انكماش المجموعة

في الفيزياء النظرية، ناقش يوجين ويغنر وإردال إينونو ^{[ 1 ]} إمكانية الحصول من زمرة لي معينة على زمرة لي مختلفة (غير متماثلة) عن طريق انكماش الزمرة بالنسبة إلى زمرة فرعية متصلة منها. ويُعادل ذلك عملية تقريبية على أحد معلمات جبر لي ، مما يُغير ثوابت بنية هذا الجبر بطريقة غير تافهة ومفردة، في ظل ظروف مناسبة. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

على سبيل المثال، يمكن _إعادة كتابة جبر لي لمجموعة الدوران ثلاثية الأبعاد SO(3) ، [ X1 _, X2 ] = _{X3 ،} إلخ ، عن طريق تغيير المتغيرات Y1 = _{εX1 ،} Y2 = εX2 ، _Y3 = X3 _، كما _يلي :

[ Y ₁ , Y ₂ ] = ε ² Y ₃ , [ Y ₂ , Y ₃ ] = Y ₁ , [ Y ₃ , Y ₁ ] = Y ₂     .

يؤدي حد الانكماش ε → 0 إلى تبسيط المبدل الأول، وبالتالي ينتج عنه الجبر غير المتماثل للمجموعة الإقليدية المستوية ، E ₂ ~ ISO(2) . (وهي متماثلة مع المجموعة الأسطوانية، التي تصف حركات نقطة على سطح أسطوانة. وهي المجموعة الصغرى ، أو المجموعة الفرعية المثبتة ، للمتجهات الرباعية الصفرية في فضاء مينكوفسكي ). على وجه التحديد، تولد مولدات الإزاحة Y ₁ و Y ₂ الآن المجموعة الفرعية العادية الأبيلية لـ E ₂ (انظر: امتداد المجموعة )، أي تحويلات لورنتز المكافئة .

حدود مماثلة، ذات تطبيق كبير في الفيزياء (انظر مبادئ التوافق )، تنكمش

• مجموعة دي سيتر SO(4, 1) ~ Sp(2, 2) إلى مجموعة بوانكاريه ISO(3, 1) ، عندما يتباعد نصف قطر دي سيتر: R → ∞ ؛ أو
• يتحول جبر دي سيتر الفائق المضاد إلى جبر بوانكاريه الفائق عندما يتباعد نصف قطر AdS R → ∞ ؛ أو
• من مجموعة بوانكاريه إلى مجموعة غاليليو ، مع تباعد سرعة الضوء : c → ∞ ؛ ^{[ 4 ]} أو
• جبر لي قوس مويال ( المكافئ للمبدلات الكمومية) إلى جبر لي قوس بواسون ، في الحد الكلاسيكي عندما يتلاشى ثابت بلانك : ħ → 0 .

• دولي، أ.هـ؛ رايس، ج.و. (1985). "حول انكماشات زمر لي شبه البسيطة" (ملف PDF) . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 289 (1 ) : 185-202 . doi : 10.2307/1999695 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1999695. MR 0779059 .   
• جيلمور، روبرت (2006). زمر لي، وجبر لي، وبعض تطبيقاتها . كتب دوفر في الرياضيات. منشورات دوفر . ISBN 0486445291MR 1275599​​ 
• إينونو، إي .؛ ويغنر، إي. بي. (1953). "حول انكماش المجموعات وتمثيلاتها" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 39 (6): 510-24 . Bibcode : 1953PNAS...39..510I . doi : 10.1073 / pnas.39.6.510 . PMC 1063815. PMID 16589298 .  
• ساليتان، إي جيه (1961). "انكماش زمر لي". مجلة الفيزياء الرياضية . 2 (1): 1-21 . Bibcode : 1961JMP.....2....1S . doi : 10.1063/1.1724208 .
• سيغال، آي إي (1951). "فئة من جبر المؤثرات التي تحددها المجموعات". مجلة ديوك الرياضية . 18 : 221. doi : 10.1215/S0012-7094-51-01817-0 .