}$تخضع لبديهيات تشبه سلوك التراكيب الخطية المحدبة${\displaystyle rx+(1-r)y}$في الفضاء الإقليدي. ^{[ 9 ]}

ومن الأمثلة المفيدة الأخرى على الموناد دالة الجبر المتناظر على فئة${\displaystyle R}$وحدات نمطية لحلقة تبديلية${\displaystyle R}$.$${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(-):{\text{Mod}}(R)\to {\text{Mod}}(R)}$$إرسال${\displaystyle R}$-وحدة${\displaystyle M}$إلى المجموع المباشر لقوى الموتر المتناظر$${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\text{Sym}}^{k}(M)}$$أين${\displaystyle {\text{Sym}}^{0}(M)=R}$. على سبيل المثال،${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(R^{\oplus n})\cong R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$حيث${\displaystyle R}$يُعتبر الجبر على اليمين وحدة نمطية. وبالتالي، فإن الجبر على هذه الوحدة النمطية يكون تبديليًا.${\displaystyle R}$الجبر - يوجد أيضًا جبر على المونادات للموترات المتناوبة${\displaystyle {\text{Alt}}^{\bullet }(-)}$ودوال الموتر الكلية${\displaystyle T^{\bullet }(-)}$مما يعطي تناظرًا مضادًا${\displaystyle R}$الجبر، و${\displaystyle R}$الجبر، لذلك$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Alt}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R(x_{1},\ldots ,x_{n})\\{\text{T}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle \end{aligned}}}$$حيث الحلقة الأولى هي الجبر الحر المضاد للتناظر على${\displaystyle R}$في${\displaystyle n}$-المولدات والحلقة الثانية هي الجبر الحر على${\displaystyle R}$في${\displaystyle n}$-المولدات.

يوجد بناء مماثل للتبديل${\displaystyle \mathbb {S} }$الجبر ^{[ 10 ] صفحة 113} الذي يعطي خاصية التبديل${\displaystyle A}$جبر - للتبديل${\displaystyle \mathbb {S} }$-الجبر${\displaystyle A}$. لو${\displaystyle {\mathcal {M}}_{A}}$هي فئة${\displaystyle A}$-الوحدات، ثم الدالة${\displaystyle \mathbb {P}$ الموناد المعطاة بواسطة : {\mathcal {M}}_{A}\to {\mathcal {M}}_{A}} $${\displaystyle \mathbb {P} (M)=\bigvee _{j\geq 0}M^{j}/\Sigma _{j}}$$أين$${\displaystyle M^{j}=M\wedge _{A}\cdots \wedge _{A}M}$$${\displaystyle j}$مرات. ثم هناك فئة مرتبطة بها${\displaystyle {\mathcal {C}}_{A}}$من التبادلية${\displaystyle A}$-الجبر من فئة الجبر على هذه الموناد.