شجرة H

في الهندسة الكسورية ، تُعدّ شجرة H بنيةً شجريةً كسوريةً مُكوّنةً من قطع مستقيمة متعامدة ، كل قطعة أصغر من القطعة المجاورة الأكبر منها بمقدار جذر 2. سُمّيت بهذا الاسم لأن نمطها المتكرر يُشبه الحرف "H". لها بُعد هاوسدورف 2، وتقترب بشكلٍ عشوائي من أي نقطة في مستطيل . تشمل تطبيقاتها تصميم الدوائر المتكاملة واسعة النطاق (VLSI) وهندسة الموجات الميكروية.

يمكن إنشاء شجرة H بالبدء بقطعة مستقيمة ذات طول عشوائي، ورسم قطعتين أقصر منها بزاوية قائمة على القطعة الأولى من خلال نهايتيها، والاستمرار على نفس المنوال، مع تقليل (تقسيم) طول القطع المستقيمة المرسومة في كل مرحلة بواسطة${\displaystyle {\sqrt {2}}}$[ ^{1 ] يمكن أيضًا تعريف صيغة معدلة لهذا البناء حيث يتم} ضرب الطول في كل تكرار بنسبة أقل من${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$لكن في هذا النوع، يغطي الشكل الناتج جزءًا فقط من المستطيل المحيط به، بحدود كسورية. ^{[ 2 ]}

تتمثل إحدى العمليات البديلة التي تولد نفس مجموعة الأشكال الكسورية في البدء بمستطيل ذي أضلاع بنسبة${\displaystyle 1:{\sqrt {2}}}$ثم يُقسّم الشكل إلى مستطيلين فضيين أصغر حجمًا بشكل متكرر، مع توصيل مركزي المستطيلين الأصغر بقطعة مستقيمة في كل مرحلة . ويمكن تطبيق عملية مماثلة على مستطيلات من أي شكل آخر، ولكن${\displaystyle 1:{\sqrt {2}}}$يؤدي المستطيل إلى تناقص طول القطعة المستقيمة بشكل منتظم بمقدار${\displaystyle {\sqrt {2}}}$يتم تطبيق عامل في كل خطوة، بينما بالنسبة للمستطيلات الأخرى، سينخفض ​​الطول بعوامل مختلفة في المستويات الفردية والزوجية من البناء المتكرر.

شجرة H هي شكل كسري ذاتي التشابه ؛ بُعد هاوسدورف الخاص بها يساوي 2. ^{[ 2 ]}

تقترب نقاط شجرة H بشكل عشوائي من كل نقطة في مستطيل (وهو نفس المستطيل الابتدائي في عملية البناء باستخدام مراكز المستطيلات المقسمة). ^{[ 3 ]} ويترتب على ذلك أن إغلاقها الطوبولوجي هو المستطيل بأكمله. ومع ذلك، فهو لا يشمل جميع نقاط المستطيل؛ فعلى سبيل المثال، لا تشمل النقاط الواقعة على المنصف العمودي للقطعة المستقيمة الابتدائية (باستثناء منتصف هذه القطعة).

في تصميم الدوائر المتكاملة واسعة النطاق (VLSI) ، يمكن استخدام شجرة H كتخطيط لشجرة ثنائية كاملة بمساحة إجمالية تتناسب مع عدد عقد الشجرة. ^{[ 4 ]} بالإضافة إلى ذلك، تُشكل شجرة H تخطيطًا فعالًا من حيث المساحة للأشجار في رسم المخططات البيانية ، ^{[ 5 ]} وكجزء من بناء مجموعة نقاط يكون فيها مجموع مربعات أطوال حواف مسار البائع المتجول كبيرًا. ^{[ 6 ]} كما تُستخدم عادةً كشبكة توزيع إشارات الساعة لتوجيه إشارات التوقيت إلى جميع أجزاء الشريحة مع تأخيرات انتشار متساوية لكل جزء، ^{[ 7 ]} وقد استُخدمت أيضًا كشبكة ربط بين المعالجات المتعددة في الدوائر المتكاملة واسعة النطاق. ^{[ 8 ]}

يمكن تعميم شجرة H المستوية إلى بنية ثلاثية الأبعاد عن طريق إضافة قطع مستقيمة في الاتجاه العمودي على مستوى شجرة H. ^{[ 9 ]} تتميز شجرة H ثلاثية الأبعاد الناتجة ببعد هاوسدورف يساوي 3. وقد وُجد أن شجرة H المستوية ونسختها ثلاثية الأبعاد تُشكلان ذرات كهرومغناطيسية اصطناعية في البلورات الضوئية والمواد الفائقة، وقد يكون لهما تطبيقات محتملة في هندسة الموجات الميكروية. ^{[ 9 ]}

شجرة H مثال على مظلة كسورية ، حيث تكون الزاوية بين القطع المستقيمة المتجاورة 90 درجة دائمًا. وبسبب خاصية اقترابها بشكل عشوائي من كل نقطة في مستطيلها المحيط، فإنها تشبه أيضًا منحنى يملأ الفراغ ، على الرغم من أنها ليست منحنى بحد ذاتها. ^{[ 3 ]}

عرّف بينوا ماندلبروت أشكالًا مختلفة من نفس بنية الشجرة، تتميز بفروع مضلعة سميكة بدلًا من القطع المستقيمة لشجرة H، وتُعرف هذه الأشكال أحيانًا باسم شجرة ماندلبروت. في هذه الأشكال المختلفة، ولتجنب التداخل بين أوراق الشجرة وفروعها السميكة، يجب أن يكون عامل المقياس الذي يُصغّر به الحجم عند كل مستوى أكبر قليلًا من${\displaystyle {\sqrt {2}}}$[ ^{10 ]​}