حاصل ضرب GIT

في الهندسة الجبرية ، يُعرف خارج القسمة التآلفي GIT ، أو خارج القسمة التآلفي لنظرية الثوابت الهندسية ، للمخطط التآلفي${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$مع إجراء من قبل مخطط المجموعة G هو المخطط الأفيني${\displaystyle \operatorname {Spec} (A^{G})}$، الطيف الأولي لحلقة الثوابت لـ A ، ويُرمز إليه بـ${\displaystyle X/\!/G}$. إن خارج القسمة GIT هو خارج قسمة فئوي : أي تشاكل ثابت يحلل بشكل فريد من خلاله.

أخذ الإسقاط ( لحلقة متدرجة ) بدلاً من${\displaystyle \operatorname {Spec} }$، يحصل المرء على خارج قسمة GIT الإسقاطي (وهو خارج قسمة مجموعة النقاط شبه المستقرة ).

حاصل القسمة الهندسي هو حاصل قسمة فئوي لموضع النقاط شبه المستقرة؛ أي حاصل قسمة الموضع شبه المستقر. ولأن حاصل القسمة الفئوي فريد، فإذا وُجد حاصل قسمة هندسي ، فإن المفهومين يتطابقان: على سبيل المثال، يكون لدينا

${\displaystyle G/H=G/\!/H=\operatorname {Spec} \!{\big (}k[G]^{H}{\big )}}$

بالنسبة لمجموعة جبرية G على حقل k ومجموعة فرعية مغلقة H.

إذا كان X عبارة عن مجموعة إسقاطية سلسة معقدة وإذا كانت G عبارة عن مجموعة لي معقدة مختزلة ، فإن خارج قسمة GIT لـ X بواسطة G يكون متماثلًا مع خارج القسمة التبسيطية لـ X بواسطة مجموعة فرعية مضغوطة قصوى من G ( نظرية كيمبف-نيس ).

ليكن G زمرة اختزالية تعمل على مخطط شبه إسقاطي X فوق حقل، وليكن L حزمة خطية واسعة خطية على X.

${\displaystyle R=\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,L^{\otimes n})}$

ليكن حلقة المقطع. بحسب التعريف، الموضع شبه المستقر${\displaystyle X^{ss}}$هو مكمل مجموعة الأصفار${\displaystyle V(R_{+}^{G})}$في X ؛ بعبارة أخرى، هو اتحاد جميع المجموعات الجزئية المفتوحة${\displaystyle U_{s}=\{s\neq 0\}}$بالنسبة للأقسام العالمية من${\displaystyle (L^{\otimes n})^{G}}$، ن كبير. بالوفرة، كل${\displaystyle U_{s}}$هو خطي؛ قل${\displaystyle U_{s}=\operatorname {Spec} (A_{s})}$وهكذا يمكننا تكوين حاصل قسمة GIT الأفيني

${\displaystyle \pi _{s}\colon U_{s}\to U_{s}/\!/G=\operatorname {Spec} (A_{s}^{G}).}$

لاحظ أن${\displaystyle U_{s}/\!/G}$هي من النوع المحدود وفقًا لنظرية هيلبرت على حلقة الثوابت . وبحسب الخاصية العامة للقسمات الفئوية ، فإن هذه القسمات الأفينية تلتصق وتؤدي إلى

${\displaystyle \pi \colon X^{ss}\to X/\!/_{L}G,}$

وهو حاصل قسمة GIT لـ X بالنسبة إلى L. لاحظ أنه إذا كان X إسقاطيًا؛ أي أنه Proj لـ R ، فإن حاصل القسمة${\displaystyle X/\!/_{L}G}$يُعطى ببساطة على أنه إسقاط حلقة الثوابت${\displaystyle R^{G}}$.

The most interesting case is when the stable locus^[1]${\displaystyle X^{s}}$ is nonempty; ${\displaystyle X^{s}}$ is the open set of semistable points that have finite stabilizers and orbits that are closed in ${\displaystyle X^{ss}}$. In such a case, the GIT quotient restricts to

${\displaystyle \pi ^{s}\colon X^{s}\to X^{s}/\!/G,}$

which has the property: every fiber is an orbit. That is to say, ${\displaystyle \pi ^{s}}$ is a genuine quotient (i.e., geometric quotient) and one writes ${\displaystyle X^{s}/G=X^{s}/\!/G}$. Because of this, when ${\displaystyle X^{s}}$ is nonempty, the GIT quotient ${\displaystyle \pi }$ is often referred to as a "compactification" of a geometric quotient of an open subset of X.

A difficult and seemingly open question is: which geometric quotient arises in the above GIT fashion? The question is of a great interest since the GIT approach produces an explicit quotient, as opposed to an abstract quotient, which is hard to compute. One known partial answer to this question is the following:^[2] let ${\displaystyle X}$ be a locally factorial algebraic variety (for example, a smooth variety) with an action of ${\displaystyle G}$. Suppose there are an open subset ${\displaystyle U\subset X}$ as well as a geometric quotient ${\displaystyle \pi \colon U\to U/G}$ such that (1) ${\displaystyle \pi }$ is an affine morphism and (2) ${\displaystyle U/G}$ is quasi-projective. Then ${\displaystyle U\subset X^{s}(L)}$ for some linearlized line bundle L on X. (An analogous question is to determine which subring is the ring of invariants in some manner.)

• quotient stack
• character variety
• Chow quotient