إجراءات المخطط الجماعي

في الهندسة الجبرية ، يُعدّ فعل مخطط المجموعة تعميمًا لفعل المجموعة على مخطط المجموعة . تحديدًا، إذا كان لدينا مخطط مجموعة S ، فإنّ الفعل الأيسر لـ G على مخطط S هو تشاكل S.

\sigma :G\times _{S}X\to X

بحيث

(الترابطية) $\sigma \circ (1_{G}\times \sigma )=\sigma \circ (m\times 1_{X})$ ، أين $m:G\times _{S}G\to G$ هو قانون المجموعة،
(الوحدة) $\sigma \circ (e\times 1_{X})=1_{X}$ ، أين $e:S\to G$ هو قسم الهوية في G.

يُعرَّف الفعل الأيمن للمجموعة G على X بشكل مماثل. يُطلق على المخطط المُزوَّد بفعل أيسر أو أيمن لمخطط المجموعة G اسم مخطط G. التشاكل المتغير بين مخططات G هو تشاكل بين المخططات يدمج أفعال G الخاصة بها .

بشكل أعم، يمكن أيضًا النظر في (على الأقل حالة خاصة من) فعل دالة المجموعة : عند اعتبار G دالة، يُعطى الفعل كتحويل طبيعي يحقق الشروط المشابهة لما سبق. ^{[ 1 ]} بدلاً من ذلك، يدرس بعض المؤلفين فعل المجموعة بلغة شبه المجموعة ؛ فعل مخطط المجموعة هو مثال على مخطط شبه المجموعة .

البنى

تُعمَّم البنى المعتادة لفعل المجموعة ، مثل المدارات، إلى فعل مخطط المجموعة. ليكن $\sigma$ يكون إجراء مخطط المجموعة المعطى كما هو موضح أعلاه.

بفرض نقطة ذات قيمة T $x:T\to X$ خريطة المدار $\sigma _{x}:G\times _{S}T\to X\times _{S}T$ يُعطى على النحو التالي $(\sigma \circ (1_{G}\times x),p_{2})$ .
مدار x هو صورة لخريطة المدار $\sigma _{x}$ .
المثبت x هو الليف فوق $\sigma _{x}$ من الخريطة $(x,1_{T}):T\to X\times _{S}T.$

مشكلة بناء خارج القسمة

بخلاف فعل المجموعة في نظرية المجموعات، لا توجد طريقة مباشرة لإنشاء خارج قسمة لفعل مخطط المجموعة. الاستثناء الوحيد هو حالة الفعل الحر، أي حالة حزمة الألياف الرئيسية .

هناك عدة طرق للتغلب على هذه الصعوبة:

بنية المستويات - ربما يكون هذا الأسلوب هو الأقدم، حيث يستبدل الكائن المراد تصنيفه بكائن آخر مع بنية مستويات.
نظرية الثوابت الهندسية - تتجاهل المدارات غير المرغوب فيها ثم تأخذ خارج القسمة. لكن يعيبها عدم وجود طريقة معيارية لتقديم مفهوم "المدارات غير المرغوب فيها"؛ إذ يعتمد هذا المفهوم على اختيار طريقة التخطيط الخطي . انظر أيضًا: خارج القسمة الفئوي ، خارج قسمة نظرية الثوابت الهندسية .
بناء بوريل - هذا نهج قائم أساسًا على الطوبولوجيا الجبرية؛ يتطلب هذا النهج العمل مع فضاء لا نهائي الأبعاد .
النهج التحليلي، نظرية فضاء تايخمولر
مكدس القسمة - بمعنى ما، هذا هو الحل الأمثل للمشكلة. باختصار، "مكدس القسمة المسبق" هو فئة المدارات، وتكديس واحد (أي إدخال مفهوم الملتوي) للحصول على مكدس القسمة.

بحسب التطبيقات، يتمثل نهج آخر في تحويل التركيز من الفضاء إلى العناصر الموجودة فيه؛ على سبيل المثال، الطوبولوجيا . وهكذا، تتحول المشكلة من تصنيف المدارات إلى تصنيف الأجسام المتغيرة .

انظر أيضاً

مراجع

↑ بالتفصيل، بالنظر إلى إجراء مخطط المجموعة $\sigma$ ، لكل تشاكل $T\to S$ ، $\sigma$ يحدد إجراءً جماعيًا $G(T)\times X(T)\to X(T)$ أي، المجموعة $G(T)$ يؤثر على مجموعة النقاط T $X(T)$ . على العكس من ذلك، إذا كان لكل $T\to S$ هناك عمل جماعي $\sigma _{T}:G(T)\times X(T)\to X(T)$ وإذا كانت تلك الأفعال متوافقة؛ أي أنها تشكل تحولاً طبيعياً ، فإنها، وفقاً لمبدأ يونيدا ، تحدد فعل مخطط المجموعة $\sigma :G\times _{S}X\to X$ .

مومفورد, ديفيد ; فوجارتي، J.؛ كيروان، ف. (1994). النظرية الهندسية الثابتة . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [النتائج في الرياضيات والمجالات ذات الصلة (2)]. المجلد. 34 ( الطبعة الثالثة). برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 978-3-540-56963-3MR 1304906 .

[1] بالتفصيل، بالنظر إلى إجراء مخطط المجموعة $\sigma$ ، لكل تشاكل $T\to S$ ، $\sigma$ يحدد إجراءً جماعيًا $G(T)\times X(T)\to X(T)$ أي، المجموعة $G(T)$ يؤثر على مجموعة النقاط T $X(T)$ . على العكس من ذلك، إذا كان لكل $T\to S$ هناك عمل جماعي $\sigma _{T}:G(T)\times X(T)\to X(T)$ وإذا كانت تلك الأفعال متوافقة؛ أي أنها تشكل تحولاً طبيعياً ، فإنها، وفقاً لمبدأ يونيدا ، تحدد فعل مخطط المجموعة $\sigma :G\times _{S}X\to X$ .

[ 1 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗