يونيدا ليما

توجد نسخة متغايرة من مبرهنة يونيدا، ^{[ 3 ]} والتي تتعلق بالدوال المتغايرة من${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ل${\displaystyle \mathbf {Set} }$(المعروفة أيضًا باسم الحزم المسبقة ). تتضمن هذه النسخة الدالة المتجانسة المتغيرة.

${\displaystyle h^{A}(-)\equiv \mathrm {Hom} (-,A),}$

والذي يرسل${\displaystyle X}$إلى المنزل${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,A)}$. بالنظر إلى دالة متغايرة عشوائية${\displaystyle G}$من${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ل${\displaystyle \mathbf {Set} }$تؤكد نظرية يونيدا أن

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},G)\cong G(A).}$

التقابلات الواردة في مبرهنة يونيدا (المتغيرة) (لكل${\displaystyle A}$و${\displaystyle F}$) هي مكونات التشاكل الطبيعي بين دالتين معينتين من${\displaystyle {\mathcal {C}}\times \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$ل${\displaystyle \mathbf {Set} }$[ ^{4 ] : 61} أحد الدالتين هو دالة ^{التقييم}

${\displaystyle -(-)\colon {\mathcal {C}}\times \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$

${\displaystyle -(-)\colon (A,F)\mapsto F(A)}$

وهذا يرسل زوجًا${\displaystyle (f,\Phi )}$من التشكل${\displaystyle f\colon A\to B}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$وتحول طبيعي${\displaystyle \Phi \colon F\to G}$إلى الخريطة

${\displaystyle \Phi _{B}\circ F(f)=G(f)\circ \Phi _{A}\colon F(A)\to G(B).}$

هذا يكفي لتحديد الدالة الأخرى لأننا نعرف ما هو التشاكل الطبيعي. تحت الدالة الثانية

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon {\mathcal {C}}\times \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} ,}$

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon (A,F)\mapsto \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F),}$

صورة زوج${\displaystyle (f,\Phi )}$هذه هي الخريطة

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )=\operatorname {Nat} (\hom(B,-),\Phi )\circ \operatorname {Nat} (\hom(f,-),F)=\operatorname {Nat} (\hom(f,-),G)\circ \operatorname {Nat} (\hom(A,-),\Phi )}$

وهذا يُحدث تحولاً طبيعياً${\displaystyle \Psi \colon \hom(A,-)\to F}$إلى التحول الطبيعي${\displaystyle \Phi \circ \Psi \circ \hom(f,-)\colon \hom(B,-)\to G}$، والتي تتكون من

${\displaystyle (\Phi \circ \Psi \circ \hom(f,-))_{C}(g)=(\Phi \circ \Psi )_{C}(g\circ f)\qquad (g\colon B\to C).}$

استخدام${\displaystyle h_{A}}$بالنسبة للدالة المتجانسة المتغيرة و${\displaystyle h^{A}}$لا يُعدّ استخدام اصطلاح معاكس للدالة المتجانسة المتغايرة أمرًا قياسيًا تمامًا. تستخدم العديد من النصوص ^{[ 5 ]} والمقالات إما الاصطلاح المعاكس أو رموزًا غير ذات صلة تمامًا لهاتين الدالتين. كما يتبع نموذج EGA التأسيسي لألكسندر غروتينديك الاصطلاح المعاكس ويُعرّف${\displaystyle h_{X}(Y)=\operatorname {Hom} (Y,X)}$^{[ 6 ]} . ^{[ ب} ]

يمكن أن يكون استخدام عبارة "الوقوع في شيء ما" مفيداً في تذكر ذلك.${\displaystyle h_{A}}$هو دالة التماثل المتغيرة. عندما يكون الحرف${\displaystyle A}$يتناقص (أي رمز سفلي) ،${\displaystyle h_{A}}$يُسند إلى كائن${\displaystyle X}$التشكلات من${\displaystyle A}$داخل${\displaystyle X}$.

منذ${\displaystyle \Phi }$إذا كان تحويلاً طبيعياً، فلدينا المخطط التبادلي التالي :

يوضح هذا الرسم التخطيطي التحول الطبيعي${\displaystyle \Phi }$يتم تحديده بالكامل بواسطة${\displaystyle \Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})=u}$لأن لكل تشاكل${\displaystyle f\colon A\to X}$يمتلك المرء

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)u.}$

علاوة على ذلك، أي عنصر${\displaystyle u\in F(A)}$يُعرّف التحويل الطبيعي بهذه الطريقة. والبرهان في حالة التغاير العكسي مماثل تمامًا. ^{[ 1 ]}

تُعدّ حالة خاصة مهمة من لِمّة يونيدا هي عندما يكون المؤثر${\displaystyle F}$من${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ل${\displaystyle \mathbf {Set} }$دالة تجانس أخرى${\displaystyle h_{B}}$في هذه الحالة، تنص الصيغة المتغيرة لفرضية يونيدا على ما يلي:

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})\cong \mathrm {Hom} (B,A).}$

أي أن التحويلات الطبيعية بين الدوال المتجانسة تتطابق تطابقًا تامًا مع التشكلات (في الاتجاه المعاكس) بين الكائنات المرتبطة بها. بالنظر إلى تشكل${\displaystyle f\colon B\to A}$يُشار إلى التحول الطبيعي المرتبط به بـ${\displaystyle \mathrm {Hom} (f,-)}$.

تعيين كل كائن${\displaystyle A}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$إلى دالة التماثل المرتبطة بها${\displaystyle h_{A}=\mathrm {Hom} (A,-)}$وكل تشاكل${\displaystyle f\colon B\to A}$إلى التحول الطبيعي المقابل${\displaystyle \mathrm {Hom} (f,-)}$يحدد العامل المتناقض${\displaystyle h_{\bullet }}$من${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\text{op}}}$ل${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$، فئة الدوال لجميع الدوال (المتغيرة) من${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ل${\displaystyle \mathbf {Set} }$يمكن للمرء أن يفسر${\displaystyle h_{\bullet }}$كدالة متغيرة :

${\displaystyle h_{\bullet }\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\to \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}.}$

معنى لِمّة يونيدا في هذا السياق هو أن الدالة${\displaystyle h_{\bullet }}$وهو أمين تمامًا ، وبالتالي يعطي تضمينًا لـ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$في فئة الدوال إلى${\displaystyle \mathbf {Set} }$مجموعة جميع الدوال${\displaystyle \{h_{A}|A\in C\}}$هي فئة فرعية من${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$لذلك، فإن تضمين يونيدا يعني أن الفئة${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$متماثل مع الفئة${\displaystyle \{h_{A}|A\in C\}}$.

تنص الصيغة المتغيرة لفرضية يونيدا على ما يلي:

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})\cong \mathrm {Hom} (A,B).}$

لذلك،${\displaystyle h^{\bullet }}$ينتج عنه دالة متغيرة من${\displaystyle {\mathcal {C}}}$إلى فئة الدوال المتغيرة عكسيًا لـ${\displaystyle \mathbf {Set} }$:

${\displaystyle h^{\bullet }\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}.}$

ثم تنص ليمّة يونيدا على أن أي فئة صغيرة محليًا${\displaystyle {\mathcal {C}}}$يمكن تضمينها في فئة الدوال المتغيرة عكسيًا من${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ل${\displaystyle \mathbf {Set} }$عبر${\displaystyle h^{\bullet }}$يُطلق على هذا اسم تضمين يونيدا .

يُشار أحيانًا إلى تضمين يونيدا بالحرف よ، وهو حرف الهيراغانا Yo . ^{[ 7 ]}

ينص تضمين يونيدا أساسًا على أنه بالنسبة لكل فئة (صغيرة محليًا)، يمكن تمثيل الكائنات في تلك الفئة بواسطة الحزم المسبقة ، بطريقة كاملة ودقيقة. أي،

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},P)\cong P(A)}$

بالنسبة لحزمة مسبقة P. العديد من الفئات الشائعة هي في الواقع فئات لحزم مسبقة، وعند التدقيق، يتبين أنها فئات لحزم ، وبما أن هذه الأمثلة عادةً ما تكون طوبولوجية بطبيعتها، فيمكن اعتبارها طوبولوجيات بشكل عام. توفر مبرهنة يونيدا نقطة ارتكاز يمكن من خلالها دراسة وفهم البنية الطوبولوجية للفئة.

بالنظر إلى فئتين${\displaystyle \mathbf {C} }$و${\displaystyle \mathbf {D} }$باستخدام دالتين${\displaystyle F,G:\mathbf {C} \to \mathbf {D} }$، ويمكن كتابة التحولات الطبيعية بينهما على النحو التالي . ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \mathrm {Nat} (F,G)=\int _{c\in \mathbf {C} }\mathrm {Hom} _{\mathbf {D} }(Fc,Gc)}$

بالنسبة لأي دوال${\displaystyle K\colon \mathbf {C} ^{op}\to \mathbf {Set} }$و${\displaystyle H\colon \mathbf {C} \to \mathbf {Set} }$جميع الصيغ التالية هي صيغ لفرضية يونيدا. ^{[ 9 ]}

${\displaystyle K\cong \int ^{c\in \mathbf {C} }Kc\times \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(-,c),\qquad K\cong \int _{c\in \mathbf {C} }(Kc)^{\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(c,-)},}$

${\displaystyle H\cong \int ^{c\in \mathbf {C} }Hc\times \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(c,-),\qquad H\cong \int _{c\in \mathbf {C} }(Hc)^{\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(-,c)}.}$

يترك${\displaystyle {\mathcal {C}}}$أن تكون فئة صغيرة، ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$دالة، و${\displaystyle [{\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} ]}$فئة الحزم المسبقة ، وامتداد يونيدا الخاص بها ^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\tilde {F}}:[{\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} ]\rightarrow {\mathcal {D}}}$

هو امتداد كان الأيسر${\displaystyle \mathrm {Lan} _{H^{\bullet }}F:[{\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} ]\rightarrow {\mathcal {D}}}$ل${\displaystyle F}$على طول تضمين يونيدا${\displaystyle H^{\bullet }}$:

${\displaystyle {\tilde {F}}:=\mathrm {Lan} _{H^{\bullet }}F}$