أكبر مضلع صغير

في الهندسة، أصغر مضلع لأكبر عدد${\displaystyle n}$هو${\displaystyle n}$مضلع ذو n ضلعًا قطره واحد (أي أن كل نقطتين منه تقعان على مسافة وحدة واحدة من بعضهما البعض) وله أكبر مساحة بين جميع المضلعات ذات القطر الواحد${\displaystyle n}$مضلعات من الرتبة n. حل واحد غير فريد عندما${\displaystyle n=4}$يكون مربعًا ، ويكون الحل مضلعًا منتظمًا عندما${\displaystyle n}$هو عدد فردي، لكن الحل غير منتظم فيما عدا ذلك.

ل${\displaystyle n=4}$مساحة أي شكل رباعي الأضلاع تُعطى بالصيغة التالية:${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}pq\sin \theta }$أين${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$هما قطرا الشكل الرباعي و${\displaystyle \theta }$إحدى الزاويتين اللتين تشكلانهما مع بعضهما البعض هي إحدى الزاويتين. ولكي يكون القطر على الأكثر واحدًا، يجب أن تكون كلتاهما${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$يجب ألا يتجاوز عدد عناصر كل عنصر من عناصر صيغة المساحة واحدًا. لذلك، يكون للشكل الرباعي أكبر مساحة عندما يتم تعظيم العوامل الثلاثة في صيغة المساحة بشكل فردي، مع${\displaystyle p=q=1}$و${\displaystyle \sin \theta =1}$الشرط الذي${\displaystyle p=q}$يعني ذلك أن الشكل الرباعي هو شكل رباعي متساوي الأقطار (أي أن أقطاره متساوية في الطول)، والشرط هو أن${\displaystyle \sin \theta =1}$يعني ذلك أنه شكل رباعي متعامد الأقطار (تتقاطع أقطاره بزوايا قائمة). الأشكال الرباعية التي تكون متساوية الأقطار ومتعامدة الأقطار هي الأشكال الرباعية ذات المربع المتوسط . وتشمل المربع الذي أقطاره متساوية الطول، والذي تبلغ مساحته${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$يوجد عدد لا نهائي من الأشكال الرباعية الأخرى التي لها قطر يساوي واحدًا ولها نفس مساحة المربع، لذا فإن الحل في هذه الحالة ليس فريدًا. ^{[ 1 ]}

بالنسبة للقيم الفردية لـ${\displaystyle n}$^{[ 2 ]} وقد أثبت كارل راينهارت في عام 1922 أن المضلع المنتظم له أكبر مساحة بين جميع المضلعات ذات القطر الواحد.

في هذه الحالة${\displaystyle n=6}$المضلع الأمثل الوحيد ليس منتظمًا. نُشر حل هذه الحالة عام 1975 بواسطة رونالد غراهام ، مجيبًا على سؤال طرحه هانفريد لينز عام 1956 ؛ ^{[ 3 ]} وهو على شكل خماسي غير منتظم متساوي الأقطار، مُلحق به مثلث متساوي الساقين منفرج الزاوية، والمسافة من رأس المثلث إلى رأس الخماسي المقابل تساوي قطري الخماسي. ^{[ 4 ]} مساحته 0.674981.... (المتتالية A111969 في OEIS ) ، وهو عدد يحقق المعادلة $${\displaystyle {\begin{aligned}0={}&4096x^{10}+8192x^{9}-3008x^{8}-30848x^{7}\\&+21056x^{6}+146496x^{5}-221360x^{4}\\&+1232x^{3}+14446x^{2}-78488x+1193.\\\end{aligned}}}$$ لأن مجموعة غالوا لهذا العدد هي المجموعة غير القابلة للحل${\displaystyle S_{10}}$، لا يمكن التعبير عنها بصيغة مغلقة باستخدام الجذور المتداخلة .

افترض غراهام أن الحل الأمثل للحالة العامة للقيم الزوجية لـ${\displaystyle n}$يتكون بنفس طريقة القطر المتساوي${\displaystyle (n-1)}$شكل هندسي ذو ضلعين متصل بأحد أضلاعه مثلث متساوي الساقين، ورأسه على بعد وحدة واحدة من الضلع المقابل.${\displaystyle (n-1)}$رأس ذو ستة أضلاع. في هذه الحالة${\displaystyle n=8}$وقد تم التحقق من ذلك بواسطة حساب حاسوبي أجراه أوديت وآخرون ^{[ 5 ]،} وبرهان غراهام على أن شكله السداسي هو الأمثل، والبرهان الحاسوبي لـ${\displaystyle n=8}$في كلتا الحالتين، تم تحليل جميع الحالات الممكنة.${\displaystyle n}$- رؤوس متقاطعة ذات حواف مستقيمة.

الفرضية الكاملة لغراهام، التي تحدد حل مسألة أكبر مضلع صغير لجميع القيم الزوجية لـ${\displaystyle n}$تم إثبات ذلك في عام 2007 بواسطة فوستر وسزابو. يقوم برهانهما بإنشاء مضلع يتكون من قطر متساوي${\displaystyle (n-1)}$مضلع ذو رأس إضافي، ومساحته أكبر من أي مضلع آخر.${\displaystyle n}$المضلع ذو الشكل -gon الذي ليس من هذا الشكل. ومع ذلك، فهم لا يثبتون أن بناءهم ينتج مضلعات مثالية. ويتركون أسئلة مفتوحة حول ما إذا كان الحل الأمثل فريدًا ومتناظرًا ثنائيًا دائمًا، كما هو الحال في الحالات${\displaystyle n=6}$و${\displaystyle n=8}$[ ^{6 ]​}

• مضلع راينهارت ، وهو المضلع الذي يحقق أقصى محيط بالنسبة لقطره، وأقصى عرض بالنسبة لقطره، وأقصى عرض بالنسبة لمحيطه.

• وايسشتاين، إريك دبليو ، "أكبر مضلع صغير" ، عالم الرياضيات
• أكبر سداسي صغير من تصميم غراهام ، من قاعة السداسيات