رباعي الأضلاع متعامد

في الهندسة الإقليدية ، يُعرف الشكل الرباعي ذو الأقطار المتعامدة بأنه شكل رباعي تتقاطع أقطاره بزوايا قائمة . بعبارة أخرى، هو شكل رباعي الأضلاع تكون فيه القطع المستقيمة بين رؤوسه غير المتجاورة متعامدة (عمودية) مع بعضها البعض.

الطائرة الورقية هي شكل رباعي الأضلاع متعامد، حيث يمثل أحد أقطاره محور تناظر . والطائرات الورقية هي تحديدًا الأشكال الرباعية المتعامدة التي تحتوي على دائرة مماسة لجميع أضلاعها الأربعة؛ أي أن الطائرات الورقية هي الأشكال الرباعية المتعامدة المماسية . ^{[ 1 ]}

المعين هو شكل رباعي الأضلاع متعامد الأقطار له زوجان من الأضلاع المتوازية (أي شكل رباعي الأضلاع متعامد الأقطار وهو أيضًا متوازي أضلاع ).

المربع هو حالة حدية لكل من الطائرة الورقية والمعين.

تُسمى الأشكال الرباعية المتعامدة الأقطار التي هي أيضًا أشكال رباعية متساوية الأقطار بالأشكال الرباعية متوسطة المربع . ^{[ 2 ]}

بالنسبة لأي شكل رباعي متعامد الأقطار، فإن مجموع مربعي ضلعين متقابلين يساوي مجموع مربعي الضلعين المتقابلين الآخرين: بالنسبة للأضلاع المتتالية a و b و c و d ، لدينا ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle \displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}.}$

يستنتج هذا من نظرية فيثاغورس ، التي ^تنص على أنه يمكن توسيع أي من مجموعي مربعين ليساوي مجموع مربعات المسافات الأربعة من رؤوس الشكل الرباعي إلى نقطة تقاطع أقطاره. وبالعكس ، فإن أي شكل رباعي ^يكون فيه a² + c² = ^b² + d² يكون متعامد الأقطار. ^{[ 5 ] ويمكن} إثبات ذلك بعدة طرق، منها استخدام قانون جيب التمام ، والمتجهات ^، والإثبات غير المباشر ، والأعداد المركبة . ^{[ 6} ]

تكون أقطار الشكل الرباعي المحدب متعامدة إذا وفقط إذا كان طول ثنائيي الوسط متساوياً. ^{[ 6 ]}

وفقًا لوصف آخر، يكون قطرا الشكل الرباعي المحدب ABCD متعامدين إذا وفقط إذا

${\displaystyle \angle PAB+\angle PBA+\angle PCD+\angle PDC=\pi }$

حيث P هي نقطة تقاطع الأقطار. ومن هذه المعادلة يتبين مباشرة أن أقطار الشكل الرباعي المحدب تكون متعامدة إذا وفقط إذا كانت إسقاطات نقطة تقاطع الأقطار على أضلاع الشكل الرباعي هي رؤوس شكل رباعي دائري . ^{[ 6 ]}

يكون الشكل الرباعي المحدب متعامد الأقطار إذا وفقط إذا كان متوازي أضلاعه (الذي رؤوسه هي منتصفات أضلاعه) مستطيلاً . [ ^{6 ] وتنص} خاصية مشابهة على أن الشكل الرباعي المحدب يكون متعامد الأقطار إذا وفقط إذا كانت منتصفات أضلاعه وقواعد ارتفاعاته الأربعة ثماني نقاط متحدة الدائرة ؛ أي دائرة النقاط الثماني . مركز هذه الدائرة هو مركز ثقل الشكل الرباعي. ويُسمى الشكل الرباعي المُشكّل من قواعد الارتفاعات بالشكل الرباعي الرئيسي المتعامد . ^{[ 7 ]}

إذا كانت المتجهات العمودية على أضلاع الشكل الرباعي المحدب ABCD، والمارّة بنقطة تقاطع قطره، تتقاطع مع الأضلاع المقابلة لها في النقاط R و S و T و U ، وكانت النقاط K و L و M و N هي قواعد هذه المتجهات العمودية، فإن الشكل الرباعي ABCD يكون متعامدًا قطريًا إذا وفقط إذا كانت النقاط الثمانية K و L و M و N و R و S و T و U تقع على دائرة واحدة؛ أما النقاط الثمانية الأخرى فتقع على دائرة . وتنص خاصية مشابهة على أن الشكل الرباعي المحدب يكون متعامدًا قطريًا إذا وفقط إذا كان RSTU مستطيلًا أضلاعه موازية لأقطار الشكل الرباعي ABCD . ^{[ 6 ]}

توجد عدة خصائص مترية تتعلق بالمثلثات الأربعة المتكونة من تقاطع القطر P مع رؤوس الشكل الرباعي المحدب ABCD. لنرمز بـ m₁، m₂، m₃، m₄ إلى المتوسطات _في المثلثات _ABP ، BCP _{، CDP} ، DAP من P إلى الأضلاع AB ، BC ، CD ، DA على التوالي . إذا كانت R₁ ، R₂ ، _R₃ ، R₄ و h₁ _، h₂ _، h₃ ، h₄ تمثل أنصاف _أقطار الدوائر المحيطة وارتفاعات هذه _{المثلثات} على التوالي ، فإن الشكل الرباعي _{ABCD يكون} متعامد الأقطار إذا وفقط إذا ^تحققت إحدى المتساويات ^{التالية} : [ ⁶ _]

• ${\displaystyle m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2}}$
• ${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}}$

علاوة على ذلك، يكون الشكل الرباعي ABCD الذي يتقاطع قطراه عند النقطة P متعامد القطرين إذا وفقط إذا كانت مراكز الدوائر المحيطة بالمثلثات ABP و BCP و CDP و DAP هي منتصفات أضلاع الشكل الرباعي. ^{[ 6 ]}

مقارنة مع شكل رباعي مماس

تتشابه بعض الخصائص المترية للأشكال الرباعية المماسية والأشكال الرباعية المتعامدة في المظهر، كما هو موضح في هذا الجدول _. ^{[ 6 ]} وتُستخدم نفس الرموز على الأضلاع a و b و c و d ، وأنصاف أقطار الدائرة المحيطة R1 و _R2 و R3 _و R4 ، والارتفاعات h1 _و h2 و _h3 و h4 في كلا النوعين _{من الأشكال} الرباعية _.

شكل رباعي مماس	رباعي الأضلاع متعامد
${\displaystyle a+c=b+d}$	${\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}$
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}}$	${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}}$
${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}}$

مساحة الشكل الرباعي المتعامد K تساوي نصف حاصل ضرب أطوال القطرين p و q : ^{[ 8 ]}

${\displaystyle K={\frac {pq}{2}}.}$

على النقيض من ذلك، فإن أي شكل رباعي محدب يمكن حساب مساحته باستخدام هذه الصيغة يجب أن يكون متعامد الأقطار. ^{[ 6 ]} الشكل الرباعي متعامد الأقطار له أكبر مساحة بين جميع الأشكال الرباعية المحدبة ذات الأقطار المعطاة.

• الأشكال الرباعية المتعامدة هي الأشكال الرباعية الوحيدة التي لا تحدد أضلاعها والزاوية المتكونة من أقطارها مساحتها بشكل فريد. ^{[ 4 ]} على سبيل المثال، معينان لهما ضلع مشترك a (وكما هو الحال في جميع المعينات، لكل منهما زاوية قائمة بين قطريه)، ولكن أحدهما بزاوية حادة أصغر من الآخر، لهما مساحتان مختلفتان (مساحة الأول تقترب من الصفر كلما اقتربت الزاوية الحادة من الصفر).
• إذا أُقيمت مربعات على جوانب أي شكل رباعي (محدب، مقعر، أو متقاطع)، فإن مراكزها ( مراكز ثقلها ) هي رؤوس شكل رباعي متعامد الأقطار ومتساوي الأقطار (أي أن أقطاره متساوية الطول). تُعرف هذه النظرية بنظرية فان أوبل .
• يحتوي كل جانب من جوانب الشكل الرباعي المتعامد على نقطة مشتركة واحدة على الأقل مع دائرة نقاط باسكال . ^{[ 9 ]}

لكل شكل رباعي متعامد الأقطار، يمكننا رسم مجموعتين لا نهائيتين من المستطيلات:

(أ) مجموعة من المستطيلات التي تكون أضلاعها موازية لأقطار الشكل الرباعي

(ii) مجموعة من المستطيلات المحددة بواسطة دوائر نقاط باسكال. ^{[ 12 ]}

• مساحة الشكل الرباعي المتعامد ، الأشكال الرباعية المتعامدة والفيثاغورية، وخاصية فان أوبل للشكل الرباعي المتعامد في رسومات الهندسة الديناميكية ، رسومات الهندسة التفاعلية.