دالة لامبرت W

في الرياضيات ، دالة لامبرت W ، والتي تسمى أيضًا دالة أوميغا أو لوغاريتم الضرب ، ^{[ 1 ]} هي دالة متعددة القيم ، أي فروع العلاقة العكسية للدالة${\displaystyle f(w)=we^{w}}$، أين${\displaystyle w}$أي عدد مركب و${\displaystyle e^{w}}$هي الدالة الأسية . سميت الدالة على اسم يوهان لامبرت ، الذي تناول مشكلة ذات صلة في عام 1758. وبناءً على عمل لامبرت، وصف ليونارد أويلر دالة W بحد ذاتها في عام 1783. ^{[ 2 ]}

لكل عدد صحيح${\displaystyle k}$يوجد فرع واحد، يُشار إليه بـ${\displaystyle W_{k}\left(z\right)}$، وهي دالة ذات قيمة مركبة ذات وسيط مركب واحد.${\displaystyle W_{0}}$يُعرف هذا الفرع بالفرع الرئيسي . تتميز هذه الدوال بالخاصية التالية: إذا${\displaystyle z}$و${\displaystyle w}$إذا كانت أي أعداد مركبة، فإن

${\displaystyle we^{w}=z}$

يتحقق إذا وفقط إذا

${\displaystyle w=W_{k}(z)\ \ {\text{ لبعض الأعداد الصحيحة }}k.}$

عند التعامل مع الأعداد الحقيقية فقط، يكون الفرعان${\displaystyle W_{0}}$و${\displaystyle W_{-1}}$يكفي: للأعداد الحقيقية${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$المعادلة

${\displaystyle ye^{y}=x}$

يمكن حلها لـ${\displaystyle y}$فقط إذا${\textstyle x\geq {\frac {-1}{e}}}$؛ ينتج${\displaystyle y=W_{0}\left(x\right)}$لو${\displaystyle x\geq 0}$والقيمتان${\displaystyle y=W_{0}\left(x\right)}$و${\displaystyle y=W_{-1}\left(x\right)}$لو${\textstyle {\frac {-1}{e}}\leq x<0}$.

لا يمكن التعبير عن فروع دالة لامبرت W بدلالة الدوال الأولية . ^{[ 3 ]} وهي مفيدة في التوافقية ، على سبيل المثال، في تعداد الأشجار . ويمكن استخدامها لحل معادلات متنوعة تتضمن دوال أسية (مثل القيم القصوى لتوزيعات بلانك ، وبوز-أينشتاين ، وفيرمي-ديراك )، كما تظهر أيضًا في حل المعادلات التفاضلية التأخيرية ، مثل${\displaystyle y'\left(t\right)=a\ y\left(t-1\right)}$في الكيمياء الحيوية ، وعلى وجه الخصوص حركية الإنزيم ، يتم وصف حل مفتوح الشكل لتحليل حركية مسار الوقت لحركية مايكليس-مينتين من حيث دالة لامبرت W.

اصطلاح الترميز المختار هنا (مع${\displaystyle W_{0}}$و${\displaystyle W_{-1}}$) يتبع المرجع المتعارف عليه بشأن دالة لامبرت W من قبل كورليس، وجونيت، وهير، وجيفري، وكنوث . ^{[ 4 ]}

يمكن فهم اسم "اللوغاريتم الناتج" على النحو التالي: بما أن الدالة العكسية لـ${\displaystyle f\left(w\right)=e^{w}}$عندما يُطلق عليه اسم اللوغاريتم ، فمن المنطقي تسمية الدالة العكسية للناتج بـ "الدالة" .${\displaystyle we^{w}}$اللوغاريتم الناتج. ومثل اللوغاريتم المركب ، فهو متعدد القيم، ولذلك يُوصف W بأنه علاقة عكسية وليس دالة عكسية. وهو مرتبط بثابت أوميغا ، الذي يساوي${\displaystyle W_{0}\left(1\right)}$.

تناول لامبرت لأول مرة معادلة لامبرت المتسامية ذات الصلة في عام 1758، ^{[ 5 ]} مما أدى إلى مقالة ليونارد أويلر في عام 1783 ^{[ 2 ]} التي ناقشت الحالة الخاصة لـ${\displaystyle we^{w}}$.

المعادلة التي درسها لامبرت هي

${\displaystyle x=x^{m}+q.}$

قام أويلر بتحويل هذه المعادلة إلى الشكل التالي

${\displaystyle x^{a}-x^{b}=(ab)cx^{a+b}.}$

توصل كلا المؤلفين إلى حل متسلسل لمعادلاتهما.

بعد أن حل أويلر هذه المعادلة، نظر في الحالة ⁠${\displaystyle a=b}$وبأخذ النهايات، استنتج المعادلة

${\displaystyle \ln x=cx^{a}.}$

ثم وضع${\displaystyle a=1}$وحصلنا على حل متسلسل متقارب للمعادلة الناتجة، معبرين عن${\displaystyle x}$من حيث​ ${\displaystyle c}$⁠ .

بعد حساب المشتقات بالنسبة إلى${\displaystyle x}$وببعض التلاعب،يتم الحصول على الشكل القياسي لدالة لامبرت.

في عام 1993، أفيد أن لامبرت${\displaystyle W}$تُقدّم هذه الدالة حلاً دقيقاً لنموذج دالة ديراك دلتا ثنائية البئر الكموميللشحنات المتساوية ^{[ 6 ]} ، وهي مشكلة أساسية في الفيزياء. وبناءً على ذلك، أدرك روب كورليس ومطورو نظام الجبر الحاسوبي مابل أن "دالة لامبرت W تُستخدم على نطاق واسع في العديد من المجالات، ولكن بسبب اختلاف الترميز وعدم وجود اسم موحد لها، لم يكن الوعي بها بالقدر الكافي". ^{[ 4 ] [ 7 ]}

مثال آخر على وجود هذه الوظيفة هو في حركية ميكايليس-مينتين . ^{[ 8 ]} على الرغم من الاعتقاد السائد بأن لامبرت${\displaystyle W}$لا يمكن التعبير عن الدالة بدلالة الدوال الأولية ( الليوفيلية )، ولم يظهر أول برهان منشور حتى عام 2008. ^{[ 9 ]}

يوجد عدد لا نهائي من فروع الدالة W ، يُرمز لها بـ W _{_k} ( z ) ، حيث k عدد صحيح ؛ و W_₀ ( z ) هو الفرع الرئيسي. تُعرَّف W_₀ ( z ) لجميع الأعداد المركبة z، بينما تُعرَّف W_{_k} ( z ) مع k ≠ 0 لجميع قيم z غير الصفرية ، حيث W _₀(0) = 0 و${\displaystyle \lim \limits _{z\to 0}W_{k}(z)=\;-\infty ,}$لكل k ≠ 0 .

تقع نقطة تفرع الفرع الرئيسي عند${\displaystyle z=-e^{-1}}$، مع امتداد القطع الفرعي القياسي على طول المحور الحقيقي السالب إلى${\displaystyle -\infty +0i}$يفصل هذا القطع الفرعي الفرع الرئيسي عن الفرعين W ₋₁ و W _1. في جميع الفروع W _k حيث k ≠ 0 ، توجد نقطة تفرع عند z = 0 ويتم أخذ القطع الفرعي بشكل تقليدي على طول المحور الحقيقي السالب بأكمله.

الوظائف${\displaystyle W_{k}(z),k\in \mathbb {Z} }$جميعها دوال أحادية، ونطاقاتها منفصلة. مدى الدالة متعددة القيم W هو المستوى المركب. صورة المحور الحقيقي هي اتحاد المحور الحقيقي مع تربيع هيباس ، المنحنى البارامتري w = − t cot t + it .

معكوس

يوضح الرسم البياني أعلاه أيضًا المناطق في المستوى المركب حيث تكون العلاقة العكسية البسيطة${\displaystyle \ W_{n}(z\ e^{z})=z\ }$هذا صحيح .${\displaystyle \ f=z\ e^{z}\ }$يشير ذلك إلى وجود${\displaystyle \ n\ }$بحيث​​${\displaystyle \ z=W_{n}(f)=W_{n}(z\ e^{z})\ ,}$أين​​${\displaystyle \ n\ }$يعتمد ذلك على قيمة${\displaystyle \ z~.}$⁠

للقيم الحقيقية لـ${\displaystyle \ z\ ,}$قيمة العدد الصحيح${\displaystyle \ n\ }$يتغير فجأة عندما${\displaystyle \ z\ e^{z}\ }$يقع عند نقطة قطع الفرع لـ${\displaystyle \ W_{n}(z\ e^{z})\ ,}$وهذا يعني أن${\displaystyle z\cdot e^{z}\leq 0}$باستثناء​${\displaystyle \ n=0\ }$حيث هو${\displaystyle z\cdot e^{z}\leq {\frac {-1}{e}}}$.

للمعقد ⁠${\displaystyle \ z\ ,}$عرّف​​${\displaystyle \ z=x+i\ y\ ,}$أين​​${\displaystyle \ x\ }$و​​${\displaystyle \ y\ }$هي حقيقية، وتعبر عن${\displaystyle \ e^{z}\ }$في الإحداثيات القطبية ، يُلاحظ أن

${\displaystyle {\begin{aligned}z\ e^{z}&=(x+i\ y)\ e^{x}\ (\cos y+i\ \sin y)\\&=e^{x}(x\ \cos y\ -\ y\ \sin y)\ +\ i\ e^{x}(x\ \sin y\ +\ y\ \cos y)\\\end{aligned}}}$

ل${\displaystyle \ n\neq 0\ ,}$الفرع المقطوع من أجل${\displaystyle \ W_{n}(z\ e^{z})\ }$يمثل المحور الحقيقي غير الموجب، بحيث

${\displaystyle x\ \sin y\ +\ y\ \cos y=0\quad \Rightarrow \quad x=-y/\tan(y)\ ,}$

و

${\displaystyle (x\ \cos y\ -\ y\ \sin y)\ e^{x}~\leq ~0~.}$

ل${\displaystyle \ n=0\ ,}$الفرع المقطوع من أجل${\displaystyle \ W_{n}(z\ e^{z})\ }$هو المحور الحقيقي مع${\displaystyle \ -\infty <z\leq {\frac {-1}{e}}}$بحيث تصبح المتباينة

${\displaystyle (x\ \cos y-y\ \sin y)\ e^{x}\leq {\frac {-1}{e}}}$أو${\displaystyle (x\ \cos y-y\ \sin y)\ e^{x+1}~\leq ~-1~.}$

داخل المناطق المحددة بما سبق، لا توجد تغييرات غير متصلة في${\displaystyle \ W_{n}(z\ e^{z})\ ,}$وتحدد تلك المناطق مكان${\displaystyle \ W\ }$الدالة قابلة للعكس ببساطة، أي${\displaystyle \ W_{n}(z\ e^{z})=z~.}$⁠

بحسب نظرية لاغرانج العكسية ، فإن متسلسلة تايلور للفرع الرئيسي${\displaystyle W_{0}(x)}$حول${\displaystyle x=0}$يكون:

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}=x-x^{2}+{\tfrac {3}{2}}x^{3}-{\tfrac {16}{6}}x^{4}+{\tfrac {125}{24}}x^{5}-\cdots .}$

نصف قطر التقارب هو${\displaystyle 1/e}$باستخدام اختبار النسبة ، يمكن تمديد الدالة المعرفة بواسطة المتسلسلة إلى دالة تحليلية معرفة على جميع الأعداد المركبة باستثناء فرع مقطوع على طول الفترة${\displaystyle (-\infty ,-1/e]}$.

للقيم الكبيرة${\displaystyle x\to \infty }$، الدالة الحقيقية${\displaystyle W_{0}(x)}$هو مقارب لـ

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(x)&=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}\left(-2+L_{2}\right)}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}\left(6-9L_{2}+2L_{2}^{2}\right)}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}\left(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3}\right)}{12L_{1}^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=L_{1}-L_{2}+\sum _{\ell =1}^{\infty }{\frac {1}{L_{1}^{\ell }}}\sum _{m=1}^{\ell }{\frac {(-1)^{\ell -m}\left[{\ell \atop \ell -m+1}\right]}{m!}}L_{2}^{m},\end{aligned}}}$

حيث L1 = ln x ، و _L2 = ln ln x ، و [ ^nk _] هو عدد ستيرلينغ غير سالب من النوع الأول . ^{[ 4 ]} _{مع الاحتفاظ} فقط بالحدين الأولين من المفكوك،

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+{\mathcal {o}}(1).}$

أما الفرع الحقيقي الآخر، W ₋₁ ، المعرف في الفترة [ − ⁠ 1 / e ⁠ , 0) ، فله تقريب من نفس الشكل عندما يقترب x من الصفر، وفي هذه الحالة يكون L ₁ = ln(− x ) و L ₂ = ln(−ln(− x )) . ^{[ 4 ]}

هناك عدد من الحدود غير التقاربية المعروفة لدالة لامبرت.

تترتب على التعريف بعض الهويات:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\geq -1,\\W_{-1}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\leq -1.\end{aligned}}}$

بما أن الدالة f ( x ) = xe^ ^x ليست أحادية ، فليس من الضروري دائمًا أن يكون W ( f ( x )) = x ، كما هو الحال مع الدوال المثلثية العكسية . بالنسبة لقيم ثابتة x < 0 و x ≠ −1 ، فإن المعادلة xe^ ^x = ye^ ^y لها حلان حقيقيان في y ، أحدهما بالطبع y = x . ثم، بالنسبة لـ i = 0 و x < −1 ، وكذلك بالنسبة لـ i = −1 و x ∈ (−1, 0) ، فإن y = Wi ( _xe ^ ^x ) هو الحل الآخر.

بعض الهويات الأخرى: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)e^{W(x)}=x,\quad {\text{therefore:}}\\[5pt]&e^{W(x)}={\frac {x}{W(x)}},\qquad e^{-W(x)}={\frac {W(x)}{x}},\qquad e^{nW(x)}=\left({\frac {x}{W(x)}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ln W_{0}(x)=\ln x-W_{0}(x)\quad {\text{for }}x>0.}$^{[ 15 ]}

${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{0}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}{\frac {1}{e}}\leq x.}$

${\displaystyle W_{-1}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{-1}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}0<x\leq {\frac {1}{e}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)=\ln {\frac {x}{W(x)}}&&{\text{for }}x\geq -{\frac {1}{e}},\\[5pt]&W\left({\frac {nx^{n}}{W\left(x\right)^{n-1}}}\right)=nW(x)&&{\text{for }}n,x>0\end{aligned}}}$

(والتي يمكن توسيعها لتشمل قيم n و x أخرى إذا تم اختيار الفرع الصحيح).

${\displaystyle W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {1}{W(x)}}+{\frac {1}{W(y)}}\right)\right)\quad {\text{for }}x,y>0.}$

بالتعويض عن −ln x في التعريف: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}0&<x\leq e,\\[5pt]W_{-1}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}x&>e.\end{aligned}}}$

باستخدام دالة أويلر الأسية المتكررة h ( x ) :

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x)&=e^{-W(-\ln x)}\\&={\frac {W(-\ln x)}{-\ln x}}\quad {\text{for }}x\neq 1.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \forall c\in \left[-{\frac {1}{e}},0\right),{\text{let }}t={\frac {W_{-1}(c)}{W_{0}(c)}}\geq 1\implies W_{0}(c)={\frac {\ln t}{1-t}},W_{-1}(c)={\frac {t\ln t}{1-t}}}$

القيم التالية ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} هي قيم خاصة للفرع الرئيسي: $${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}}$$$${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1}$$$${\displaystyle W_{0}\left(2\ln 2\right)=\ln 2}$$$${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad \left(x\geqslant {\tfrac {1}{e}}\approx 0.36788\right)}$$$${\displaystyle W_{0}\left(x^{x+1}\ln x\right)=x\ln x\quad \left(x>0\right)}$$$${\displaystyle W_{0}(0)=0}$$

${\displaystyle W_{0}(1)=\Omega \approx 0.56714329\quad }$( ثابت أوميغا )

$${\displaystyle W_{0}(1)=e^{-W_{0}(1)}=\ln {\frac {1}{W_{0}(1)}}=-\ln W_{0}(1)}$$$${\displaystyle W_{0}(e)=1}$$$${\displaystyle W_{0}\left(e^{1+e}\right)=e}$$$${\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt {e}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}}$$$${\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt[{n}]{e}}{n}}\right)={\frac {1}{n}}}$$$${\displaystyle W_{0}(-1)\approx -0.31813+1.33723i}$$

القيم الخاصة للفرع W ₋₁ : $${\displaystyle W_{-1}\left(-{\frac {\ln 2}{2}}\right)=-\ln 4}$$

يمكن تمثيل الفرع الرئيسي لدالة لامبرت بواسطة تكامل مناسب، وذلك بسبب بواسون: ^{[ 20 ]}

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}W_{0}(-x)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt\quad {\text{for }}|x|<{\frac {1}{e}}.}$

وقد تم التوصل إلى تمثيل آخر للفرع الرئيسي بواسطة كالوجين وجيفري وكورليس: ^{[ 21 ]}

${\displaystyle W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\ln \left(1+x{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.}$

ينطبق تمثيل الكسر المستمر التالي أيضًا على الفرع الرئيسي: ^{[ 22 ]}

${\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

أيضًا، إذا كان | W ₀ ( x ) | < 1 : ^{[ 23 ]}

${\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

وبالتالي، إذا كانت | W0 ( x ) | > 1 _، فإن

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$