قانون جومبيرتز-ماكهام للوفيات

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 69 صور
الموسوعة الحرة
تأثير ألفا على دالة كثافة جومبيرتز-ماكهام

قانون جومبيرتز-ماكهام للوفيات هو نموذج رياضي لنمط معدلات الوفيات حسب العمر. يعبّر هذا القانون عن قوة الوفيات (الخطر اللحظي للوفاة) كمجموع عنصرين: عنصر يعتمد على العمر، وهو دالة جومبيرتز، التي تزداد تقريبًا بشكل أُسّي مع التقدم في السن، وعنصر أساسي مستقل تقريبًا عن العمر يُعرف باسم عنصر ماكهام. [ 1 ] [ 2 ] في المجتمعات التي تكون فيها الوفيات الناجمة عن أسباب خارجية نادرة، غالبًا ما يكون العنصر الأساسي صغيرًا، ويمكن وصف معدل الوفيات بدقة باستخدام قانون جومبيرتز الأبسط للوفيات . [ 3 ] [ 4 ]

بالنسبة للبالغين، يُجسّد مُكوّن جومبيرتز الانتظام التجريبي المتمثل في ارتفاع خطر الوفاة الفردي بشكل حاد مع التقدم في السن. بعد بداية مرحلة البلوغ، يُمكن وصف العديد من المجتمعات السكانية بشكل معقول بزيادة شبه أسية في الخطر، حيث يتضاعف احتمال الوفاة في سنة معينة تقريبًا كل ثماني سنوات. [ 5 ] لا يهدف النموذج إلى وصف ارتفاع معدل الوفيات في مرحلتي الرضاعة والطفولة المبكرة، وفي أعلى الأعمار، تكون تقديرات مسار الوفيات حساسة لجودة البيانات وافتراضات النمذجة. [ 6 ] تُشير بعض الدراسات الديموغرافية إلى تباطؤ في زيادة معدلات الوفيات أو استقرارها بين كبار السن جدًا، بينما تجد دراسات أخرى أن البيانات المُنقّاة تظل متوافقة مع سلوك جومبيرتز-ماكهام على نطاق عمري واسع. [ 6 ] [ 7 ]

نظراً لبساطة صيغته الوظيفية وإمكانية تفسير معاييره، يُستخدم قانون جومبيرتز-ماكهام على نطاق واسع في العلوم الاكتوارية لبناء جداول الحياة وتسعير منتجات التأمين على الحياة والمعاشات التقاعدية، وفي علم السكان وعلم الشيخوخة لنمذجة وفيات البالغين، وفي نظرية موثوقية الشيخوخة وطول العمر كتوزيع بقاء بارامتري للأنظمة البيولوجية والتقنية. [ 3 ] [ 4 ]

تاريخ

في عام 1825، نشر الخبير الإكتواري الإنجليزي بنيامين جومبيرتز تحليلًا لوفيات البشر، اقترح فيه أن معدل الوفيات المرتبط بالعمر يزداد تقريبًا بشكل أُسّي مع التقدم في السن. [ 1 ] وسرعان ما اعتُمد هذا "القانون الخاص بوفيات البشر" في الأعمال الإكتوارية المتعلقة ببناء جداول الحياة وتقييم المعاشات ، وأصبح يُعرف لاحقًا ببساطة باسم قانون جومبيرتز للوفيات. [ 8 ] [ 3 ]

في عام 1860، عمّم الخبير الإكتواري ويليام ماكهام صيغة جومبيرتز بإضافة حدٍّ مستقلٍّ تقريبًا عن العمر لتمثيل الوفيات الناجمة عن أسباب خارجية تؤثر على جميع الأعمار في المجتمع. [ 2 ] وقد عبّر قانون جومبيرتز-ماكهام الناتج عن ذلك عن قوة الوفيات كمجموع مُكوِّن جوهري متزايد أُسِّيًّا ومُكوِّن أساسي ثابت، وسرعان ما أصبح نموذجًا قياسيًّا في العلوم الإكتوارية وعلم السكان . [ 3 ]

خلال القرن العشرين، أُعيد النظر في نموذج جومبيرتز-ماكهام في المجالات الناشئة لعلم السكان الحيوي ونظرية موثوقية الشيخوخة وطول العمر ، حيث استُخدم لوصف الانتظامات في وفيات البالغين من البشر ولمقارنة أنماط الشيخوخة عبر الأنواع والسكان. [ 8 ] [ 9 ] [ 7 ]

الصياغة الرياضية

يحدد قانون جومبيرتز-ماكهام، بصيغته الزمنية المستمرة، دالة الخطر (أو قوة الوفيات) عند عمرx{\displaystyle x}مثل

μ(x)=αهـβx+λ،x≥0، α>0، β>0، λ≥0.{\displaystyle \mu (x)=\alpha e^{\beta x}+\lambda ,\qquad x\geq 0,\ \alpha >0,\ \beta >0,\ \lambda \geq 0.}

على المدىαهـβx{\displaystyle \alpha e^{\beta x}}يمثل هذا المكون غومبيرتز، ويزداد تقريبًا بشكل أُسّي مع التقدم في العمر. الحد الثابتλ{\displaystyle \lambda }يمثل مكون ماكهام خطرًا أساسيًا للوفاة لا يرتبط بالعمر تقريبًا، وينتج عن أسباب مثل الحوادث والعدوى الحادة. [ 4 ]

إذا كان الخطر يتخذ هذا الشكل لجميع الأعمار، فإن دالة البقاء المرتبطة بهS(x){\displaystyle S(x)}ودالة التوزيع التراكميF(x){\displaystyle F(x)}يمكن تعريف توزيع جومبيرتز-ماكهام. ويمكن كتابته على النحو التالي:

S(x)=خبرة⁡(-λx-αβ(هـβx-1))،x≥0،{\displaystyle S(x)=\exp \left(-\lambda x-{\frac {\alpha }{\beta }}{\bigl (}e^{\beta x}-1{\bigr )}\right),\qquad x\geq 0,}
F(x)=1-S(x)=1-خبرة⁡(-λx-αβ(هـβx-1))،{\displaystyle F(x)=1-S(x)=1-\exp \left(-\lambda x-{\frac {\alpha }{\beta }}{\bigl (}e^{\beta x}-1{\bigr )}\right),}

ودالة كثافة الاحتمال المقابلةو(x){\displaystyle f(x)}يكون

و(x)=(αهـβx+λ)خبرة⁡(-λx-αβ(هـβx-1))،x>0.{\displaystyle f(x)={\bigl (}\alpha e^{\beta x}+\lambda {\bigr )}\,\exp \left(-\lambda x-{\frac {\alpha }{\beta }}{\bigl (}e^{\beta x}-1{\bigr )}\right),\qquad x>0.}

توفر هذه العلاقات نموذجًا بارامتريًا لأعمار البالغين وبيانات أخرى متعلقة بأوقات الفشل. [ 4 ]

معامل المقياسα{\displaystyle \alpha }يحدد المستوى الأولي لمكون الوفيات المرتبط بالعمر،β{\displaystyle \beta }يتحكم في المعدل الأسي الذي يزداد به هذا المكون مع التقدم في العمر، وλ{\displaystyle \lambda }يمثل مستوى الوفيات الأساسي الذي لا يعتمد بشكل كبير على العمر. [ 4 ] الإعدادλ=0{\displaystyle \lambda =0}ينتج عنه توزيع جومبيرتز، وبالتالي قانون جومبيرتز الكلاسيكي للوفيات، مع الأخذ في الاعتبارα→0{\displaystyle \alpha \to 0}معλ{\displaystyle \lambda }يُعطي الثابت توزيعًا أسيًا مع خطر ثابت.

من المفيد العمل باستخدام دالة الكمية في بعض المهام التحليلية والمحاكاةسؤال(u){\displaystyle Q(u)}، وهو معكوس دالة التوزيع التراكمي. صيغة مغلقة لـسؤال(u){\displaystyle Q(u)}يمكن كتابتها باستخدام الفرع الرئيسيدبليو0{\displaystyle W_{0}}من دالة لامبرت W كـ

سؤال(u)=αβλ-1λln⁡(1-u)-1βدبليو0(αλخبرة[αλ](1-u)-β/λ)،0<u<1،{\displaystyle Q(u)={\frac {\alpha }{\beta \lambda }}-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-u)-{\frac {1}{\beta }}W_{0}\!\left({\frac {\alpha }{\lambda }}\exp \!\left[{\frac {\alpha }{\lambda }}\right](1-u)^{-\beta /\lambda }\right),\qquad 0<u<1,}

مما يوفر طريقة مباشرة لتوليد أعمار عشوائية بتوزيع جومبيرتز-ماكهام من متغير عشوائي منتظم . [ 10 ]

اللحظات ومتوسط ​​العمر المتوقع

يتركX{\displaystyle X}لنرمز إلى متغير عشوائي غير سالب ذي مخاطر جومبيرتز-ماكهامμ(x)=αهـβx+λ{\displaystyle \mu (x)=\alpha e^{\beta x}+\lambda }ووظيفة البقاءS(x){\displaystyle S(x)}كما سبق. يمكن كتابة متوسط ​​العمر (متوسط ​​العمر المتوقع عند الولادة) على النحو التالي:

هـ⁡[X]=∫0∞S(x)دx.{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }S(x)\,\mathrm {d} x.}

بالنسبة لتوزيع جومبيرتز-ماكهام، يكون لهذا التكامل شكل مغلق بدلالة دالة جاما غير الكاملة العلياΓ(s،z){\displaystyle \Gamma (s,z)}إحدى العبارات المناسبة هي

هـ⁡[X]=هـα/ββ(αβ)λ/βΓ(-λβ،αβ)،{\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {e^{\alpha /\beta }}{\beta }}\left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)^{\lambda /\beta }\Gamma \!\left(-{\frac {\lambda }{\beta }},{\frac {\alpha }{\beta }}\right),}

وهو ما ينطبق علىα>0{\displaystyle \alpha >0}،β>0{\displaystyle \beta >0}وλ≥0{\displaystyle \lambda \geq 0}[ 11 ] [ 4 ] يمكن كتابة صيغ أكثر عمومية لحساب متوسط ​​العمر المتوقع المتبقي عند أي عمر بطريقة مماثلة، وغالبًا ما تُستخدم في التطبيقات الديموغرافية والإكتوارية. [ 11 ]

يمكن تعريف اللحظات العليا من خلال الهوية العامة

هـ⁡[Xك]=ك∫0∞xك-1S(x)دx،ك>0،{\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=k\int _{0}^{\infty }x^{k-1}S(x)\,\mathrm {d} x,\qquad k>0,}

بحيث يكون تباينX{\displaystyle X}يكون

متغير⁡(X)=2∫0∞xS(x)دx-(هـ⁡[X])2.{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=2\int _{0}^{\infty }xS(x)\,\mathrm {d} x-{\bigl (}\operatorname {E} [X]{\bigr )}^{2}.}

تتوفر في المراجع صيغ مغلقة لهذه التكاملات بدلالة دوال خاصة، وتُستخدم لدراسة كيفية اعتماد متوسط ​​العمر المتوقع والتباين في سن الوفاة على معلمات النموذج. [ 4 ] [ 12 ]

معدل الزيادة ووقت تضاعف الوفيات

عنصر جومبيرتز من المخاطر،μجي(x)=αهـβx{\displaystyle \mu _{\text{G}}(x)=\alpha e^{\beta x}}، له لوغاريتم خطي بالنسبة للعمر:

سجل⁡μجي(x)=سجل⁡α+βx.{\displaystyle \log \mu _{\text{G}}(x)=\log \alpha +\beta x.}

الميل الثابتβ{\displaystyle \beta }يصف هذا مدى سرعة ازدياد لوغاريتم المخاطر مع التقدم في العمر. ومن الملخصات الشائعة الاستخدام زمن تضاعف الوفيات، والذي يُعرَّف بأنه الفترة العمرية.تي{\displaystyle T}والتي يتضاعف فيها مكون جومبيرتز،

μجي(x+تي)=2μجي(x).{\displaystyle \mu _{\text{G}}(x+T)=2\,\mu _{\text{G}}(x).}

حل هذه المعادلة يعطي

تي=ln⁡2β.{\displaystyle T={\frac {\ln 2}{\beta }}.}

عند تطبيق منحنيات جومبيرتز-ماكهام على معدل وفيات البالغين، فإن القيم المقدرة لـβ{\displaystyle \beta }غالباً ما يكونون موجودين0.085{\displaystyle 0.085}سنوياً، وهو ما يتوافق مع فترة تضاعف تبلغ حوالي ثماني سنوات، ويتطابق مع القاعدة التجريبية الموصوفة في دراسات وفيات البالغين. [ 13 ] [ 14 ]

التقريب الزمني المنفصل واحتمالات الوفاة السنوية

في مجال جداول الحياة، غالباً ما يتم وصف معدل الوفيات من حيث احتمالية الوفاة خلال عام واحد بين الأعمارx{\displaystyle x}وx+1{\displaystyle x+1}، ويشار إليه عادة بـqx{\displaystyle q_{x}}بالنسبة لنموذج زمني مستمر مع وجود خطرμ(ت){\displaystyle \mu (t)}ويمكن كتابة احتمال الوفاة المقابل خلال عام واحد على النحو التالي:

qx=1-خبرة(-∫xx+1μ(ت)دت).{\displaystyle q_{x}=1-\exp \!\left(-\int _{x}^{x+1}\mu (t)\,\mathrm {d} t\right).}

لوμ(ت)=αهـβت+λ{\displaystyle \mu (t)=\alpha e^{\beta t}+\lambda }يتبع شكل جومبيرتز-ماكهام لجميع الحقيقياتت≥0{\displaystyle t\geq 0}ثم يؤدي التكامل المباشر إلى

∫xx+1μ(ت)دت=λ+αβ(هـβ(x+1)-هـβx)،{\displaystyle \int _{x}^{x+1}\mu (t)\,\mathrm {d} t=\lambda +{\frac {\alpha }{\beta }}{\bigl (}e^{\beta (x+1)}-e^{\beta x}{\bigr )},}

وبالتالي

qx=1-خبرة(-λ-αβ(هـβ(x+1)-هـβx)).{\displaystyle q_{x}=1-\exp \!\left(-\lambda -{\frac {\alpha }{\beta }}{\bigl (}e^{\beta (x+1)}-e^{\beta x}{\bigr )}\right).}

عملياً، غالباً ما يقوم خبراء الإحصاء بتقدير معلمات جومبيرتز-ماكهام من هذه الاحتمالات المنفصلة، ​​ثم يستخدمون النموذج المستمر لاستخلاص كميات ذات صلة مثل متوسط ​​العمر المتوقع وقيم المعاشات السنوية. [ 15 ] [ 4 ]

المعلمات البديلة

تُستخدم في الأدبيات عدة صيغ بديلة لقانون جومبيرتز-ماكهام. إحدى هذه الصيغ البسيطة هي اعتماد عمر مرجعي.x0{\displaystyle x_{0}}وتحديد خطر جومبيرتز الخالي من الخلفية في ذلك العمر،

ح0=μجي(x0)=αهـβx0،{\displaystyle h_{0}=\mu _{\text{G}}(x_{0})=\alpha e^{\beta x_{0}},}

بحيث يمكن كتابة الخطر الكامل على النحو التالي

μ(x)=λ+ح0هـβ(x-x0).{\displaystyle \mu (x)=\lambda +h_{0}e^{\beta (x-x_{0})}.}

يحل هذا النموذج محل المعلمة الأصليةα{\displaystyle \alpha }بمستوى أكثر قابلية للتفسيرح0{\displaystyle h_{0}}في سن محددة.

تستخدم عملية إعادة تحديد المعلمات المفيدة الثانية وقت تضاعف معدل الوفياتتيد=ln⁡2/β{\displaystyle T_{d}=\ln 2/\beta }بدلاً منβ{\displaystyle \beta }. كتابة

μ(x)=λ+ح02(x-x0)/تيد{\displaystyle \mu (x)=\lambda +h_{0}\,2^{(x-x_{0})/T_{d}}}

يوضح هذا النموذج عدد السنوات اللازمة لمضاعفة عنصر جومبيرتز في المخاطر، وهو ما قد يكون مفيدًا عند مقارنة جداول الوفيات بين السكان أو عبر الزمن. [ 13 ] [ 4 ]

تقدير المعلمات

تُقدّر معلمات نموذج جومبيرتز-ماكهام عادةً من خلال بيانات الأعمار المرصودة أو بيانات الوفيات المجمعة. بالنسبة للأعمار المستقلةتي1،...،تين{\displaystyle T_{1},\ldots ,T_{n}}مع مؤشرات الرقابة اليمنىدلتاأنا{\displaystyle \delta _{i}}، احتمالية اللوغاريتم في ظل خطر زمني مستمرμ(x؛θ){\displaystyle \mu (x;\theta )}ووظيفة البقاءS(x؛θ){\displaystyle S(x;\theta )}يمكن كتابتها بالشكل القياسي

ℓ(θ)=∑أنا=1ن[دلتاأناسجل⁡μ(تيأنا؛θ)+سجل⁡S(تيأنا؛θ)].{\displaystyle \ell (\theta )=\sum _{i=1}^{n}\left[\delta _{i}\log \mu {\bigl (}T_{i};\theta {\bigr )}+\log S{\bigl (}T_{i};\theta {\bigr )}\right].}

استبدال خطر جومبيرتز-ماكهام

μ(x؛θ)=αهـβx+λ{\displaystyle \mu (x;\theta )=\alpha e^{\beta x}+\lambda }

ووظيفة البقاء

S(x؛θ)=خبرة⁡(-λx-αβ(هـβx-1)){\displaystyle S(x;\theta )=\exp \left(-\lambda x-{\frac {\alpha }{\beta }}{\bigl (}e^{\beta x}-1{\bigr )}\right)}

يُعطي دالة احتمالية لوغاريتمية صريحة بدلالة المعلمات الثلاثα{\displaystyle \alpha }،β{\displaystyle \beta }وλ{\displaystyle \lambda }ويمكن بعد ذلك تقدير هذه المعلمات عدديًا عن طريق تعظيم دالة الاحتمال اللوغاريتمي أو باستخدام طرق ذات صلة، مثل مطابقة المربعات الصغرى لمعدلات الوفيات اللوغاريتمية أو نماذج الانحدار لإحصاءات الوفيات المجمعة. [ 12 ] [ 4 ]

مثال توضيحي

لنفترض أن فترات العمر تتبع قانون جومبيرتز-ماكهام مع وجود خطر

μ(x)=αهـβx+λ{\displaystyle \mu (x)=\alpha e^{\beta x}+\lambda }

أين

α=0.00003،β=0.095،λ=0.0004.{\displaystyle \alpha =0.00003,\qquad \beta =0.095,\qquad \lambda =0.0004.}

الخطر التراكمي ووظائف البقاء هي

ح(x)=λx+αβ(هـβx-1)،S(x)=خبرة⁡(-ح(x))،{\displaystyle H(x)=\lambda x+{\frac {\alpha }{\beta }}{\bigl (}e^{\beta x}-1{\bigr )},\qquad S(x)=\exp {\bigl (}-H(x){\bigr )},}

التوزيع التراكمي، ودوال كثافة الاحتمال هي

F(x)=1-S(x)،و(x)=μ(x)S(x).{\displaystyle F(x)=1-S(x),\qquad f(x)=\mu (x)\,S(x).}

البقاء على قيد الحياة حتى سن معينة

لإيجاد احتمال بقاء المولود الجديد على قيد الحياة حتى سن 60، احسب الخطر التراكمي عند سن 60

ح(60)=0.0004×60+0.000030.095(هـ0.095×60-1)≈0.024+0.094=0.118.{\displaystyle H(60)=0.0004\times 60+{\frac {0.00003}{0.095}}{\bigl (}e^{0.095\times 60}-1{\bigr )}\approx 0.024+0.094=0.118.}

ثم يصبح احتمال البقاء على قيد الحياة عند سن الستين هو

S(60)=هـ-ح(60)≈هـ-0.118≈0.89.{\displaystyle S(60)=e^{-H(60)}\approx e^{-0.118}\approx 0.89.}

وبالتالي، في هذا المثال، فإن احتمال البقاء على قيد الحياة عند سن الستين هوبرو(X>60)=S(60)≈0.89{\displaystyle \Pr(X>60)=S(60)\approx 0.89}واحتمالية الوفاة قبل سن الستين هيF(60)=1-S(60)≈0.11.{\displaystyle F(60)=1-S(60)\approx 0.11.}

الاحتمالية بين عمرين

لإيجاد احتمال وفاة مولود جديد بين سن 60 و 70، احسب معدل البقاء على قيد الحياة عند سن 70 بنفس الطريقة:

ح(60)=0.0004×70+0.000030.095(هـ0.095×70-1)≈0.028+0.244=0.272.{\displaystyle H(60)=0.0004\times 70+{\frac {0.00003}{0.095}}{\bigl (}e^{0.095\times 70}-1{\bigr )}\approx 0.028+0.244=0.272.}

ثم يصبح احتمال البقاء على قيد الحياة عند سن السبعين هو

S(70)=هـ-ح(70)≈هـ-0.272≈0.76{\displaystyle S(70)=e^{-H(70)}\approx e^{-0.272}\approx 0.76}

و

F(70)=1-S(70)≈0.24.{\displaystyle F(70)=1-S(70)\approx 0.24.}

احتمالية حدوث الوفاة بين سن الستين والسبعين هي

برو(60<X≤70)=F(70)-F(60)≈0.24-0.11=0.13.{\displaystyle \Pr(60<X\leq 70)=F(70)-F(60)\approx 0.24-0.11=0.13.}

الأنماط التجريبية

احتمالية الوفاة للذكور والإناث بناءً على جداول الحياة في اليابان لعام 2020. تم إعداد الرسم البياني بنسختين: باستخدام مقياس لوغاريتمي ومقياس خطي. تتضاعف احتمالية الوفاة بين سن 30 و90 عامًا كل 7-7.5 سنوات لكل من الذكور والإناث. عند بلوغ سن 109 أعوام، تصل احتمالية الوفاة إلى 52% للذكور و50% للإناث. يوضح الرسم البياني الثالث النسبة المئوية للأشخاص الذين يعيشون حتى سن معينة . [ 16 ]

تُشير الدراسات التي تُجرى على المجتمعات ذات معدلات الوفيات المنخفضة عادةً إلى أن قوة الوفيات يُمكن تقريبها جيدًا بمنحنى جومبيرتز-ماكهام من سن 40 إلى 90 عامًا تقريبًا، مع انحرافات أقل في الأعمار الأصغر والأكبر. [ 13 ] يُحسّن مُعامل ماكهام من دقة التقريب في أعمار البالغين الأصغر سنًا من خلال تضمينه للمخاطر غير المرتبطة بالعمر، بينما يُجسّد مُعامل جومبيرتز الزيادة في معدل الوفيات الجوهري مع التقدم في السن. [ 17 ]

في العديد من البلدان والفترات الزمنية، تشير تقديرات معاملات جومبيرتز-ماكهام إلى أن خطر الوفاة في مرحلة البلوغ يزداد بشكل حاد مع التقدم في العمر. ومن القواعد العامة الشائعة أن معدلات وفيات البالغين تتضاعف تقريبًا كل ثماني سنوات، على الرغم من أن معدل الزيادة الدقيق يختلف نوعًا ما بين السكان والجنسين والفترات التاريخية. [ 13 ] [ 14 ] في الرسوم البيانية شبه اللوغاريتمية لدالة المخاطر، يظهر هذا كخط مستقيم تقريبًا على مدى واسع من أعمار البالغين، وهو ما يُستخدم غالبًا كتحقق بصري من سلوك جومبيرتز-ماكهام. [ 14 ]

تشير التحليلات التاريخية إلى أن جزءًا كبيرًا من انخفاض معدل وفيات البشر خلال القرن العشرين كان مدفوعًا في البداية بانخفاضات في المكون المستقل عن العمر (ميكهام)، نتيجة لتحسينات في الصرف الصحي، ومكافحة الأمراض المعدية، وتوفير بيئات أكثر أمانًا. [ 13 ] من حيث معلمات جومبيرتز-ميكهام، يظهر هذا على شكل انخفاض ملحوظ في معلمة المخاطر الأساسية مع استقرار نسبي في المعلمات المعتمدة على العمر، مما أدى إلى زيادة عدد الأشخاص الذين يعيشون حتى سن الشيخوخة ومنحنى بقاء أكثر استطالة. [ 13 ] [ 17 ] وفي وقت لاحق من القرن، أثرت التحسينات التدريجية في الأعمار المتقدمة على المكون المعتمد على العمر في العديد من البلدان، مما ساهم في زيادة متوسط ​​العمر المتوقع عند سن التقاعد. [ 7 ]

يختلف نمط الوفيات في المراحل العمرية المبكرة جدًا: إذ تكون الوفيات مرتفعة نسبيًا في مرحلة الرضاعة، ثم تنخفض خلال مرحلة الطفولة، ولا تبدأ إلا لاحقًا بالزيادة الأسية التقريبية التي يصفها قانون جومبيرتز-ماكهام بدقة. [ 13 ] ولذلك، لا يأخذ النموذج في الحسبان الأسباب المحددة لارتفاع وفيات الرضع والأطفال الصغار، والتي تُعالج عادةً بمكونات إضافية أو نماذج بارامترية منفصلة في بناء جداول الحياة. [ 17 ] [ 18 ]

لا يزال سلوك معدل الوفيات لدى البشر في المراحل العمرية المتقدمة مجالًا خصبًا للبحث العلمي. تشير بعض الدراسات البيوديموغرافية إلى تباطؤ في ارتفاع معدلات الوفيات أو ظهور استقرار في معدل الوفيات في أواخر العمر لدى كبار السن جدًا، وهو ما يمثل انحرافًا عن مسار جومبيرتز-ماكهام. [ 6 ] بينما تشير دراسات أخرى إلى أن جزءًا كبيرًا من التباطؤ الظاهر في معدل الوفيات في أواخر العمر يُعزى إلى مشاكل في جودة البيانات، مثل التلاعب في الإبلاغ عن العمر واختلاط الفئات العمرية، وتجد هذه الدراسات أنه بعد تنظيف البيانات بعناية، تبقى المسارات المرصودة قريبة من أشكال جومبيرتز-ماكهام حتى العقد العاشر من العمر. [ 14 ] [ 19 ] ونتيجة لذلك، لا يزال مدى وشمولية الانحرافات عن قانون جومبيرتز-ماكهام في أواخر العمر لدى البشر محل نقاش، وغالبًا ما تستخدم التطبيقات التي تركز على الشيخوخة المتقدمة نماذج موسعة أو بديلة. [ 7 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 جومبيرتز، بنيامين (1825). "حول طبيعة الدالة المُعبِّرة عن قانون فناء الإنسان، وحول طريقة جديدة لتحديد قيمة احتمالات الحياة". المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية . 115 : 513-585 . doi : 10.1098/rstl.1825.0026 . JSTOR 107756. S2CID 145157003 .  
  2. 1 2 ماكهام، دبليو إم (1860). "حول قانون الوفيات وبناء جداول المعاشات السنوية". مجلة معهد الاكتواريين والتأمين. 8 ( 6): 301-310 . doi : 10.1017/S204616580000126X . JSTOR 41134925 . 
  3. 1 2 3 4 غافريلوف، ليونيد أ.؛ غافريلوفا، ناتاليا س. (1991). بيولوجيا العمر: منهج كمي . نيويورك: دار هاروود الأكاديمية للنشر. ISBN 3-7186-4983-7.
  4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 كاستيلاريس، فريدي؛ باتريسيو، سيلفيو سي؛ ليمونتي، أرتور جيه. (2022). "حول قانون جومبيرتز-ماكهام: نموذج وفيات مفيد للتعامل مع وفيات البشر". المجلة البرازيلية للاحتمالات والإحصاء . 36 (3): 613-639 . doi : 10.1214/22-BJPS545 .
  5. ↑ فريدمان، هوارد س.؛ هايلماير، ديتليند (2018). "متوسط ​​العمر المتوقع". في بورنشتاين، مارك هـ. (محرر). موسوعة سيج لتطور الإنسان عبر مراحل العمر . منشورات سيج. doi : 10.4135/9781506307633.n478 . ISBN 978-1-5063-0765-7.
  6. 1 2 3 غافريلوف، ليونيد أ.؛ غافريلوفا، ناتاليا س. (2011). "قياس الوفيات في الأعمار المتقدمة: دراسة لملف الوفيات الرئيسي لإدارة الضمان الاجتماعي" ( ملف PDF) . مجلة أمريكا الشمالية للعلوم الاكتوارية . 15 (3): 432-447 . doi : 10.1080/10920277.2011.10597629 . PMC 3269912. PMID 22308064 .  
  7. 1 2 3 4 جافريلوفا، إن إس؛ جافريلوف، لوس أنجلوس (2011). "Starnutí a dlouhovekost: Zákony a prognózy úmrtnosti pro stárnoucí populace" [ الشيخوخة وطول العمر: قوانين الوفيات وتوقعات الوفيات للشيخوخة السكانية ] . الديموغرافيا (باللغة التشيكية). 53 (2): 109- 128. بي إم سي 4167024 . بميد 25242821 .  
  8. 1 2 غافريلوف، ل. أ.؛ غافريلوفا، ن. س.؛ نوسوف، ف. ن. (1983). "توقف متوسط ​​عمر الإنسان عن الزيادة: لماذا؟". علم الشيخوخة . 29 (3): 176-180 . doi : 10.1159/000213111 . PMID 6852544 . 
  9. ↑ غافريلوف، ل. أ.؛ نوسوف، ف. ن. (1985). "اتجاه جديد في انخفاض معدل وفيات البشر: إزالة الشكل المستطيل لمنحنى البقاء [ملخص]". مجلة Age . 8 (3): 93. doi : 10.1007/BF02432075 . S2CID 41318801 . 
  10. ↑ جودرا، ب. (2009). "صيغة مغلقة لدالة الكمية لتوزيع جومبيرتز-ماكهام". الرياضيات والحاسبات في المحاكاة . 79 (10): 3069-3075 . doi : 10.1016/j.matcom.2009.02.002 .
  11. 1 2 كاستيلاريس، فريدي؛ باتريسيو، سيلفيو سي؛ ليمونتي، أرتور جيه؛ كيروز، برناردو إل. (2020). "حول الصيغ المغلقة لمتوسط ​​العمر المتوقع وفقًا لنموذج جومبيرتز-ماكهام". علم الأحياء السكاني النظري . 134 : 53-60 . Bibcode : 2020TPBio.134...53C . doi : 10.1016/j.tpb.2020.04.005 . PMID 32407857 . 
  12. 1 2 نورستروم، فريدريك (1997). توزيع جومبرتز-ميكهام (رسالة ماجستير). جامعة أوميا.
  13. 1 2 3 4 5 6 7 ستروليك، هولجر (2021). "قياس الشيخوخة" . مجلة الاقتصاد الديموغرافي . 87 (3): 261-302 . doi : 10.1017/dem.2020.23 .
  14. 1 2 3 4 غافريلوف، ليونيد أ.؛ غافريلوفا، ناتاليا س. (2019). "يتم التقليل من تقدير معدل الوفيات في أواخر العمر بسبب أخطاء في البيانات" . مجلة PLOS Biology . 17 (8) e3000148. doi : 10.1371/journal.pbio.3000148 . PMC 6692593. PMID 31430283 .  
  15. ↑ باورز، نيوتن ل.؛ جيربر، هانز يو.؛ هيكمان، جيمس سي.؛ جونز، دونالد أ.؛ نيسبيت، سيسيل ج. (1997). الرياضيات الاكتوارية ( الطبعة الثانية). شومبورغ، إلينوي: جمعية الاكتواريين. 
  16. ↑ "قاعدة بيانات الوفيات اليابانية: على مستوى البلاد" . المعهد الوطني لأبحاث السكان والضمان الاجتماعي . 20 فبراير 2026. تم الاطلاع عليه في 5 مارس 2026 .
  17. 1 2 3 غافريلوف، ليونيد أ.؛ غافريلوفا، ناتاليا س. (1991)، بيولوجيا العمر: منهج كمي. ، نيويورك: دار هاروود الأكاديمية للنشر، ISBN 3-7186-4983-7
  18. ↑ ميسوف، تريفون آي؛ لينارت، آدم (2013). "متوسط ​​العمر المتوقع وفقًا لنموذج جومبيرتز-ماكهام: تعابير وتطبيقات" . بحث ديموغرافي . 28 : 259-270 . doi : 10.4054/DemRes.2013.28.9 .
  19. ↑ نيومان، سول ج. (2018). "الأخطاء كسبب رئيسي لتباطؤ معدل الوفيات واستقراره في أواخر العمر" . مجلة PLOS Biology . 16 (12) e2006776. doi : 10.1371/journal.pbio.2006776 . PMC 6301557 .