الفراكتال

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 32 صور
الموسوعة الحرة
سجادة سيربينسكي - محيط لانهائي ومساحة صفرية
منطقة مكبرة للغاية على حدود مجموعة ماندلبروت
مجموعة ماندلبروت : حدودها عبارة عن منحنى كسري ذو بُعد هاوسدورف 2. (لاحظ أن الأجزاء الملونة من الصورة ليست في الواقع جزءًا من مجموعة ماندلبروت، بل هي مبنية على مدى سرعة تباعد الدالة التي تنتجها.)
مجموعة ماندلبروت مع 12 دائرة

تكبير حدود مجموعة ماندلبروت

في الرياضيات ، يُعرف الشكل الكسري بأنه شكل هندسي يحتوي على بنية تفصيلية على نطاقات صغيرة جدًا، وعادةً ما يكون بُعده الكسري أكبر بكثير من البُعد الطوبولوجي . تظهر العديد من الأشكال الكسرية متشابهة على نطاقات مختلفة، كما يتضح في التكبيرات المتتالية لمجموعة ماندلبروت . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] يُطلق على هذا التشابه في الأنماط على نطاقات أصغر فأصغر اسم التشابه الذاتي ، ويُعرف أيضًا بالتناظر المتوسع أو التناظر المتفكك؛ إذا كان هذا التكرار متطابقًا تمامًا على كل نطاق، كما هو الحال في إسفنجة مينجر ، يُطلق على الشكل اسم التشابه الذاتي الأفيني . [ 5 ] ترتبط الهندسة الكسرية بفرع نظرية القياس في الرياضيات من خلال بُعد هاوسدورف .

إحدى أوجه الاختلاف بين الأشكال الكسورية وغيرها من الأشكال الهندسية هي طريقة تغيير حجمها . فمضاعفة أطوال أضلاع مضلع مملوء تزيد مساحته أربعة أضعاف، أي اثنين (نسبة طول الضلع الجديد إلى القديم) مرفوعًا للأس اثنين (البعد التقليدي للمضلع المملوء). وبالمثل، إذا تضاعف نصف قطر كرة مملوءة ، فإن حجمها يتغير بمقدار ثمانية أضعاف، أي اثنين (نسبة نصف القطر الجديد إلى القديم) مرفوعًا للأس ثلاثة (البعد التقليدي للكرة المملوءة). مع ذلك، إذا تضاعفت جميع أطوال الأبعاد الأحادية للشكل الكسوري، فإن محتواه المكاني يتغير بمقدار أس ليس بالضرورة عددًا صحيحًا، وهو عمومًا أكبر من بعده التقليدي. [ 1 ] يُطلق على هذا الأس اسم البعد الكسوري للشكل الهندسي، تمييزًا له عن البعد التقليدي (الذي يُسمى رسميًا البعد الطوبولوجي ). [ 6 ]

من الناحية التحليلية، لا يمكن تفاضل العديد من الأشكال الكسورية في أي مكان . [ 1 ] [ 4 ] يمكن تصور منحنى كسري لانهائي على أنه يلتف عبر الفضاء بشكل مختلف عن الخط العادي - على الرغم من أنه لا يزال أحادي البعد طوبولوجيًا ، إلا أن بُعده الكسوري يشير إلى أنه يملأ الفضاء محليًا بكفاءة أكبر من الخط العادي. [ 1 ] [ 6 ]

سجادة سيربينسكي (حتى المستوى 6)، وهي شكل كسري ذو بُعد طوبولوجي 1 وبُعد هاوسدورف 1.893
القطعة المستقيمة تشبه جزءًا مناسبًا من نفسها، ولكنها بالكاد تكون شكلًا كسريًا .

بدأت دراسة الأشكال الكسورية في القرن السابع عشر بمفاهيم التكرار ، ثم تطورت عبر معالجة رياضية أكثر دقة، وصولاً إلى دراسة الدوال المتصلة غير القابلة للتفاضل في القرن التاسع عشر بفضل الأعمال الرائدة لبرنارد بولزانو ، وبرنارد ريمان ، وكارل فايرشتراس ، [ 7 ] ثم إلى صياغة مصطلح "كسوري" في القرن العشرين، وما تلاه من ازدهار في الاهتمام بالأشكال الكسورية والنمذجة الحاسوبية في القرن العشرين. [ 8 ] [ 9 ]

يوجد بعض الاختلاف بين علماء الرياضيات حول كيفية تعريف مفهوم الفراكتل تعريفًا رسميًا. وقد لخصه ماندلبروت نفسه بقوله: "جميل، صعب للغاية، ومفيد بشكل متزايد. هذه هي الفراكتلات." [ 10 ] وبشكل أكثر رسمية، عرّف ماندلبروت الفراكتل في عام 1982 على النحو التالي: "الفراكتل، بحكم تعريفه، هو مجموعة يتجاوز فيها بُعد هاوسدورف-بيسيكوفيتش البُعد الطوبولوجي ." [ 11 ] لاحقًا، ولأنه رأى هذا التعريف مُقيِّدًا للغاية، قام بتبسيطه وتوسيعه ليصبح: "الفراكتل هو شكل هندسي خشن أو مُجزَّأ يمكن تقسيمه إلى أجزاء، كل جزء منها (تقريبًا على الأقل) نسخة مُصغَّرة من الشكل الكلي." [ 1 ] وفي وقت لاحق، اقترح ماندلبروت "استخدام مصطلح الفراكتل دون تعريف مُتكلِّف، واستخدام بُعد الفراكتل كمصطلح عام ينطبق على جميع المتغيرات." [ 12 ]

يتفق علماء الرياضيات على أن الأشكال الكسورية النظرية هي بنى رياضية متكررة ومفصلة ذات تشابه ذاتي لا نهائي، وقد تم صياغة ودراسة العديد من الأمثلة عليها. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] ولا تقتصر الأشكال الكسورية على الأنماط الهندسية فحسب، بل يمكنها أيضًا وصف العمليات الزمنية. [ 5 ] [ 4 ] [ 13 ] وقد تم عرض أو دراسة أنماط كسورية بدرجات متفاوتة من التشابه الذاتي في الوسائط المرئية والمادية والسمعية [ 14 ] ، ووجدت في الطبيعة ، [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] والتكنولوجيا ، [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] والفن ، [ 23 ] [ 24 ] والهندسة المعمارية . [ 25 ] تُعدّ الأشكال الكسورية ذات أهمية خاصة في مجال نظرية الفوضى لأنها تظهر في التصويرات الهندسية لمعظم العمليات الفوضوية (عادةً إما كجاذبات أو كحدود بين أحواض الجذب). [ 26 ]

أصل الكلمة

صاغ عالم الرياضيات بينوا ماندلبروت مصطلح "الكسرية" عام 1975. [ 27 ] استند ماندلبروت في مصطلحه إلى الكلمة اللاتينية frāctus ، التي تعني "مكسور" أو "متصدع"، واستخدمه لتوسيع مفهوم الأبعاد الكسرية النظرية ليشمل الأنماط الهندسية في الطبيعة . [ 1 ] [ 28 ] [ 29 ]

مقدمة

شجرة كسورية بسيطة
شجرة كسورية مكونة من أحد عشر تكرارًا

غالبًا ما يحمل مصطلح "الكسرية" دلالات مختلفة لدى علماء الرياضيات وعامة الناس، حيث يميل عامة الناس إلى الإلمام بفن الكسرية أكثر من إلمامهم بالمفهوم الرياضي. يصعب تعريف المفهوم الرياضي تعريفًا رسميًا، حتى بالنسبة لعلماء الرياضيات، ولكن يمكن فهم سماته الأساسية بخلفية رياضية بسيطة.

يمكن فهم خاصية "التشابه الذاتي"، على سبيل المثال، بسهولة من خلال تشبيهها بتكبير الصور الرقمية باستخدام عدسة أو جهاز آخر يكشف عن بنية جديدة أدق كانت خفية سابقًا. ولكن عند تطبيق ذلك على الأشكال الكسورية، لا تظهر أي تفاصيل جديدة؛ فلا شيء يتغير، ويتكرر النمط نفسه مرارًا وتكرارًا، أو في بعض الأشكال الكسورية، يظهر نمط مشابه جدًا مرارًا وتكرارًا. ولا يُعد التشابه الذاتي في حد ذاته منافيًا للحدس بالضرورة (فقد تأمل الناس في التشابه الذاتي بشكل غير رسمي، كما في التسلسل اللانهائي في المرايا المتوازية أو الهومونكولوس ، أي الرجل الصغير داخل رأس الرجل الصغير داخل الرأس...). ويكمن الاختلاف بالنسبة للأشكال الكسورية في أن النمط المُعاد إنتاجه يجب أن يكون مفصلاً. [ 1 ] : 166، 18 [ 2 ] [ 28 ]

ترتبط فكرة التفصيل هذه بميزة أخرى يمكن فهمها دون خلفية رياضية متعمقة: فامتلاك بُعد كسري أكبر من بُعده الطوبولوجي، على سبيل المثال، يشير إلى كيفية تغير حجم الشكل الكسري مقارنةً بكيفية إدراك الأشكال الهندسية عادةً. يُفهم الخط المستقيم، على سبيل المثال، تقليديًا على أنه أحادي البعد؛ فإذا قُسِّم هذا الشكل إلى أجزاء، كل جزء منها يُساوي ثلث طول الشكل الأصلي، فسيكون هناك دائمًا ثلاثة أجزاء متساوية. يُفهم المربع الصلب على أنه ثنائي البعد؛ فإذا قُسِّم هذا الشكل إلى أجزاء، كل جزء منها مُصغَّر بمعامل 1/3 في كلا البُعدين، فسيكون هناك إجمالي 3² = 9 أجزاء.

نلاحظ أنه بالنسبة للأجسام العادية ذاتية التشابه، فإن كونها ذات بُعد n يعني أنه عند تقسيمها إلى أجزاء، كل جزء منها مُصغّر بمعامل قياس 1/ r ، يكون هناك إجمالي r n جزءًا. الآن، لننظر إلى منحنى كوخ . يمكن تقسيمه إلى أربع نسخ فرعية، كل منها مُصغّر بمعامل قياس 1/3. لذا، قياسًا على ذلك، يمكننا اعتبار "بُعد" منحنى كوخ هو العدد الحقيقي الوحيد D الذي يحقق المعادلة 3D = 4. يُسمى هذا العدد البُعد الكسري لمنحنى كوخ؛ وهو ليس البُعد المتعارف عليه للمنحنى. بشكل عام، من الخصائص الأساسية للكسور أن البُعد الكسري يختلف عن البُعد المتعارف عليه (المسمى رسميًا البُعد الطوبولوجي).

كسورية ثلاثية الأبعاد مولدة بواسطة الكمبيوتر

يقودنا هذا أيضًا إلى فهم خاصية ثالثة، وهي أن المعادلات الرياضية للكسور الهندسية "غير قابلة للتفاضل في أي موضع ". بمعنى أدق، لا يمكن قياس هذه الكسور بالطرق التقليدية. [ 1 ] [ 4 ] [ 30 ] للتوضيح، عند محاولة إيجاد طول منحنى متموج غير كسري، يمكن إيجاد أجزاء مستقيمة من أداة قياس صغيرة بما يكفي لوضعها طرفًا لطرف فوق التموجات، حيث تصبح هذه الأجزاء صغيرة بما يكفي لاعتبارها متوافقة مع المنحنى بالطريقة المعتادة للقياس بشريط القياس . لكن عند قياس منحنى كسري "متعرج" إلى ما لا نهاية، مثل ندفة ثلج كوخ، لن نجد أبدًا جزءًا مستقيمًا صغيرًا بما يكفي ليتوافق مع المنحنى، لأن النمط المتعرج سيعاود الظهور دائمًا، بأحجام صغيرة جدًا، مما يؤدي في الأساس إلى سحب جزء إضافي من شريط القياس إلى الطول الإجمالي المقاس في كل مرة نحاول فيها تقريبه أكثر فأكثر من المنحنى. والنتيجة هي أنه يجب استخدام شريط لاصق لا نهائي لتغطية المنحنى بأكمله بشكل مثالي، أي أن ندفة الثلج لها محيط لا نهائي. [ 1 ]

تاريخ

ندفة الثلج لكوخ هي شكل كسري يبدأ بمثلث متساوي الأضلاع ثم يستبدل الثلث الأوسط من كل قطعة مستقيمة بزوج من القطع المستقيمة التي تشكل نتوءًا متساوي الأضلاع.
مجموعة كانتور (الثلاثية)

يتتبع تاريخ الأشكال الكسورية مسارًا من الدراسات النظرية في المقام الأول إلى التطبيقات الحديثة في رسومات الحاسوب ، حيث ساهم العديد من الشخصيات البارزة في وضع الأشكال الكسورية الكلاسيكية على طول هذا المسار. [ 8 ] [ 9 ] ومن السمات الشائعة في العمارة الأفريقية التقليدية استخدام التدرج الكسوري، حيث تميل الأجزاء الصغيرة من المبنى إلى أن تبدو مشابهة للأجزاء الأكبر، مثل قرية دائرية مكونة من منازل دائرية. [ 31 ] ووفقًا لبيكوفر ، بدأت الرياضيات الكامنة وراء الأشكال الكسورية في التبلور في القرن السابع عشر عندما تأمل عالم الرياضيات والفيلسوف غوتفريد لايبنتز في التشابه الذاتي المتكرر (على الرغم من أنه وقع في خطأ الاعتقاد بأن الخط المستقيم فقط هو المتشابه ذاتيًا بهذا المعنى). [ 32 ]

استخدم لايبنتز في كتاباته مصطلح "الأسس الكسرية"، لكنه أعرب عن أسفه لأن "الهندسة" لم تكن تعرفها بعد. [ 1 ] : 405 في الواقع، وفقًا لروايات تاريخية مختلفة، بعد ذلك الوقت، لم يتناول سوى عدد قليل من علماء الرياضيات هذه المسائل، وظل عمل أولئك الذين فعلوا ذلك غامضًا إلى حد كبير بسبب مقاومة هذه المفاهيم الناشئة غير المألوفة، والتي كانت تُوصف أحيانًا بأنها "وحوش" رياضية. [ 30 ] [ 8 ] [ 9 ] وهكذا، لم يكن ذلك إلا بعد مرور قرنين من الزمان، في 18 يوليو 1872، عندما قدم كارل فايرشتراس أول تعريف لدالة ذات رسم بياني يُعتبر اليوم كسريًا، يتميز بخاصية غير بديهية تتمثل في كونه متصلًا في كل مكان ولكنه غير قابل للتفاضل في أي مكان، وذلك في الأكاديمية الملكية البروسية للعلوم. [ 8 ] : 7 [ 9 ]

بالإضافة إلى ذلك، يصبح فرق القسمة كبيرًا بشكل تعسفي مع ازدياد دليل الجمع. [ 33 ] بعد ذلك بوقت قصير، في عام 1883، نشر جورج كانتور ، الذي حضر محاضرات فايرشتراس، [ 9 ] أمثلة على مجموعات جزئية من خط الأعداد الحقيقية تُعرف باسم مجموعات كانتور ، والتي تميزت بخصائص غير عادية، وتُعرف الآن باسم الفراكتلات. [ 8 ] : 11-24. وفي الجزء الأخير من ذلك القرن أيضًا، قدم فيليكس كلاين وهنري بوانكاريه فئة من الفراكتلات أصبحت تُعرف باسم الفراكتلات "ذاتية الانعكاس". [ 1 ] : 166

مجموعة جوليا لخريطة ماندلبروت ذات المعامل -0.16-0.65i، وهي عبارة عن كسورية
يمكن توليد حشية سيربينسكي بواسطة شجرة كسورية.

كان أحد المعالم البارزة التالية في عام 1904، عندما قام هيلج فون كوخ ، بتوسيع أفكار بوانكاريه وعدم رضاه عن تعريف فايرشتراس المجرد والتحليلي، بتقديم تعريف هندسي أكثر، يتضمن رسومات يدوية لدالة مشابهة، والتي تُعرف الآن باسم ندفة ثلج كوخ . [ 8 ] : 25 [ 9 ] وجاء معلم بارز آخر بعد عقد من الزمن في عام 1915، عندما قام واكلاف سيربينسكي ببناء مثلثه الشهير ، ثم بعد عام واحد، سجادته . وبحلول عام 1918، توصل عالما الرياضيات الفرنسيان، بيير فاتو وجاستون جوليا ، على الرغم من عملهما بشكل مستقل، إلى نتائج متزامنة تقريبًا تصف ما يُنظر إليه الآن على أنه سلوك فركتالي مرتبط برسم الأعداد المركبة والدوال التكرارية، مما أدى إلى أفكار أخرى حول الجاذبات والنافرات (أي النقاط التي تجذب أو تتنافر مع نقاط أخرى)، والتي أصبحت ذات أهمية بالغة في دراسة الفركتلات. [ 4 ] [ 8 ] [ 9 ]

بعد فترة وجيزة من تقديم ذلك العمل، وتحديدًا في مارس 1918، وسّع فيليكس هاوسدورف تعريف "البُعد"، وهو ما كان له أثر بالغ في تطور تعريف الأشكال الكسورية، ليسمح للمجموعات بأن تمتلك أبعادًا غير صحيحة. [ 9 ] وقد طوّر بول ليفي فكرة المنحنيات ذاتية التشابه ، حيث وصف في بحثه المنشور عام 1938 بعنوان " المنحنيات والأسطح المستوية أو الفضائية المكونة من أجزاء مشابهة للكل" ، منحنى كسريًا جديدًا، هو منحنى ليفي C. [ ملاحظات 1 ]

جاذب غريب يُظهر قياسًا متعدد الأبعاد
مثلث كسري ذو مركز كتلة منتظم
نظام تكراري مزدوج بزاوية 120 درجة

افترض باحثون مختلفون أنه لولا الاستعانة بتقنيات الرسومات الحاسوبية الحديثة، لكان الباحثون الأوائل مقيدين بما يمكنهم تصويره بالرسومات اليدوية، وبالتالي افتقروا إلى الوسائل اللازمة لتصور جمال العديد من الأنماط التي اكتشفوها وتقدير بعض دلالاتها (فمجموعة جوليا، على سبيل المثال، لم يكن من الممكن تصورها إلا من خلال بضع تكرارات كرسومات بسيطة للغاية). [ 1 ] : 179 [ 30 ] [ 9 ] إلا أن هذا الوضع تغير في ستينيات القرن العشرين، عندما بدأ بينوا ماندلبروت الكتابة عن التشابه الذاتي في أوراق بحثية مثل " ما طول ساحل بريطانيا؟ التشابه الذاتي الإحصائي والبعد الكسري" ، [ 34 ] [ 35 ] والتي استندت إلى أعمال سابقة للويس فراي ريتشاردسون .

في عام ١٩٧٥، [ ٢٨ ] رسّخ ماندلبروت قرونًا من الفكر والتطور الرياضي بصياغة مصطلح "الكسرية"، ووضّح تعريفه الرياضي برسومات مذهلة مُنشأة بواسطة الحاسوب. وقد أسرت هذه الصور، مثل مجموعة ماندلبروت الكلاسيكية ، مخيلة العامة؛ إذ استند العديد منها إلى التكرار، مما أدى إلى المعنى الشائع لمصطلح "الكسرية". [ ٣٦ ] [ ٣٠ ] [ ٨ ] [ ٣٢ ]

في عام 1980، قدم لورين كاربنتر عرضًا تقديميًا في مؤتمر SIGGRAPH حيث قدم برنامجه لتوليد وعرض المناظر الطبيعية المولدة بشكل كسري. [ 37 ]

التعريف والخصائص

أحد الأوصاف الشائعة التي نشرها ماندلبروت لوصف الأشكال الهندسية الكسورية هو " شكل هندسي خشن أو مجزأ يمكن تقسيمه إلى أجزاء، كل منها نسخة مصغرة (تقريبًا على الأقل) من الشكل الكلي"؛ [ 1 ] وهذا مفيد عمومًا ولكنه محدود. يختلف المؤلفون حول التعريف الدقيق للكسورية ، لكنهم عادةً ما يتوسعون في شرح الأفكار الأساسية للتشابه الذاتي والعلاقة غير العادية التي تربط الكسورية بالفضاء الذي تُضمّن فيه. [ 1 ] [ 5 ] [ 2 ] [ 4 ] [ 38 ]

من النقاط المتفق عليها أن الأنماط الكسورية تتميز بأبعاد كسورية ، ولكن على الرغم من أن هذه الأرقام تُحدد التعقيد (أي تغير التفاصيل بتغير المقياس)، إلا أنها لا تصف بدقة ولا تُحدد تفاصيل كيفية بناء أنماط كسورية معينة. [ 39 ] في عام 1975، عندما صاغ ماندلبروت مصطلح "كسوري"، فعل ذلك للدلالة على جسم يكون بُعده هاوسدورف-بيسيكوفيتش أكبر من بُعده الطوبولوجي . [ 28 ] ومع ذلك، لا يتحقق هذا الشرط في المنحنيات التي تملأ الفراغ، مثل منحنى هيلبرت . [ ملاحظات 2 ]

نظراً للصعوبة التي ينطوي عليها إيجاد تعريف موحد للكسور الهندسية، يرى البعض أنه لا ينبغي تعريفها تعريفاً دقيقاً على الإطلاق. ووفقاً لفالكونر ، ينبغي وصف الكسور الهندسية بشكل عام فقط من خلال مجموعة من الخصائص التالية؛ [ 2 ]

  • التشابه الذاتي، والذي قد يشمل:
  • التشابه الذاتي التام: متطابق على جميع المقاييس، مثل ندفة ثلج كوخ
  • التشابه الذاتي شبه: يقارب نفس النمط على نطاقات مختلفة؛ قد يحتوي على نسخ صغيرة من الشكل الكسري بأكمله في أشكال مشوهة ومتدهورة؛ على سبيل المثال، الأقمار الصناعية لمجموعة ماندلبروت هي تقريبات للمجموعة بأكملها، ولكنها ليست نسخًا دقيقة.
  • التشابه الذاتي الإحصائي: يكرر نمطًا بشكل عشوائي بحيث تُحفظ المقاييس العددية أو الإحصائية عبر المقاييس؛ على سبيل المثال، الأشكال الكسورية المولدة عشوائيًا مثل المثال المعروف لخط ساحل بريطانيا، والذي لا يتوقع المرء أن يجد فيه جزءًا مُقاسًا ومتكررًا بدقة مثل الوحدة المتكررة التي تُعرّف الأشكال الكسورية مثل ندفة ثلج كوخ. [ 4 ]
  • التشابه الذاتي النوعي: كما هو الحال في السلاسل الزمنية [ 13 ]
  • القياس متعدد الأبعاد الكسرية : يتميز بأكثر من بُعد كسري واحد أو قاعدة قياس واحدة

تشكل هذه المعايير، مجتمعةً، إرشاداتٍ لاستبعاد حالاتٍ معينة، مثل تلك التي قد تكون متشابهةً ذاتيًا دون أن تمتلك سماتٍ فركتاليةً نموذجيةً أخرى. فالخط المستقيم، على سبيل المثال، متشابهٌ ذاتيًا ولكنه ليس فركتاليًا لأنه يفتقر إلى التفاصيل، ويمكن وصفه بسهولةٍ بلغةٍ إقليديةٍ دون الحاجة إلى التكرار. [ 1 ] [ 4 ]

عندما قدم ماندلبروت مصطلح "الكسرية"، استبعد نطاق التكبير كخاصية مميزة من أجل استيعاب الكسورية الفيزيائية ذات النطاقات الأكثر محدودية من نظيراتها الرياضية. [ 41 ]

التقنيات الشائعة لتوليد الأشكال الكسورية

نمط التفرع المتشابه ذاتيًا تم نمذجته في الحاسوب باستخدام مبادئ أنظمة L [ 18 ]

يمكن إنشاء صور الأشكال الكسورية بواسطة برامج توليد الأشكال الكسورية . وبسبب تأثير الفراشة ، قد يؤدي تغيير طفيف في متغير واحد إلى نتيجة غير متوقعة .

شكل كسري ناتج عن قاعدة تقسيم فرعي محدودة لوصلة متناوبة

التطبيقات

الأشكال الكسورية المحاكاة

فن الفراكتال المصنوع من مجموعة جوليا

تمت محاكاة الأنماط الكسورية على نطاق واسع، وإن كان ذلك ضمن نطاق محدود من المقاييس بدلاً من نطاق لا نهائي، وذلك بسبب القيود العملية للزمان والمكان. قد تحاكي النماذج كسورًا نظرية أو ظواهر طبيعية ذات خصائص كسورية . قد تكون مخرجات عملية النمذجة عبارة عن رسومات فنية عالية الجودة، أو مخرجات للبحث، أو معايير لتحليل الكسور . ترد بعض التطبيقات المحددة للكسور في مجال التكنولوجيا في موضع آخر . يُشار عادةً إلى الصور وغيرها من مخرجات النمذجة على أنها "كسور" حتى لو لم تكن لها خصائص كسورية دقيقة، كما هو الحال عند إمكانية تكبير منطقة في صورة الكسر لا تُظهر أي خصائص كسورية. كذلك، قد تتضمن هذه المخرجات عيوبًا حسابية أو عرضية لا تُعد من خصائص الكسور الحقيقية.

قد تكون الأشكال الكسورية المُنمذجة أصواتًا، [ 14 ] أو صورًا رقمية، أو أنماطًا كهروكيميائية، أو إيقاعات يومية ، [ 47 ] وما إلى ذلك. وقد أُعيد بناء الأنماط الكسورية في الفضاء المادي ثلاثي الأبعاد [ 21 ] : 10، وافتراضيًا، وهو ما يُطلق عليه غالبًا نمذجة " الحاسوب ". [ 44 ] تُنشأ نماذج الأشكال الكسورية عمومًا باستخدام برامج توليد الأشكال الكسورية التي تُطبق تقنيات مثل تلك المذكورة أعلاه. [ 4 ] [ 13 ] [ 21 ] على سبيل المثال، يمكن نمذجة الأشجار، والسراخس، وخلايا الجهاز العصبي، [ 18 ] والأوعية الدموية والرئوية، [ 44 ] وغيرها من الأنماط المتفرعة في الطبيعة على الحاسوب باستخدام الخوارزميات التكرارية وتقنيات أنظمة L. [ 18 ]

تتجلى الطبيعة التكرارية لبعض الأنماط في أمثلة محددة؛ ففرع من شجرة أو سعفة من سرخس ما هو إلا نسخة مصغرة من الكل: ليست مطابقة تمامًا، ولكنها متشابهة في طبيعتها. وبالمثل، استُخدمت الأشكال الكسورية العشوائية لوصف/إنشاء العديد من الأجسام غير المنتظمة للغاية في العالم الحقيقي، مثل السواحل والجبال. ومن بين قيود نمذجة الأشكال الكسورية أن تشابه نموذج كسري مع ظاهرة طبيعية لا يثبت أن الظاهرة التي يتم نمذجتها تتشكل بعملية مشابهة لخوارزميات النمذجة.

ظواهر طبيعية ذات خصائص كسورية

تُظهر الأشكال الكسورية التقريبية الموجودة في الطبيعة تشابهًا ذاتيًا على نطاقات واسعة، ولكنها محدودة. فعلى سبيل المثال، تُستخدم العلاقة بين الأشكال الكسورية وأوراق الأشجار حاليًا لتحديد كمية الكربون الموجودة في الأشجار. [ 48 ] ومن الظواهر المعروفة بامتلاكها خصائص كسورية ما يلي:

الفراكتلات في بيولوجيا الخلية

تظهر الأشكال الكسورية غالبًا في عالم الكائنات الحية، حيث تنشأ من خلال عمليات التفرع وتكوين أنماط معقدة أخرى. وقد أظهر ريتشارد تايلور وزملاؤه أن التفرعات الشجرية للخلايا العصبية تُشكّل أنماطًا كسورية. [ 73 ] كما أظهر إيان وونغ وزملاؤه أن الخلايا المهاجرة قادرة على تشكيل أشكال كسورية من خلال التكتل والتفرع . [ 74 ] تعمل الخلايا العصبية من خلال عمليات على سطح الخلية، وتزداد هذه الظواهر بشكل كبير مع زيادة نسبة مساحة السطح إلى الحجم. ونتيجة لذلك، غالبًا ما تُلاحظ الخلايا العصبية وهي تُشكّل أنماطًا كسورية. [ 75 ] تُعدّ هذه العمليات بالغة الأهمية في وظائف الخلايا وفي مختلف الأمراض . [ 76 ]

تتجمع العديد من التراكيب الخلوية الفرعية لتشكل أنماطًا كسورية. وقد أظهر دييغو كرابف أن خيوط الأكتين في الخلايا البشرية تتجمع عبر عمليات التفرع لتشكل أنماطًا كسورية. [ 77 ] وبالمثل، أظهر ماتياس فايس أن الشبكة الإندوبلازمية تُظهر خصائص كسورية. [ 78 ] ويُفهم حاليًا أن الأنماط الكسورية منتشرة في كل مكان في بيولوجيا الخلية، بدءًا من البروتينات ، مرورًا بالعضيات ، وصولًا إلى الخلايا بأكملها.

في الأعمال الإبداعية

يُستخدم التعبيرية الكسورية لتمييز الفن الكسوري الذي يُنتجه الفنانون مباشرةً عن الفن الكسوري الذي يُنتج باستخدام الرياضيات و/أو الحواسيب. [ 79 ]

منذ عام ١٩٩٩، أجرت العديد من المجموعات العلمية تحليلًا فراكتاليًا على أكثر من ٥٠ لوحة رسمها جاكسون بولوك ، وذلك بسكب الطلاء مباشرةً على لوحات أفقية، انظر على سبيل المثال [ ٨٠ ] [ ٨١ ] [ ٨٢ ] [ ٨٣ ] [ ٨٤ ] [ ٨٥ ] [ ٨٦ ] [ ٨٧ ] [ ٨٨ ] [ ٨٩ ] [ ٩٠ ] [ ٩١ ] [ ٩٢ ] . في عام ٢٠١٥، استُخدم التحليل الفراكتالي لتحقيق نسبة نجاح بلغت ٩٣٪ في التمييز بين لوحات بولوك الأصلية والمقلدة. [ ٩٣ ] وفي دراسة أُجريت عام ٢٠٢٤، استُخدمت تقنية الذكاء الاصطناعي القائمة على الفراكتلات لتحقيق نسبة نجاح بلغت ٩٩٪. [ ٩٤ ]

تُعدّ تقنية "ديكالكومانيا" ، التي استخدمها فنانون مثل ماكس إرنست ، قادرة على إنتاج أنماط شبيهة بالكسور الهندسية. [ 95 ] وتتضمن هذه التقنية ضغط الطلاء بين سطحين ثم فصلهما.

أشار عالم التحكم الآلي رون إغلاش إلى أن الهندسة الكسورية والرياضيات الكسورية شائعة في الفن الأفريقي ، والألعاب، والتنجيم ، والتجارة، والعمارة. تظهر المنازل الدائرية في دوائر متداخلة، والمنازل المستطيلة في مستطيلات متداخلة، وهكذا. ويمكن إيجاد أنماط القياس هذه في المنسوجات الأفريقية، والمنحوتات، وحتى في تسريحات الشعر الأفريقية. [ 24 ] [ 96 ] كما أشار هوكي سيتونغكير إلى خصائص مماثلة في الفن الإندونيسي التقليدي، الباتيك ، والزخارف الموجودة في المنازل التقليدية. [ 97 ] [ 98 ]

ناقش عالم الرياضيات العرقية رون إغلاش التصميم المخطط لمدينة بنين باستخدام الأشكال الكسورية كأساس، ليس فقط في المدينة نفسها والقرى، بل حتى في غرف المنازل. وعلق قائلاً: "عندما وصل الأوروبيون إلى أفريقيا لأول مرة، اعتبروا العمارة غير منظمة للغاية، وبالتالي بدائية. لم يخطر ببالهم قط أن الأفارقة ربما كانوا يستخدمون شكلاً من أشكال الرياضيات لم يكتشفوه بعد." [ 99 ]

في مقابلة أجراها مايكل سيلفربلات عام 1996 ، أوضح ديفيد فوستر والاس أن بنية المسودة الأولى لرواية " Infinite Jest" التي قدمها لمحرره مايكل بيتش كانت مستوحاة من الأشكال الكسورية، وتحديداً مثلث سيربينسكي (المعروف أيضاً باسم حشوة سيربينسكي)، لكن الرواية المحررة "أشبه بحشوة سيربينسكي غير متماثلة". [ 23 ]

تحتوي بعض أعمال الفنان الهولندي إم سي إيشر ، مثل "دائرة الحد الثالث" ، على أشكال تتكرر إلى ما لا نهاية وتصبح أصغر فأصغر كلما اقتربت من الحواف، بنمط سيبدو دائمًا كما هو عند التكبير.

تُعدّ الأشكال الهندسية المتشابهة مع الطبيعة أنماطًا مصممة لتحفيز الفوائد الصحية والنفسية المرتبطة بالتعرض لمناظر الطبيعة. [ 100 ] وتشمل هذه الفوائد تقليل التوتر وتعزيز القدرات الإدراكية. يدمج المصممون والمهندسون المعماريون هذه الأشكال في البيئة المبنية لمواجهة حقيقة أن الناس يقضون 92% من وقتهم في الأماكن المغلقة بعيدًا عن الطبيعة.

تُعد كنيسة فراكتال في مستشفى الجامعة في غراتس، النمسا، التي صممتها شركة INNOCAD للهندسة المعمارية، مثالاً بارزاً وحائزة على جائزة أفضل مسابقة لعام 2025 من الرابطة الدولية للتصميم الداخلي (IIDA) وجائزة أفضل تصميم داخلي في العالم لعام 2025 في مهرجان العمارة العالمي (WAF).

الاستجابات الفيزيولوجية: الطلاقة الكسورية

يُعدّ نموذج الطلاقة الكسورية نموذجًا في علم الأعصاب ، يقترح أن الأنظمة البصرية لدى الإنسان، من خلال التعرض للمناظر الطبيعية الكسورية، قد تكيّفت لمعالجة الأشكال الكسورية بكفاءة وسهولة. ويحدث هذا التكيّف في مراحل عديدة من النظام البصري، بدءًا من حركة العين وصولًا إلى تنشيط مناطق الدماغ. [ 101 ] تضع الطلاقة المشاهد في "منطقة راحة"، مما يُحفّز تجربة جمالية. وقد أظهرت تجارب علم الأعصاب أن لوحات جاكسون بولوك الكسورية تُثير نفس الاستجابات الفسيولوجية الإيجابية لدى المُشاهد كما تفعل الأشكال الكسورية الطبيعية والرياضية. [ 102 ] يُبيّن هذا أن التعبيرية الكسورية مرتبطة بالطلاقة الكسورية، إذ تُحفّز فنانين مثل بولوك على استخدام التعبيرية الكسورية في فنهم لجذب الجمهور.

يبدو أن البشر متكيفون بشكل خاص لمعالجة الأنماط الكسورية ذات الأبعاد الكسورية التي تتراوح بين 1.3 و1.5. [ 103 ] فعندما ينظر البشر إلى أنماط كسورية ذات أبعاد كسورية ضمن هذا النطاق، فإن هذه الأنماط الكسورية تقلل من الإجهاد الفسيولوجي وتعزز القدرات المعرفية. [ 104 ]

تطبيقات في التكنولوجيا

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ^ الورقة الأصلية، ليفي، بول (1938). "Les Courbes Planes ou gauches et les Surfaces composées de parts semblables au tout". مجلة المدرسة المتعددة التقنيات : 227 – 247 ، 249 – 291.، وقد تمت ترجمتها في إدغار ، الصفحات 181-239.
  2. ↑ إن تطبيق منحنى هيلبرت ليس تماثلاً شكلياً ، لذا فهو لا يحافظ على البعد الطوبولوجي. البعد الطوبولوجي وبُعد هاوسدورف لصورة تطبيق هيلبرت في R² كلاهما يساوي 2. مع ذلك، لاحظ أن البعد الطوبولوجي لمخطط تطبيق هيلبرت (مجموعة في R³ ) يساوي 1 .

مراجع

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ماندلبروت، بينوا ب. (1983). الهندسة الكسورية للطبيعة . ماكميلان. ISBN 978-0-7167-1186-5.
  2. 1 2 3 4 5 فالكونر، كينيث (2003). الهندسة الكسورية: الأسس الرياضية والتطبيقات . جون وايلي وأولاده. 25. ISBN 978-0-470-84862-3.
  3. 1 2 بريغز، جون (1992). الفراكتلات: أنماط الفوضى . لندن: تيمز وهدسون. ص 148. ISBN  978-0-500-27693-8.
  4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 فيتشيك، تاماس (1992). ظاهرة النمو الكسري . سنغافورة / نيو جيرسي: العالم العلمي. ص 31، 139 – 146. ISBN  978-981-02-0668-0.
  5. 1 2 3 غوييه، جان فرانسوا (1996). الفيزياء والبنى الكسورية . باريس/نيويورك: ماسون سبرينغر. ISBN 978-0-387-94153-0.
  6. 1 2 3 ماندلبروت، بينوا ب. (2004). الفركتلات والفوضى . برلين: سبرينغر. ص. 38. ردمك  978-0-387-20158-0المجموعة الكسورية هي مجموعة يكون فيها البعد الكسوري (هاوسدورف-بيسيكوفيتش) أكبر بكثير من البعد الطوبولوجي .
  7. ↑ سيغال، إس إل (يونيو 1978). "مثال ريمان على دالة متصلة 'غير قابلة للتفاضل' (تابع)". مجلة الرياضيات الذكية . 1 (2): 81-82 . doi : 10.1007/BF03023065 . S2CID 120037858 . 
  8. 1 2 3 4 5 6 7 8 إدغار، جيرالد (2004). كلاسيكيات في الفراكتلات . بولدر، كولورادو: ويستفيو برس. ISBN 978-0-8133-4153-8.
  9. ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ تروشيه، هولي (٢٠٠٩). "تاريخ الهندسة الكسورية" . تاريخ الرياضيات في ماكتيوتور . مؤرشف من الأصل في ١٢ مارس ٢٠١٢.
  10. ↑ ماندلبروت، بينوا (8 يوليو 2013). "محاضرة على مدار الساعة حول الفراكتلات" . جوائز إيغ نوبل 2006. بحث غير محتمل. مؤرشف من الأصل في 11 ديسمبر 2021.
  11. ↑ ماندلبروت، ب.ب.: الهندسة الكسورية للطبيعة. دبليو إتش فريمان وشركاه، نيويورك (1982)؛ ص. 15.
  12. ↑ إدغار، جيرالد (2007). القياس، والطوبولوجيا، والهندسة الكسورية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 7. ISBN  978-0-387-74749-1.
  13. 1 2 3 بيترز، إدغار (1996). الفوضى والنظام في أسواق رأس المال: نظرة جديدة على الدورات والأسعار وتقلبات السوق . نيويورك: وايلي. ISBN 978-0-471-13938-6.
  14. 1 2 براذرز، هارلان ج. (2007). "القياس الهيكلي في متتالية باخ للتشيلو رقم 3". الفراكتلات . 15 (1): 89-95 . doi : 10.1142/S0218348X0700337X .
  15. تان ، جان أوزان؛ كوهين، مايكل أ.؛ إيكبرغ، دواين ل.؛ تايلور، ج. أندرو (2009). " الخصائص الكسورية لتقلبات فترة القلب البشري: الآثار الفسيولوجية والمنهجية" . مجلة علم وظائف الأعضاء . 587 (15): 3929-41 . doi : 10.1113/jphysiol.2009.169219 . PMC 2746620. PMID 19528254 .  
  16. 1 2 ليو، جينغ ز.؛ تشانغ، لو د.؛ يو، غوانغ هـ. (2003). "البعد الكسري في المخيخ البشري المقاس بالتصوير بالرنين المغناطيسي" . مجلة الفيزياء الحيوية . 85 (6): 4041-4046 . Bibcode : 2003BpJ....85.4041L . doi : 10.1016/S0006-3495(03)74817-6 . PMC 1303704. PMID 14645092 .  
  17. 1 2 كاربرين، أودري ل.؛ جيلينك، هربرت ف.؛ بوكان، ألاستير م. (2008). "تحليل عدّ المربعات لأشكال الخلايا الدبقية الصغيرة في الفصام ومرض الزهايمر والاضطراب العاطفي". الفراكتلات . 16 (2): 103. doi : 10.1142/S0218348X08003880 .
  18. 1 2 3 4 5 جيلينك، هربرت ف.؛ كاربرين، أودري؛ كورنفورث، ديفيد؛ سيزار، روبرتو؛ لياندرو، خورخي دي جيسوس غوميز (2002). "MicroMod - نهج أنظمة L للنمذجة العصبية". في: ساركير، روحول (محرر). وقائع ورشة العمل: ورشة العمل الأسترالية اليابانية المشتركة السادسة حول الأنظمة الذكية والتطورية، دار الجامعة، الجامعة الوطنية الأسترالية . جامعة نيو ساوث ويلز. ISBN 978-0-7317-0505-4OCLC 224846454. تاريخ الاسترجاع: 3 فبراير 2012. مكان الحدث: كانبرا، أستراليا 
  19. 1 2 هو، شوغينغ؛ تشنغ، تشيومينغ؛ وانغ، لي؛ شي، شويون (2012). "الخصائص متعددة الأبعاد لأسعار الأراضي السكنية الحضرية في المكان والزمان". الجغرافيا التطبيقية . 34 : 161-170 . Bibcode : 2012AppGe..34..161H . doi : 10.1016/j.apgeog.2011.10.016 .
  20. 1 2 كاربرين، أودري؛ جيلينك، هربرت ف.؛ لياندرو، خورخي دي جيسوس غوميز؛ سواريس، جواو ف.ب.؛ سيزار الابن، روبرتو م.؛ لوكي، آلان (2008). "الكشف الآلي عن اعتلال الشبكية التكاثري في الممارسة السريرية" . طب العيون السريري . 2 (1): 109-122 . doi : 10.2147/OPTH.S1579 . PMC 2698675. PMID 19668394 .  
  21. 1 2 3 4 لوسا، غابرييل أ.؛ نوننماخر، ثيو ف. (2005). الفراكتلات في علم الأحياء والطب . سبرينغر. ISBN 978-3-7643-7172-2.
  22. 1 2 3 فانوتشي، باولا ؛ ليوني، لورينزو (2007). "الخصائص البنيوية لانفصال كوستاريكا: دليل على نبضات السوائل الناتجة عن الزلازل". رسائل علوم الأرض والكواكب . 262 ( 3-4 ): 413. Bibcode : 2007E & PSL.262..413V . doi : 10.1016/j.epsl.2007.07.056 . hdl : 2158/257208 . S2CID 128467785 . 
  23. 1 2 والاس، ديفيد فوستر (4 أغسطس 2006). "قارئ نهم على محطة KCRW" . Kcrw.com. مؤرشف من الأصل في 11 نوفمبر 2010. تم الاطلاع عليه في 17 أكتوبر 2010 .
  24. 1 2 إغلاش، رون (1999). "الكسور الأفريقية: الحوسبة الحديثة والتصميم الأصلي" . نيو برونزويك: مطبعة جامعة روتجرز. مؤرشف من الأصل في 3 يناير 2018. تم الاسترجاع في 17 أكتوبر 2010 .
  25. 1 2 أوستوالد، مايكل جيه، وفون، جوزفين (2016) البعد الكسري للهندسة المعمارية ، بيرهاوزر، بازل. doi : 10.1007/978-3-319-32426-5 .
  26. ↑ بارانجر، مايكل. "الفوضى والتعقيد والإنتروبيا: محاضرة في الفيزياء لغير الفيزيائيين" (PDF) .
  27. ^ بينوا ماندلبرو، Objets فركتلات ، 1975، ص. 4
  28. 1 2 3 4 ألبرز، دونالد جيه؛ ألكسندرسون، جيرالد إل. (2008). "بينوا ماندلبروت: بكلماته الخاصة". شخصيات رياضية: نبذات تعريفية ومقابلات . ويليسلي، ماساتشوستس: إيه كيه بيترز. ص 214. ISBN  978-1-56881-340-0.
  29. ↑ "كسورية" . قاموس أكسفورد الإنجليزي ( الطبعة الإلكترونية). مطبعة جامعة أكسفورد. (يشترط الاشتراك أو عضوية المؤسسة المشاركة .)
  30. 1 2 3 4 غوردون، نايجل (2000). مقدمة في الهندسة الكسورية . دوكسفورد: أيكون. ص 71. ISBN  978-1-84046-123-7.
  31. ↑ إغلاش، رون (1999). الأشكال الكسورية الأفريقية: الحوسبة الحديثة والتصميم الأصيل . مطبعة جامعة روتجرز. ISBN 978-0-8135-2613-3.
  32. 1 2 بيكوفر، كليفورد أ. (2009). كتاب الرياضيات: من فيثاغورس إلى البعد 57، 250 معلمًا بارزًا في تاريخ الرياضيات . ستيرلينغ. ص 310. ISBN  978-1-4027-5796-9.
  33. ↑ "الهندسة الكسورية" . www-history.mcs.st-and.ac.uk . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 أبريل 2017 .
  34. ↑ ماندلبروت، ب . (1967). "ما هو طول ساحل بريطانيا؟" . مجلة ساينس . 156 (3775): 636-638 . رمز Bibcode : 1967Sci...156..636M . doi : 10.1126/science.156.3775.636 . PMID 17837158. S2CID 15662830. مؤرشف من الأصل في 19 أكتوبر 2021. تم الاطلاع عليه في 31 أكتوبر 2020 .  
  35. ↑ باتي، مايكل (4 أبريل 1985). "الكسور الهندسية - الهندسة بين الأبعاد". مجلة نيو ساينتست . 105 (1450): 31.
  36. ↑ روس، جون سي. (1994). الأسطح الكسورية . المجلد 1. سبرينغر. ص 1. ISBN   978-0-306-44702-0تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 فبراير 2011 .
  37. ↑ "فول ليبر، فيلم رسوم متحركة مذهل من عام 1980" . kottke.org . 29 يوليو 2009. تم الاطلاع عليه في 12 فبراير 2023 .
  38. ↑ إدغار، جيرالد (2008). القياس، والطوبولوجيا، والهندسة الكسورية . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ص 1. ISBN  978-0-387-74748-4.
  39. ↑ كاربرين، أودري (2004). تعريف مورفولوجيا الخلايا الدبقية الصغيرة: الشكل والوظيفة والبعد الكسري . جامعة تشارلز ستورت. doi : 10.13140/2.1.2815.9048 .
  40. ↑ سبنسر، جون؛ توماس، مايكل إس سي؛ ماكليلاند، جيمس إل. (2009). نحو نظرية موحدة للتنمية: إعادة النظر في نظرية الاتصالية ونظرية الأنظمة الديناميكية . أكسفورد/نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-530059-8.
  41. ↑ بي بي ماندلبروت، "الهندسة الكسورية للطبيعة" نيويورك: دبليو إتش فريمان وشركاه 1982
  42. ↑ فرام، أنجوس (3 أغسطس 1998). "أنظمة الدوال المتكررة". في: بيكوفر، كليفورد أ. (محرر). الفوضى والكسور: رحلة في الرسومات الحاسوبية: تجميع لعشر سنوات من الأبحاث المتقدمة . إلسيفير. ص 349-351 . ISBN  978-0-444-50002-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 فبراير 2012 .
  43. ↑ "سجاد هافرمان" . وولفرام ألفا . تم الاسترجاع في 18 أكتوبر 2012 .
  44. 1 2 3 4 هان، هورست ك.؛ جورج، مانفريد؛ بيتجن، هاينز-أوتو (2005). "الجوانب الكسورية للتحسين البنائي ثلاثي الأبعاد للأوعية الدموية". في لوسا، غابرييل أ.؛ نوننماخر، ثيو ف. (محرران). الكسور في علم الأحياء والطب . سبرينغر. ص 55-66 . ISBN  978-3-7643-7172-2.
  45. ↑ جيه دبليو كانون، دبليو جيه فلويد، دبليو آر باري. قواعد التقسيم الجزئي المحدود . الهندسة المطابقة والديناميكا، المجلد 5 (2001)، الصفحات 153-196.
  46. ↑ كاربون، أليساندرا ؛ غروموف، ميخائيل ؛ بروسينكيويتش، برزيميسلاف (2000). تكوين الأنماط في علم الأحياء والرؤية والديناميات . وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-02-3792-9.
  47. ↑ فتح الله شيخ، حسن م. (2011). "البعد الكسري للساعة البيولوجية لذبابة الفاكهة". الكسور . 19 (4): 423-430 . doi : 10.1142/S0218348X11005476 .
  48. ↑ "مطاردة الأبعاد الخفية". نوفا . بي بي إس. دبليو بي إم بي - ماريلاند. 28 أكتوبر 2008.
  49. ↑ صادق، ساناز (2017). "غشاء البلازما مُقسّم بواسطة شبكة أكتين قشرية ذاتية التشابه" . مجلة Physical Review X. 7 ( 1) 011031. arXiv : 1702.03997 . Bibcode : 2017PhRvX...7a1031S . doi : 10.1103 /PhysRevX.7.011031 . PMC 5500227. PMID 28690919 .  
  50. ↑ فالكونر، كينيث (2013). الفراكتلات، مقدمة موجزة جداً . مطبعة جامعة أكسفورد.
  51. ↑ لوفجوي ، شون (1982). "علاقة المساحة بالمحيط لمساحات المطر والسحب". مجلة ساينس . 216 (4542): 185-187 . Bibcode : 1982Sci...216..185L . doi : 10.1126/science.216.4542.185 . PMID 17736252. S2CID 32255821 .  
  52. ↑ بوفيتا، ج.؛ سيلاني، أ.؛ ديزاني، د.؛ سيمينارا، أ. (2008). "ما مدى تعرج ساحل بريطانيا؟ الثبات المطابق للشواطئ الصخرية" . رسائل البحوث الجيوفيزيائية . 35 (3) 2007GL033093. arXiv : 0712.3076 . Bibcode : 2008GeoRL..35.3615B . doi : 10.1029/2007GL033093 . ISSN 0094-8276 . 
  53. ↑ كانون، جيمس دبليو؛ فلويد، ويليام جيه؛ بيري، والتر آر (2000). "نمو البلورات، نمو الخلايا البيولوجية والهندسة" . في: كاربون، أليساندرا؛ غروموف، ميخائيل؛ بروسينكيويتش، برزيميسلاف (محررون). تكوين الأنماط في علم الأحياء، الرؤية والديناميكا . وورلد ساينتيفيك. ص 65-82 . ISBN  978-981-02-3792-9.
  54. ↑ سينغ، تشامكور؛ مازا، ماركو (2019)، "الكهرباء في الغازات الحبيبية تؤدي إلى نمو فركتلي مقيد"، التقارير العلمية ، 9 (1)، مجموعة نيتشر للنشر: 9049، arXiv : 1812.06073 ، Bibcode : 2019NatSR...9.9049S ، doi : 10.1038/s41598-019-45447-x ، PMC 6588598 ، PMID 31227758  
  55. ↑ سورنيت، ديدييه (2004). الظواهر الحرجة في العلوم الطبيعية: الفوضى، والكسور، والتنظيم الذاتي، والاضطراب: مفاهيم وأدوات . سبرينغر. ص 128-140 . ISBN  978-3-540-40754-6.
  56. 1 2 سويت، د.؛ أوت، إ.؛ يورك، ج. أ. (1999)، "الطوبولوجيا المعقدة في التشتت الفوضوي: ملاحظة معملية"، نيتشر ، 399 (6734): 315، Bibcode : 1999Natur.399..315S ، doi : 10.1038/20573 ، S2CID 4361904 
  57. ↑ د. سيكيل؛ ب. كايل؛ إ. ليندمارك؛ ب. بيستروم (2021). "علاقة القياس الفركتالي لمصبات الأنهار في البحيرات" . رسائل البحوث الجيوفيزيائية . 48 (9) e2021GL093366. Bibcode : 2021GeoRL..4893366S . doi : 10.1029/2021GL093366 . ISSN 0094-8276 . S2CID 235508504 .  
  58. ↑ د. سيكيل؛ إم. إل. بيس؛ إل. جيه. ترانفيك؛ سي. فيربورتر (2013). "نهج قائم على الفراكتلات لتوزيع أحجام البحيرات" (ملف PDF) . رسائل البحوث الجيوفيزيائية . 40 (3): 517-521 . Bibcode : 2013GeoRL..40..517S . doi : 10.1002/grl.50139 . S2CID 14482711 . 
  59. ↑ بي بي كايل؛ دي إيه سيكيل (2016). "توزيع أحجام بحيرات الأرض" . التقارير العلمية . 6 29633. Bibcode : 2016NatSR...629633C . doi : 10.1038/ srep29633 . PMC 4937396. PMID 27388607 .  
  60. ↑ أديسون، بول س. (1997). الفراكتلات والفوضى: دورة مصورة . مطبعة سي آر سي. الصفحات 44-46 . ISBN  978-0-7503-0400-9تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 فبراير 2011 .
  61. ↑ إنرايت، ماثيو ب.؛ لايتنر، ديفيد م. (27 يناير 2005). "البعد الفركتلي للكتلة وكثافة البروتينات" . مجلة Physical Review E. 71 ( 1) 011912. Bibcode : 2005PhRvE..71a1912E . doi : 10.1103/PhysRevE.71.011912 . PMID 15697635 . 
  62. ^ سندكر، فلوريدا؛ لو، YK. هيميرل، T.؛ بون، S.؛ بيرسون، LJ. ميس، C.-N.؛ سادوسكا، دبليو؛ باكزيا، ن.؛ نوسباوم، إي. سانشيز أولموس، م. ديل سي؛ فورشهامر، ك.؛ شندلر، د.؛ إرب، تي جيه؛ بينيش، JLP؛ ماركلوند، على سبيل المثال؛ بانج، ج. شولر، JM. هوشبيرج، GKA (2024). "ظهور الأشكال الهندسية الكسورية في تطور الإنزيم الأيضي" . طبيعة . 628 (8009): 894– 900. بيب كود : 2024Natur.628..894S . دوى : 10.1038/s41586-024-07287-2 . PMC 11041685 . PMID 38600380 .  
  63. ↑ توماس ف. فارلي؛ روبن كارهارت-هاريس؛ ليور روزمان؛ ديفيد ك. مينون؛ إيمانويل أ. ستاماتاكيس (2020). "تزيد العقاقير المهلوسة السيروتونينية LSD والسيلوسيبين من البُعد الكسري لنشاط قشرة الدماغ في المجالات المكانية والزمانية" . NeuroImage . 220 117049. doi : 10.1016/j.neuroimage.2020.117049 . PMID 32619708 . 
  64. ↑ تاكيدا، ت؛ إيشيكاوا، أ؛ أوهتومو، ك؛ كوباياشي، ي؛ ماتسوكا، ت (فبراير 1992). "البعد الكسري للشجرة التغصنية لخلايا بوركنجي المخيخية خلال التطور الفردي والتطور السلالي". أبحاث علم الأعصاب . 13 (1): 19-31 . doi : 10.1016/0168-0102(92)90031-7 . PMID 1314350. S2CID 4158401 .  
  65. ↑ تاكاياسو ، هـ. (1990). الفراكتلات في العلوم الفيزيائية . مانشستر: مطبعة جامعة مانشستر. ص 36. ISBN  978-0-7190-3434-3.
  66. ↑ جون، لي؛ أوستوجا-ستارزيفسكي، مارتن (1 أبريل 2015). "حواف حلقات زحل كسورية" . SpringerPlus . 4، 158. doi : 10.1186/s40064-015-0926-6 . PMC 4392038. PMID 25883885 .  
  67. ^ تاربوتون ، ديفيد جي. حمالات الصدر ، رافائيل إل. رودريجيز إيتوربي، إجناسيو (1988). “الطبيعة الكسورية لشبكات الأنهار”. بحوث الموارد المائية . 24 (8): 1317. بيب كود : 1988WRR....24.1317T . دوى : 10.1029/WR024i008p01317 .
  68. ↑ ماير، إيف؛ روك، سيلفي (1993). التقدم في تحليل الموجات الصغيرة وتطبيقاتها: وقائع المؤتمر الدولي "الموجات الصغيرة وتطبيقاتها"، تولوز، فرنسا - يونيو 1992. أتلانتيكا سيغييه فرونتيرز. ص 25. ISBN  978-2-86332-130-0تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 فبراير 2011 .
  69. ↑ أوزهوفان إم آي، ديميترييف آي إي، باتيوخنوفا أو جي البنية الكسورية لمسام التربة الطينية. الطاقة الذرية، 74، 241-243 (1993).
  70. ↑ سرينيفاسان، ك. ر.؛ مينيفو، س. (1986). "الأوجه الكسورية للاضطراب". مجلة ميكانيكا الموائع . 173 : 357-386 . Bibcode : 1986JFM...173..357S . doi : 10.1017/S0022112086001209 . S2CID 55578215 . 
  71. ↑ دي سيلفا، سي إم؛ فيليب، جيه؛ تشوهان، كيه؛ مينيفو، سي؛ ماروسيتش، آي. (2013). "الهندسة متعددة المقاييس وتوسيع نطاق الواجهة المضطربة-غير المضطربة في طبقات الحدود ذات عدد رينولدز العالي". مجلة Physical Review Letters ، 111 (6039): 192-196 . Bibcode : 2011Sci...333..192A . doi : 10.1126/science.1203223 . PMID: 21737736. S2CID : 22560587 .  
  72. ↑ ماندلبروت، بينوا ب (1978). "الهندسة الكسورية للأشجار وغيرها من الظواهر الطبيعية". الاحتمالية الهندسية والهياكل البيولوجية: الذكرى المئوية الثانية لبوفون: وقائع ندوة بوفون المئوية الثانية حول الاحتمالية الهندسية، وتحليل الصور، وعلم القياس الرياضي، وأهميتها في تحديد الهياكل البيولوجية : 235-249 .
  73. ↑ JH Smith, C. Rowland, B. Harland, S. Moslehi, K. Schobert, RM Montgomery, WJ Watterson, J. Dalrymple-Alford, RP Taylor, “How Neurons Exploit Fractal Geometry to Maximize Physical Connectivity”, Scientific Reports, 11, 2332 (2021)
  74. ↑ ليجيت، سوزان إي.؛ نيرونها، زاكاري جيه.؛ بهاسكار، دانانجاي؛ سيم، جيا يون؛ بيرديكاري، ثيودورا ميرتو؛ وونغ، إيان واي. (27 أغسطس/آب 2019). "تجمع خلايا الظهارة الثديية المحدود الحركة في تجمعات شبيهة بالكسور" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 116 (35): 17298-17306 . Bibcode : 2019PNAS..11617298L . doi : 10.1073/pnas.1905958116 . ISSN 0027-8424 . PMC 6717304. PMID 31413194 .   
  75. ↑ جيلينك، هربرت ف؛ فرنانديز، إدواردو (يونيو 1998). "الخلايا العصبية والكسور: ما مدى موثوقية وفائدة حسابات الأبعاد الكسورية؟" . مجلة أساليب علم الأعصاب . 81 ( 1-2 ): 9-18 . doi : 10.1016/S0165-0270(98)00021-1 . PMID 9696304. S2CID 3811866 .  
  76. ↑ كروس، سيمون س. (1997). "الكسور في علم الأمراض" . مجلة علم الأمراض . 182 (1): 1-8 . doi : 10.1002/(SICI)1096-9896(199705)182:1 < 1::AID - PATH808 > 3.0.CO ; 2-B . ISSN 1096-9896 . PMID 9227334. S2CID 23274235 .   
  77. ↑ صادق، ساناز؛ هيغينز، جيني ل.؛ مانيون، باتريك س.؛ تامكون، مايكل م.؛ كرابف، دييغو (9 مارس 2017). "غشاء البلازما مُقسّم بواسطة شبكة أكتين قشرية ذاتية التشابه" . مجلة Physical Review X. 7 ( 1) 011031. arXiv : 1702.03997 . Bibcode : 2017PhRvX...7a1031S . doi : 10.1103/ PhysRevX.7.011031 . ISSN 2160-3308 . PMC 5500227. PMID 28690919 .   
  78. ↑ سبيكنر، كونستانتين؛ ستادلر، لورنز؛ فايس، ماتياس (9 يوليو 2018). "ديناميكيات شاذة لشبكة الإندوبلازم" . مجلة Physical Review E. 98 ( 1) 012406. Bibcode : 2018PhRvE..98a2406S . doi : 10.1103/PhysRevE.98.012406 . ISSN 2470-0045 . PMID 30110830. S2CID 52010780 .   
  79. ↑ RPTaylor, AP Micolich and D. Jonas, Fractal Expressionism, Physics World, 25, October 1999.
  80. ↑ تايلور، ريتشارد ب.، آدم ب. ميكوليتش، وديفيد جوناس. "التحليل الفركتلي للوحات بولوك بتقنية التنقيط". مجلة نيتشر 399.6735 (1999): 422. مطبوع.
  81. ↑ JR Mureika, CC Dyer, GC Cupchik, "Multifactal Structure in Nonrepresentational Art", Physical Review E, vol. 72, 046101-1-15 (2005).
  82. ↑ C. Redies, J. Hasenstein and J. Denzler, "إحصائيات الصور الشبيهة بالكسور في الفن البصري: مشابهة للمشاهد الطبيعية"، الرؤية المكانية، المجلد 21، 137-148 (2007).
  83. ↑ S. Lee, S. Olsen and B. Gooch, “Simulating and Analyzing Jackson Pollock's Paintings” Journal of Mathematics and the Arts, vol.1, 73-83 (2007).
  84. ↑ J. Alvarez-Ramirez, C. Ibarra-Valdez, E. Rodriguez and L. Dagdug, "1/f-Noise Structure in Pollock's Drip Paintings", Physica A, vol. 387, 281-295 (2008).
  85. ↑ دي جي جراهام ودي جي فيلد، "الاختلافات في الكثافة للفن التمثيلي والتجريدي، وللفن من نصفي الكرة الأرضية الشرقي والغربي" الإدراك، المجلد 37، 1341-1352 (2008).
  86. ↑ J. Alvarez-Ramirez, JC Echeverria, E. Rodriguez "أداء طريقة تحليل R/S عالية الأبعاد لتقدير أس هيرست" Physica A، المجلد 387، 6452-6462 (2008).
  87. ↑ J. Coddington, J. Elton, D. Rockmore and Y. Wang, “Multi-fractal Analysis and Authentication of Jackson Pollock Paintings”, Proceedings SPIE, vol. 6810, 68100F 1-12 (2008).
  88. ↑ M. Al-Ayyoub, MT Irfan and DG Stork, “Boosting Multi-Feature Visual Texture Classifiers for the Authentification of Jackson Pollock's Drip Paintings”, SPIE procedures on Computer Vision and Image Analysis of Art II, vol. 7869, 78690H (2009).
  89. ↑ JR Mureika و RP Taylor، "The Abstract Expressionists and Les Automatistes: multi-fractal depth"، Signal Processing، المجلد 93 573 (2013).
  90. ↑ RP Taylor et al, "Authenticating Pollock Paintings Using Fractal Geometry", Pattern Recognition Letters, vol. 28, 695-702 (2005).
  91. ↑ ك تشنغ وآخرون فيس كومبيوت. دوي 10.1007/s00371-014-0985-7
  92. ^ E De la Calleja et al Annals of Physics، المجلد. 371، 313 (2016)
  93. ↑ شامار، ل. (2015). "ما الذي يجعل لوحة بولوك بولوك: مقاربة رؤية الآلة" (ملف PDF) . المجلة الدولية للفنون والتكنولوجيا . 8 67389: 1-10 . CiteSeerX 10.1.1.647.365 . doi : 10.1504/IJART.2015.067389 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 25 أكتوبر 2017. تم الاطلاع عليه في 24 أكتوبر 2017 . 
  94. ↑ جيه إتش سميث، سي هولت، إن إتش سميث، آر بي تايلور "استخدام التعلم الآلي للتمييز بين لوحات جاكسون بولوك الأصلية والمقلدة: نهج قائم على البلاط للحوسبة"، "n anOl ne" المجلد 19، e0302962 (2024)
  95. ↑ فرام، مايكل؛ وماندلبروت، بينوا ب.؛ بانوراما للكسور الهندسية واستخداماتها. مؤرشف في 23 ديسمبر 2007، في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
  96. ↑ نيلسون، برين (23 فبراير 2000). "الرياضيات المعقدة وراء تصميمات القرى الأفريقية / أنماط الفراكتال تستخدم التكرار على نطاق واسع وصغير" . SFGATE . تم الاطلاع عليه في 12 فبراير 2023 .
  97. ^ سيتونجكير، هوكي؛ دحلان، رولان (2009). Fisika Batik: تنفيذ أعمال إبداعية من مهارة فركتال باتيك سيكارا كومبوتاسيونال . جاكرتا: جراميديا ​​بوستاكا أوتاما. رقم ISBN 978-979-22-4484-7
  98. ↑ روليستيا، نوفيا د. (6 أكتوبر 2015). "تطبيق يرسم تاريخ الباتيك في البلاد" . صحيفة جاكرتا بوست . تم الاطلاع عليه في 25 سبتمبر 2016 .
  99. ↑ كوتونين، ماونا (18 مارس 2016). "قصة المدن #5: مدينة بنين، العاصمة العظيمة في العصور الوسطى التي ضاعت الآن دون أثر". تم الاطلاع عليه في 2 أبريل 2018.
  100. ↑ ويلسون، إدوارد أو. (1984). حب الطبيعة . كامبريدج، ماساتشوستس : مطبعة جامعة هارفارد . ISBN 0-674-07442-4.
  101. ↑ آر بي تايلور، سي. فيينغكام، جيه إتش سميث، سي. رولاند، إس. مصلحي، إس. ستادلوبير، إيه. ليسجاك، إم. ليسجاك، بي. سبيهار، "الطلاقة الكسورية: معالجة المحفزات الكسورية عبر البصر والصوت واللمس"، الهندسة الكسورية للدماغ، الطبعة الثانية، التقدم في علم الأحياء العصبي، المجلد 36. 907-934، سبرينغر، 2024.
  102. ↑ RP Taylor, B. Spehar, P. Van Donkelaar and CM Hagerhall, “Perceptual and Physiological Responses to Jackson Pollock's Fractals,” Frontiers in Human Neuroscience, vol. 5 1- 13 (2011).
  103. ↑ آر بي تايلور، "إمكانات التصاميم الكسورية المحبة للطبيعة لتعزيز الصحة والأداء: مراجعة للتجارب والتطبيقات" مجلة الاستدامة: إصدار خاص "العمارة والتكوين الصحي: ما وراء جودة البيئة الداخلية" المجلد 13، 823 (2021)
  104. ↑ تايلور، ريتشارد ب. (2006). "الحد من الإجهاد الفسيولوجي باستخدام الفن والعمارة الكسورية" . ليوناردو . 39 (3): 245-251 . Bibcode : 2006Leo....39..245T . doi : 10.1162/leon.2006.39.3.245 . S2CID 8495221 . 
  105. ↑ بيركل-إليزوندو، جيراردو؛ فالديز-سيبيدا، ريكاردو ديفيد (2006). "التحليل الفركتلي لأهرامات أمريكا الوسطى". الديناميات غير الخطية، وعلم النفس، وعلوم الحياة . 10 (1): 105-122 . PMID 16393505 . 
  106. ↑ براون، كليفورد ت.؛ ويتشي، والتر ر. ت.؛ ليبوفيتش، لاري س. (2005). "الماضي المكسور: الأشكال الكسورية في علم الآثار". مجلة المنهج والنظرية الأثرية . 12 (1): 37-78 . Bibcode : 2005JAMT...12...37B . doi : 10.1007/s10816-005-2396-6 . S2CID 7481018 . 
  107. ^ أزوا بوستوس، أرماندو؛ فيجا مارتينيز ، كريستيان (أكتوبر 2013). ""الكشف عن 'الحياة كما لا نعرفها' من خلال التحليل الفركتلي"" . المجلة الدولية لعلم الأحياء الفلكي . 12 (4): 314– 320. doi : 10.1017/S1473550413000177 . hdl : 11336/26238 . S2CID 122793675 . 
  108. ↑ هولفيلد، روبرت ج.؛ كوهين، ناثان (1999). "التشابه الذاتي والمتطلبات الهندسية لاستقلال التردد في الهوائيات". الفراكتلات . 7 (1): 79-84 . doi : 10.1142/S0218348X99000098 .
  109. ↑ آر بي تايلور، "الرحلة متعددة التخصصات نحو علم الأحياء الفركتلي"، مقال مدعو لمجلة الفيزياء اليوم، 44-50 ديسمبر 2024
  110. ↑ تشيوي هوانغ؛ يونهو هوانغ؛ فيكرانت أوت؛ راينهارد راديرماخر (2016). "مراجعة للمبادلات الحرارية الكسورية" (ملف PDF). المؤتمر الدولي للتبريد وتكييف الهواء . ورقة بحثية رقم 1725{{cite web}}: CS1 maint: postscript ( link )
  111. ↑ راينر، ريتشارد؛ والتريت، باتريك؛ بن خليفة، فؤاد؛ مولر، ستيفان؛ والشر، هربرت؛ فاغنر، ساندرينا؛ كواي، روديغر؛ شليشتفيغ، مايكل؛ أمباخر، أوليفر؛ أمباخر، أ. (2012). "هياكل كسورية لترانزستورات طاقة AlGaN/GaN ذات مقاومة منخفضة ومساحة كبيرة". المؤتمر الدولي الرابع والعشرون لأجهزة أشباه الموصلات ودوائر الطاقة المتكاملة ، 2012. الصفحات 341-344 . doi : 10.1109/ISPSD.2012.6229091 . ISBN  978-1-4577-1596-9. S2CID 43053855 . 
  112. ↑ تشين، يانغوانغ (2011). "نمذجة البنية الكسورية لتوزيعات أحجام المدن باستخدام دوال الارتباط" . PLOS ONE . 6 (9) e24791. arXiv : 1104.4682 . Bibcode : 2011PLoSO...624791C . doi : 10.1371/ journal.pone.0024791 . PMC 3176775. PMID 21949753 .  
  113. ↑ تشنغ، تشيومينغ (1997). "النمذجة متعددة الأبعاد وتحليل الفجوات". الجيولوجيا الرياضية . 29 (7): 919-932 . Bibcode : 1997MatG...29..919C . doi : 10.1023/A:1022355723781 . S2CID 118918429 . 
  114. ↑ "المكونات الداخلية لوحدة معالجة الرسومات" (ملف PDF) .
  115. ↑ "براءات اختراع سوني" .
  116. ↑ "وصف للقوام المتداخل والقوام الهجين المتداخل" .
  117. ↑ "US8773422B1 - نظام وطريقة وبرنامج حاسوبي لتجميع العناصر الأولية المرتبة خطيًا" . براءات اختراع جوجل . 4 ديسمبر 2007. تم الاطلاع عليه في 28 ديسمبر 2019 .
  118. ↑ "US20110227921A1 - معالجة بيانات رسومات الحاسوب ثلاثية الأبعاد على محركات تظليل متعددة" . براءات اختراع جوجل . 15 ديسمبر 2010. تم الاطلاع عليه في 27 ديسمبر 2019 .
  119. ↑ "قواعد بيانات الاضطرابات في جامعة جونز هوبكنز" .
  120. ↑ لي، ي.؛ بيرلمان، إ.؛ وانغ، م.؛ يانغ، ي.؛ مينيفو، س.؛ بيرنز، ر.؛ تشين، س.؛ زالاي، أ.؛ إينك، ج. (2008). "مجموعة قواعد بيانات عامة للاضطراب وتطبيقاتها لدراسة تطور لاغرانج لزيادات السرعة في الاضطراب". مجلة الاضطراب . 9 : N31. arXiv : 0804.1703 . Bibcode : 2008JTurb...9...31L . doi : 10.1080/14685240802376389 . S2CID 15768582 . 
  121. ↑ سميث، روبرت ف.؛ موهر، ديفيد ن.؛ توريس، فيسنتي إي.؛ أوفورد، كينيث ب.؛ ميلتون الثالث، ل. جوزيف (1989). "القصور الكلوي لدى مرضى المجتمع المصابين ببيلة دموية مجهرية خفيفة بدون أعراض". وقائع مايو كلينك . 64 (4): 409-414 . doi : 10.1016/s0025-6196(12)65730-9 . PMID 2716356 . 
  122. ↑ لانديني، غابرييل (2011). "الكسور في المجهر". مجلة المجهر . 241 (1): 1-8 . doi : 10.1111 / j.1365-2818.2010.03454.x . PMID 21118245. S2CID 40311727 .  
  123. ↑ سعيدي، بانتها؛ سورنسن، سورين أ. (2009). "نهج خوارزمي لتوليد حقول اختبار ما بعد الكوارث لعناصر البحث والإنقاذ" (ملف PDF) . وقائع المؤتمر العالمي للهندسة 2009 : 93-98 . ISBN 978-988-17-0125-1.
  124. ↑ تشين، يانغوانغ (2011). "نمذجة البنية الكسورية لتوزيعات أحجام المدن باستخدام دوال الارتباط" . PLOS ONE . 6 (9) e24791. arXiv : 1104.4682 . Bibcode : 2011PLoSO...624791C . doi : 10.1371/ journal.pone.0024791 . PMC 3176775. PMID 21949753 .  
  125. ↑ "الطلبات" . مؤرشف من الأصل في 12 أكتوبر 2007. تم الاطلاع عليه في 21 أكتوبر 2007 .

للمزيد من القراءة

  • ستانلي، يوجين هـ، أوستروفسكي، ن. (محررون)؛ حول النمو والشكل الكسري: الأنماط الكسرية وغير الكسرية في الفيزياء، دار مارتينوس نيجهوف للنشر، 1986. ISBN 0-89838-850-3
  • بارنسلي، مايكل ف.؛ ورايزينغ، هاولي؛ الفراكتلات في كل مكان . بوسطن: أكاديميك برس بروفيشنال، 1993. ISBN 0-12-079061-0
  • دوارته، جيرمان أ.؛ السرد الكسوري: حول العلاقة بين الهندسة والتكنولوجيا وتأثيرها على فضاءات السرد . بيليفيلد: ترانسكريبت، 2014. ISBN 978-3-8376-2829-6
  • فالكونر، كينيث؛ تقنيات في الهندسة الكسورية . جون وايلي وأولاده، 1997. ISBN 0-471-92287-0
  • يورجنز، هارتموت؛ Heinz-Otto, هاينز أوتو ; و سوب، ديتمار؛ الفوضى والفركتلات: حدود جديدة للعلوم . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، 1992. ISBN 0-387-97903-4
  • ماندلبروت، بينوا ب .؛ الهندسة الكسورية للطبيعة . نيويورك: دبليو إتش فريمان وشركاه، 1982. ISBN 0-7167-1186-9
  • بيتجن، هاينز أوتو؛ و سوب، ديتمار؛ محررون. علم الصور كسورية . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، 1988. ISBN 0-387-96608-0
  • بيكوفر، كليفورد أ .؛ محرر؛ الفوضى والكسور: رحلة في رسومات الحاسوب - مجموعة من الأبحاث المتقدمة على مدى عشر سنوات . إلسيفير، 1998. ISBN 0-444-50002-2
  • جونز، جيسي؛ الفراكتلات لنظام ماكنتوش ، دار نشر وايت جروب، كورت ماديرا، كاليفورنيا، 1993. ISBN 1-878739-46-8.
  • لاويرير، هانز؛ الأشكال الكسورية: أشكال هندسية متكررة بلا نهاية ، ترجمة صوفيا جيل-هوفستادت، مطبعة جامعة برينستون، برينستون، نيوجيرسي، 1991. ISBN 0-691-08551-Xقماش. رقم الكتاب المعياري الدولي 0-691-02445-6غلاف ورقي. "هذا الكتاب موجه لجمهور واسع..." يتضمن ملحقًا يحتوي على نماذج لبرامج BASIC.
  • سبورت، جوليان كلينتون (2003). الفوضى وتحليل السلاسل الزمنية . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-850839-7.
  • وال، بيرنت. فان روي، بيتر؛ لارسن، مايكل. وكامبمان، إريك؛ استكشاف الفركتلات على نظام ماكنتوش ، أديسون ويسلي، 1995. ISBN 0-201-62630-6
  • ليسموار-غوردون، نايجل؛ ألوان اللانهاية: جمال وقوة وإحساس الأشكال الكسورية . 2004. ISBN 1-904555-05-5(يأتي الكتاب مع قرص DVD ذي صلة يتضمن مقدمة وثائقية من إخراج آرثر سي كلارك حول مفهوم الفراكتال ومجموعة ماندلبروت .)
  • ليو، هواجيه؛ فن الفراكتال ، تشانغشا: دار نشر هونان للعلوم والتكنولوجيا، 1997، رقم ISBN 9787535722348.
  • غوييه، جان فرانسوا؛ الفيزياء والبنى الكسورية (مقدمة بقلم ب. ماندلبروت)؛ ماسون، 1996. ISBN 2-225-85130-1، ونيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، 1996. رقم ISBN 978-0-387-94153-0نفدت الطبعة. متوفر بنسخة PDF على الموقع الإلكتروني: "الفيزياء والبنى الكسورية" (بالفرنسية). Jfgouyet.fr . تاريخ الوصول: ١٧ أكتوبر ٢٠١٠ .
  • فالكونر، كينيث (2013). الفراكتلات، مقدمة موجزة جداً . مطبعة جامعة أكسفورد.