مربع

مربع طول أضلاعه الأربعة هو${\displaystyle \ell }$له محيط ^{[ 12 ]}${\displaystyle P=4\ell }$والطول القطري​${\displaystyle d={\sqrt {2}}\ell }$[ ^{13 ]} الجذر التربيعي للعدد 2 ، الوارد في هذه الصيغة، عدد غير نسبي ، أي أنه لا يمكن كتابته بدقة على شكل ^كسر . وهو يساوي تقريبًا 1.414، ^{[ 14 ]} وكانت قيمته التقريبية معروفة في الرياضيات البابلية . ^{[ 15 ]} مساحة المربع هي ^{[ 13 ]}$${\displaystyle A=\ell ^{2}={\tfrac {1}{2}}d^{2}.}$$ أدت هذه الصيغة لحساب مساحة المربع كقوة ثانية لطول ضلعه إلى استخدام مصطلح التربيع بمعنى رفع أي عدد إلى القوة الثانية. ^{[ 16 ]} وبعكس هذه العلاقة، يكون طول ضلع مربع ذي مساحة معينة هو الجذر التربيعي للمساحة. ينتج عن تربيع عدد صحيح ، أو حساب مساحة مربع بأضلاع صحيحة، عدد مربع ؛ وهذه أعداد تمثل عدد النقاط التي يمكن ترتيبها في شبكة مربعة. ^{[ 17 ]}

بما أن مربع أربعة يساوي ستة عشر، فإن مساحة المربع ذي الأبعاد أربعة في أربعة تساوي محيطه. أي أنه شكل متساوي الأبعاد . المستطيل الوحيد الآخر المتساوي الأبعاد هو المستطيل ذو الأبعاد ثلاثة في ستة. ^{[ 18 ]}

بما أن المربع مضلع منتظم ، فهو الشكل الرباعي ذو أصغر محيط يحيط بمساحة معينة. وبالمثل، المربع هو الشكل الرباعي الذي يحتوي على أكبر مساحة ضمن محيط معين. ^{[ 19 ]} في الواقع، إذا كانت A و P هما المساحة والمحيط المحاطان بشكل رباعي، فإن متباينة المحيط المتساوي التالية تتحقق: $${\displaystyle 16A\leq P^{2}}$$ يتحقق التساوي إذا وفقط إذا كان الشكل الرباعي مربعًا. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

المربع هو أكثر الأشكال الرباعية تناظراً. ^{[ 22 ]} ثمانية تحويلات صلبة للمستوى تُحوّل المربع إلى نفسه: ^{[ 23 ]}

الوضع الابتدائي للمربع ( تحويل الهوية )

الدوران بزاوية 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة

دوران بمقدار 180 درجة

دوران بمقدار 270 درجة

انعكاس قطري من الشمال الغربي إلى الجنوب الشرقي

الانعكاس الأفقي

انعكاس قطري شمال شرق - جنوب غرب

الانعكاس الرأسي

بالنسبة لمربع متمركز عند نقطة الأصل وموازٍ للمحاور ، تعمل كل تناظرية من خلال عكس وتبديل الإحداثيات الديكارتية للنقاط. ^{[ 24 ]} تُبدّل التناظرات المثلثات الثمانية متساوية الساقين بين أنصاف الحواف ومركز المربع (الذي يبقى ثابتًا)؛ ويمكن اعتبار أي من هذه المثلثات المنطقة الأساسية للتحويلات. ^{[ 25 ]} يتم تحويل كل رأسين، وكل ضلعين، وكل نصف ضلع إلى الآخر بواسطة تناظرية واحدة على الأقل (تناظرية واحدة فقط لأنصاف الحواف). ^{[ 22 ]} تتمتع جميع المضلعات المنتظمة بهذه الخصائص أيضًا، ^{[ 26 ]} والتي تُعبّر عنها بالقول إن تناظرات المربع، وبشكل أعم، المضلع المنتظم، تعمل بشكل متعدٍ على الرؤوس والحواف، وبشكل متعدٍ فقط على أنصاف الحواف. ^{[ 27 ]}

يؤدي دمج أي تحويلين من هذه التحويلات، أحدهما تلو الآخر، إلى إعادة المربع إلى شكله الأصلي، وبالتالي إنتاج تناظر آخر. ينتج عن الدوران المتكرر دوران آخر بنفس زاوية الدوران. انعكاسان لهما نفس المحور يعيدان المربع إلى تحويل التطابق، بينما يؤدي انعكاسان لهما محوران مختلفان إلى دوران المربع. ينتج عن الدوران متبوعًا بانعكاس، أو العكس، انعكاس مختلف. تمنح عملية التركيب هذه التناظرات الثمانية للمربع البنية الرياضية لمجموعة ، تُسمى مجموعة المربع أو المجموعة ثنائية السطوح من الرتبة الثامنة . ^{[ 23 ]} أما الأشكال الرباعية الأخرى، مثل المستطيل والمعين، فلها مجموعة فرعية فقط من هذه التناظرات. ^{[ 28 ] [ 29 ]}

يُحافظ على شكل المربع، لا حجمه، بفضل تشابهات المستوى. ^{[ 30 ]} يمكن لأنواع أخرى من تحويلات المستوى أن تُحوّل المربعات إلى أنواع أخرى من الأشكال الرباعية. يُمكن للتحويل الأفيني أن يُحوّل المربع إلى أي متوازي أضلاع، أو العكس؛ ^{[ 31 ]} يُمكن للتحويل الإسقاطي أن يُحوّل المربع إلى أي شكل رباعي محدب ، أو العكس. ^{[ 32 ]} هذا يعني أنه عند النظر إليه من منظور ، يُمكن أن يبدو المربع كأي شكل رباعي محدب، أو العكس. ^{[ 33 ]} يُمكن لتحويل موبيوس أن يُحوّل رؤوس المربع (وليس أضلاعه) إلى رؤوس شكل رباعي متناسق . ^{[ 34 ]}

مجموعات ورق الجدران هي مجموعات تناظر لأنماط متكررة ثنائية الأبعاد. بالنسبة للعديد من هذه المجموعات، يمكن أن تكون الوحدة الأساسية للتكرار (الخلية الأساسية لشبكة دورتها ) مربعًا، وبالنسبة لثلاث من هذه المجموعات، وهي p4 و p4m و p4g، يجب أن تكون مربعًا. ^{[ 35 ]}

ص4، سقف مقبرة مصرية

p4m، نينوى وبلاد فارس

p4g، الصين

مجموعات ورق الحائط من البلاط من كتاب قواعد الزخرفة

الدائرة الداخلية للمربع هي أكبر دائرة يمكن وضعها داخل ذلك المربع. مركزها هو مركز المربع، ونصف قطرها (نصف قطر الدائرة الداخلية للمربع) هو${\displaystyle r=\ell /2}$لأن هذه الدائرة تلامس جميع أضلاع المربع الأربعة (عند منتصفاتها)، فإن المربع شكل رباعي مماس . أما الدائرة المحيطة بالمربع فتمر بجميع رؤوسه الأربعة، مما يجعله شكلاً رباعياً دائرياً . ونصف قطرها، وهو نصف قطر الدائرة المحيطة ، هو${\displaystyle R=\ell /{\sqrt {2}}}$[ ^{36 ] إذا كانت} الدائرة الداخلية لمربع${\displaystyle ABCD}$يحتوي على نقاط تماس${\displaystyle E}$على${\displaystyle AB}$،${\displaystyle F}$على${\displaystyle BC}$،${\displaystyle G}$على${\displaystyle CD}$، و${\displaystyle H}$على${\displaystyle DA}$ثم لأي نقطة${\displaystyle P}$على الدائرة المنقوشة، ^{[ 37 ]}$${\displaystyle 2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.}$$لو${\displaystyle d_{i}}$هي المسافة من نقطة عشوائية في المستوى إلى${\displaystyle i}$الرأس رقم ن من مربع و${\displaystyle R}$إذا كان نصف قطر الدائرة المحيطة بالمربع، فإن ^{[ 38 ]}$${\displaystyle {\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.}$$ لو${\displaystyle L}$ و${\displaystyle d_{i}}$إذا كانت المسافات من نقطة عشوائية في المستوى إلى مركز المربع ورؤوسه الأربعة على التوالي،$${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})}$$و$${\displaystyle d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),}$$أين${\displaystyle R}$هو نصف قطر الدائرة المحيطة بالمربع. ^{[ 39 ]}

المربع الواحد هو مربع طول ضلعه واحد. وغالبًا ما يُمثَّل في الإحداثيات الديكارتية على أنه المربع الذي يحيط بالنقاط${\displaystyle (x,y)}$التي لديها${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$و${\displaystyle 0\leq y\leq 1}$رؤوسها هي النقاط الأربع التي تحتوي على 0 أو 1 في كل إحداثياتها. ^{[ 89 ]}

مربع موازٍ للمحور ومركزه عند النقطة${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$وجوانب بطول${\displaystyle 2r}$(أين${\displaystyle r}$(نصف القطر الداخلي، نصف طول الضلع) له رؤوس عند النقاط الأربع${\displaystyle (x_{c}\pm r,y_{c}\pm r)}$يتكون داخله من النقاط${\displaystyle (x,y)}$مع${\displaystyle \max(|x-x_{c}|,|y-y_{c}|)<r}$، وتتكون حدودها من النقاط التي${\displaystyle \max(|x-x_{c}|,|y-y_{c}|)=r}$[ ^{90 ]​}

مربع قطري مركزه عند النقطة${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$وقطر طوله${\displaystyle 2R}$(أين${\displaystyle R}$نصف قطر الدائرة المحيطة (نصف القطر القطري) له رؤوس عند النقاط الأربع${\displaystyle (x_{c}\pm R,y_{c})}$و${\displaystyle (x_{c},y_{c}\pm R)}$يتكون داخله من النقاط${\displaystyle (x,y)}$مع${\displaystyle |x-x_{c}|+|y-y_{c}|<R}$، وتتكون حدودها من النقاط التي${\displaystyle |x-x_{c}|+|y-y_{c}|=R}$[ ^{90 ] على سبيل المثال ،} يوضح الرسم التوضيحي مربعًا قطريًا مركزه نقطة الأصل${\displaystyle (0,0)}$بنصف قطر محيط يبلغ 2، معطى بالمعادلة${\displaystyle |x|+|y|=2}$.

في مستوى الأعداد المركبة ، الضرب بالوحدة التخيلية${\displaystyle i}$يدور الحد الآخر في الناتج بزاوية 90 درجة حول نقطة الأصل (العدد صفر). لذلك، إذا كان أي عدد مركب غير صفري${\displaystyle p}$يتم ضربها بشكل متكرر في${\displaystyle i}$، مع إعطاء الأرقام الأربعة${\displaystyle p}$،${\displaystyle ip}$،${\displaystyle -p}$، و${\displaystyle -ip}$ستشكل هذه الأعداد رؤوس مربع مركزه نقطة الأصل. ^{[ 91 ]} إذا فُسِّر الجزء الحقيقي والجزء التخيلي لهذه الأعداد المركبة الأربعة على أنهما إحداثيات ديكارتية، مع${\displaystyle p=x+iy}$إذن، هذه الأرقام الأربعة لها الإحداثيات${\displaystyle (x,y)}$،${\displaystyle (-y,x)}$،${\displaystyle (-x,-y)}$، و${\displaystyle (-y,-x)}$[ ^{92 ]} يمكن ترجمة هذا المربع ليحتوي على أي عدد مركب ^آخر${\displaystyle c}$هو المركز، باستخدام حقيقة أن الترجمة من الأصل إلى${\displaystyle c}$يُعبَّر عنه في حساب الأعداد المركبة كعملية جمع مع${\displaystyle c}$[ ^{93 ]} تشكل الأعداد الصحيحة الغاوسية ، ^وهي أعداد مركبة ذات أجزاء حقيقية وتخيلية صحيحة، شبكة مربعة في المستوى المركب. ^{[ 93 ]}

يُشرح في كتاب إقليدس " الأصول " (1.46) كيفية إنشاء مربع ذي ضلع مُعطى باستخدام الفرجار والمسطرة . ^{[ 94 ]} وجود هذا الإنشاء يعني أن المربعات هي مضلعات قابلة للإنشاء .${\displaystyle n}$يمكن إنشاء مضلع ذي عدد معين من الأضلاع (-gon) بالضبط عندما تكون العوامل الأولية الفردية لـ${\displaystyle n}$هي أعداد فيرما الأولية المتميزة ، ^{[ 95 ]} وفي حالة المربع${\displaystyle n=4}$ليس له عوامل أولية فردية، لذا فإن هذا الشرط صحيح بشكل بديهي . ^{[ 96 ]}

كما يقدم القسمان الرابع والسادس والسابع طرق إنشاء مربع داخل دائرة ومربع محيط بدائرة، على التوالي. ^{[ 97 ]}

• 
  مربع ذو دائرة محيطة معينة
• 
  مربع ذو طول ضلع معين، باستخدام نظرية طاليس
• 
  مربع ذو قطر معين

يُقال إن المربع مُحاط بمنحنى عندما تقع رؤوسه الأربعة جميعها على المنحنى. وتطرح مسألة المربع المُحاط غير المحلولة سؤالًا حول ما إذا كان لكل منحنى مغلق بسيط مربع مُحاط به. وهذا صحيح لكل منحنى أملس ، ^{[ 121 ]} ولكل منحنى محدب مغلق . المضلع المنتظم الوحيد الآخر الذي يمكن إحاطته دائمًا بكل منحنى محدب مغلق هو المثلث متساوي الأضلاع ، إذ يوجد منحنى محدب لا يمكن إحاطته بأي مضلع منتظم آخر. ^{[ 122 ]}

بالنسبة للمربع المرسوم داخل مثلث ، يقع ضلع واحد على الأقل من أضلاع المربع على أحد أضلاع المثلث. يحتوي كل مثلث حاد الزوايا على ثلاثة مربعات مرسومة داخله، مربع لكل ضلع من أضلاعه الثلاثة. يحتوي المثلث القائم الزاوية على مربعين مرسومين داخله، أحدهما يلامس زاويته القائمة والآخر يقع على وتره. يحتوي المثلث المنفرج الزاوية على مربع واحد فقط مرسوم داخله، ويقع على أطول أضلاعه. يمكن للمربع المرسوم داخل مثلث أن يغطي نصف مساحة المثلث على الأكثر. ^{[ 123 ]}

منذ العصور القديمة، تم تعريف العديد من وحدات مساحة السطح من المربعات، وعادة ما يكون لها وحدة طول قياسية كضلع لها، على سبيل المثال، المتر المربع أو البوصة المربعة . ^{[ 124 ]}

في الهندسة الاستنتاجية اليونانية القديمة ، كانت مساحة الشكل المستوي تُقاس وتُقارن برسم مربع له نفس المساحة باستخدام عدد محدود من الخطوات بالفرجار والمسطرة ، وهي عملية تُسمى التربيع . يُبين كتاب " الأصول " لإقليدس كيفية القيام بذلك للمستطيلات ومتوازيات الأضلاع والمثلثات، ثم بشكل أعم للمضلعات البسيطة بتقسيمها إلى أجزاء مثلثية. ^{[ 125 ]} كما يمكن تربيع بعض الأشكال ذات الجوانب المنحنية، مثل هلال أبقراط ^{[ 126 ]} والقطع المكافئ . ^{[ 127 ]}

يُستخدم المربع كشكل أساسي لقياس المساحة، وهو ما نجده أيضًا في الصيغة اليونانية لنظرية فيثاغورس : المربعات المرسومة على ضلعين من المثلث القائم الزاوية لها مساحة إجمالية مساوية لمساحة مربع مرسوم على الوتر . ^{[ 128 ]} بهذه الصيغة، تكون النظرية صالحة أيضًا لأشكال أخرى على أضلاع المثلث، مثل المثلثات متساوية الأضلاع أو أنصاف الدوائر، ^{[ 129 ]} لكن اليونانيين استخدموا المربعات. في الرياضيات الحديثة، استُبدلت هذه الصيغة للنظرية، التي تستخدم مساحات المربعات، بصيغة جبرية تتضمن تربيع الأعداد : أطوال أضلاع ووتر المثلث القائم الزاوية تخضع للمعادلة التالية:${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$[ ^{130 ]​}

بسبب هذا التركيز على التربيع كمقياس للمساحة، سعى الإغريق، ومن بعدهم علماء الرياضيات، دون جدوى، إلى تربيع الدائرة ، فقاموا بإنشاء مربع له نفس مساحة دائرة معينة، مستخدمين عددًا محدودًا من الخطوات بالفرجار والمسطرة. في عام ١٨٨٢، ثبت استحالة هذه المهمة نتيجةً لنظرية ليندمان-فايرشتراس . تُثبت هذه النظرية أن باي ( π ) عدد متسامٍ وليس عددًا غير نسبي جبري ؛ أي أنه ليس جذرًا لأي متعددة حدود ذات معاملات نسبية . يمكن ترجمة أي طريقة لإنشاء مربع الدائرة إلى صيغة متعددة الحدود لـ π ، وهي صيغة غير موجودة. ^{[ ١٣١ ]} في الفلسفة، استُخدم مفهوم " الدائرة المربعة " كمثال على التناقض الظاهري منذ أرسطو ، مما أثار محاولات لإيجاد سياقات، مثل هندسة سيارات الأجرة ( المذكورة أدناه )، يكون فيها لهذا المصطلح معنى. ^{[ 132 ]}

تبليط مربع

التبليط الفيثاغوري

يُعدّ التبليط المربع ، المألوف من الأرضيات ولوحات الألعاب، أحد أنواع التبليط المنتظم الثلاثة للسطح المستوي. أما النوعان الآخران فيستخدمان المثلث متساوي الأضلاع والسداسي المنتظم . ^{[ 133 ]} تُشكّل رؤوس التبليط المربع شبكة مربعة . ^{[ 134 ]} كما يُمكن تبليط السطح المستوي بمربعات ذات أحجام مختلفة، ^{[ 135 ] [ 136 ]} على سبيل المثال في التبليط الفيثاغورسي ، الذي سُمّي بهذا الاسم لارتباطه ببراهين نظرية فيثاغورس . ^{[ 137 ]}

تهدف مسائل تعبئة المربعات إلى إيجاد أصغر مربع أو دائرة يمكن أن يتسع فيها عددٌ مُحدد من المربعات الصغيرة . تُعبأ رقعة الشطرنج على النحو الأمثل عددًا مربعًا من المربعات الصغيرة داخل مربع أكبر، ولكن باستثناء حالات خاصة قليلة كهذه، تبقى الحلول المثلى لهذه المسائل دون حل؛ ^{[ 138 ] [ 139 ] [ 140 ]} وينطبق الأمر نفسه على تعبئة الدوائر داخل مربع . ^{[ 141 ]} قد تتسم تعبئة المربعات في أشكال أخرى بتعقيد حسابي عالٍ : يُعد اختبار ما إذا كان عددٌ مُحدد من المربعات الصغيرة يمكن أن يتسع داخل مضلع مستقيم محدب متعامد ذي إحداثيات رؤوس نصف صحيحة مسألةً كاملةً من فئة NP . ^{[ 142 ]}

تربيع المربع هو تقسيم مربع مُعطى إلى مربعات أصغر، جميعها ذات أطوال أضلاع صحيحة. يُسمى التقسيم الذي ينتج عنه مربعات أصغر مختلفة بالمربع الكامل. ^{[ 143 ]} هناك طريقة أخرى لتربيع المربع تُسمى "لحاف السيدة بيركنز"، تسمح بالتكرار، ولكنها تستخدم أقل عدد ممكن من المربعات الأصغر لجعل القاسم المشترك الأكبر لأطوال الأضلاع هو 1. ^{[ 144 ]} يمكن تبليط السطح بالكامل بمربعات، بحيث يكون لكل مربع مربع واحد طول ضلع صحيح. ^{[ 145 ]}

إسقاط مجسم ثلاثي الأبعاد لحلقة كليفورد الدوارة

مجسم لا نهائي منحرف منتظم بستة مربعات لكل رأس

محاكاة عددية لوسادة مربعة منفوخة

في الأبعاد الأعلى، يمكن تبليط أسطح أخرى غير المستوى بمربعات متساوية، تلتقي حوافها ببعضها. أحد هذه الأسطح هو طارة كليفورد ، وهو حاصل الضرب الديكارتي رباعي الأبعاد لدائرتين متطابقتين؛ وله نفس الهندسة الجوهرية لمربع واحد ملتصق حافتاه المتقابلتان. ^{[ 146 ]} سطح آخر مُبلّط بالمربعات، وهو مجسم لا نهائي منتظم مائل في ثلاثة أبعاد، يتكون من ستة مربعات تلتقي عند كل رأس. ^{[ 147 ]} تسعى مسألة كيس الورق إلى إيجاد أكبر حجم يمكن أن يحيط به سطح مُبلّط بمربعين ملتصقين حافتيهما؛ وإجابتها الدقيقة غير معروفة. ^{[ 148 ]} ينتج عن لصق مربعين بنمط مختلف، مع ربط رأس كل مربع بمنتصف حافة المربع الآخر (أو بدلاً من ذلك، تقسيم هذين المربعين إلى ثمانية مربعات ملتصقة حافتيها) شكل وسادة دبابيس يُسمى بيسكورنو . ^{[ 149 ]} تُسمى الأسطح المبلطة بعدد محدود من المربعات من الشبكة الصحيحة ثلاثية الأبعاد بالأسطح متعددة الأضلاع . ^{[ 150 ]}

تتضمن إحدى الألغاز الرياضية الشائعة عدّ المربعات بجميع أحجامها في شبكة مربعة من${\displaystyle n\times n}$المربعات. على سبيل المثال، تحتوي شبكة مربعة مكونة من تسعة مربعات على 14 مربعًا: المربعات التسعة التي تشكل الشبكة، وأربعة مربعات أخرى.${\displaystyle 2\times 2}$مربعات، وواحد${\displaystyle 3\times 3}$مربع. حل اللغز هو${\displaystyle n(n+1)(2n+1)/6}$، وهو عدد هرمي مربع . ^{[ 151 ]} لـ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$هذه الأرقام هي: ^{[ 152 ]}

يطلب أحد أشكال اللغز نفسه عدد المربعات التي تشكلها شبكة من${\displaystyle n\times n}$تسمح النقاط، بما في ذلك المربعات غير المتوازية مع المحاور، بوجود مربعات. على سبيل المثال، تحتوي شبكة من تسع نقاط على خمسة مربعات متوازية مع المحاور كما هو موضح أعلاه، ولكنها تحتوي أيضًا على مربع قطري إضافي ليصبح المجموع ستة مربعات. ^{[ 153 ]} في هذه الحالة، تُعطى الإجابة بواسطة الأعداد الهرمية رباعية الأبعاد.${\displaystyle n^{2}(n^{2}-1)/12}$. ل${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$هذه الأرقام هي: ^{[ 154 ]}

مسألة عدّ أخرى تتعلق بالمربعات تطلب تحديد عدد الأشكال المختلفة للمستطيلات التي يمكن استخدامها عند تقسيم مربع إلى مستطيلات متشابهة . يمكن تقسيم المربع إلى مستطيلين متشابهين بطريقة واحدة فقط، وهي تنصيفه، ولكن عند تقسيم مربع إلى ثلاثة مستطيلات متشابهة، توجد ثلاث نسب أبعاد ممكنة للمستطيلات، ^{[ 155 ]} 3:1، 3:2، ومربع النسبة البلاستيكية ، أي ما يقارب 1.755:1. ^{[ 156 ]} عدد النسب الممكنة عند التقسيم إلى${\displaystyle n}$تُعرف المستطيلات بقيمها الصغيرة لـ${\displaystyle n}$ولكن ليس كصيغة عامة. لـ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$هذه الأرقام هي: ^{[ 157 ]}

المربع السحري هو مصفوفة مربعة من الأعداد، حيث يكون مجموع الأعداد الموجبة في كل صف، وكل عمود، وكلا القطرين الرئيسيين متساوياً. ^{[ 158 ]} لـ${\displaystyle n\times n}$يمكن صياغة المجموع على النحو التالي:${\displaystyle n(n^{2}+1)/2}$الأرقام لـ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$هي: ^{[ 159 ]}

مربعات متحدة المركز في الكرة ( الإسقاط المتعامد )

مربعات متحدة المركز في المستوى الزائدي ( نموذج القرص المطابق )

الثُمن هو مثلث كروي منتظم ذو زوايا قائمة.

يمكن للمضلعات السداسية المنتظمة ذات الزوايا القائمة أن تبلط المستوى الزائدي بأربعة مضلعات سداسية تلتقي عند كل رأس.

في الهندسة الإقليدية المألوفة، يكون الفضاء مسطحًا، وكل شكل رباعي محدب له زوايا داخلية مجموعها 360 درجة، لذا فإن المربع (شكل رباعي منتظم) له أربعة أضلاع متساوية وأربع زوايا قائمة (كل منها 90 درجة). في المقابل، في الهندسة الكروية والهندسة الزائدية ، يكون الفضاء منحنيًا، ولا يصل مجموع الزوايا الداخلية للشكل الرباعي المحدب إلى 360 درجة، لذا لا توجد أشكال رباعية ذات أربع زوايا قائمة. تتميز كلتا الهندستين بأشكال رباعية منتظمة، تتميز بأربعة أضلاع متساوية وأربع زوايا متساوية، وغالبًا ما يشار إليها بالمربعات، ^{[ 160 ]} على الرغم من أن بعض المؤلفين يفضلون تجنب هذا الاسم لأنها تفتقر إلى الزوايا القائمة. كما تتميز هذه الهندسات بمضلعات منتظمة ذات زوايا قائمة، ولكن عدد أضلاعها يختلف عن أربعة. ^{[ 161 ]}

في الهندسة الكروية، يتميز الفضاء بانحناء موجب منتظم، وكل شكل رباعي محدب ( مضلع ذو أربعة أقواس دائرية عظمى ) له زوايا مجموعها يزيد عن 360 درجة بمقدار يُسمى الفائض الزاوي ، ويتناسب مع مساحة سطحه. المربعات الكروية الصغيرة قريبة من الزوايا الإقليدية، وتزداد زوايا المربعات الأكبر حجمًا مع ازدياد مساحتها. ^{[ 160 ]} ومن الحالات الخاصة وجه المكعب الكروي ذو الزوايا الأربع التي قياس كل منها 120 درجة، والذي يغطي سدس سطح الكرة. ^{[ 162 ]} ومثال آخر هو نصف الكرة ، وهو وجه ثنائي السطوح المربع الكروي ، ذو الزوايا الأربع المستقيمة ؛ حيث يقوم إسقاط بيرس الخماسي لخرائط العالم بتحويل وجهين من هذه الوجوه إلى مربعات إقليدية. ^{[ 163 ]} وثمن الكرة هو مثلث كروي منتظم ، له ثلاثة أضلاع متساوية وثلاث زوايا قائمة. ثمانية منها تُغطي الكرة، حيث تلتقي أربعة منها عند كل رأس، لتشكيل ثماني السطوح كروي . ^{[ 164 ]} الهلال الكروي هو شكل ثنائي منتظم ، له ضلعان نصف دائريين وزاويتان متساويتان عند الرؤوس المتقابلة ؛ يغطي الهلال القائم الزاوية ربع الكرة، وهو وجه واحد من أوجه مجسم رباعي السطوح . ^{[ 165 ]}

في الهندسة الزائدية ، يتميز الفضاء بانحناء سالب منتظم، ولكل شكل رباعي محدب زوايا مجموعها أقل من 360° بمقدار يُسمى النقص الزاوي ، وهو يتناسب مع مساحة سطحه. المربعات الزائدية الصغيرة قريبة من المربعات الإقليدية، بينما تتناقص مساحة المربعات الأكبر مع ازدياد مساحتها. ومن الحالات الخاصة المربعات ذات الزوايا 360°/ n لكل قيمة لـ n أكبر من 4 ، والتي يمكن لكل منها أن تُغطي المستوى الزائدي . ^{[ 161 ]} في حالة اللانهاية، يكون للمربع المثالي أربعة أضلاع لا نهائية الطول وأربعة رؤوس عند نقاط مثالية خارج المستوى الزائدي، بزوايا داخلية 0° ؛ ^{[ 166 ]} المربع المثالي، مثل أي شكل رباعي مثالي، له مساحة محدودة تتناسب مع نقصه الزاوي البالغ 360° . ^{[ 167 ]} من الممكن أيضًا إنشاء مضلع زائدي منتظم بزوايا قائمة عند كل رأس وأي عدد من الأضلاع أكبر من أربعة. يمكن لهذه المضلعات أن تبليط المستوى الزائدي بشكل منتظم ، وهو ثنائي التبليط مع n مربع حول كل رأس.

يمكن تعريف المستوى الإقليدي بدلالة المستوى الإحداثي الحقيقي من خلال اعتماد دالة المسافة الإقليدية ، والتي بموجبها تكون المسافة بين أي نقطتين${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$و${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$يكون${\displaystyle \textstyle {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}$تتشكل أشكال هندسية مترية أخرى عند اعتماد دالة مسافة مختلفة ، وفي بعض هذه الأشكال، تتحول الأشكال التي تُعتبر مربعات إقليدية إلى " دوائر " (مجموعة من النقاط متساوية البعد عن نقطة مركزية). المربعات المائلة بزاوية 45 درجة بالنسبة لمحاور الإحداثيات هي الدوائر في هندسة سيارات الأجرة ، استنادًا إلى...${\displaystyle L_{1}}$مسافة${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|}$النقاط التي تبعد مسافة سيارة الأجرة${\displaystyle d}$من أي نقطة معينة، تشكل مربعًا قطريًا، مركزه تلك النقطة، بطول قطري${\displaystyle 2d}$وبالمثل، فإن المربعات المتوازية مع المحاور هي بمثابة الدوائر بالنسبة لـ${\displaystyle L_{\infty }}$أو مسافة تشيبيشيف ،${\displaystyle \max(|x_{1}-x_{2}|,|y_{1}-y_{2}|)}$في هذا المقياس، النقاط ذات المسافة${\displaystyle d}$من نقطة ما، تشكل مربعًا موازيًا للمحور، مركزه عند النقطة المعطاة، وطول ضلعه${\displaystyle 2d}$[ ^{168 ] [ 169 ] [ 170 ]} وبالمثل، يمكن أن يصبح المربع والدائرة شكلاً وسيطاً يُعرف باسم ^المربع الدائري . ^{[ 171 ]}