عدم المساواة عند هارناك

في الرياضيات، تُعرف متباينة هارناك بأنها متباينة تربط قيم دالة توافقية موجبة عند نقطتين، وقد قدمها أ. هارناك ( 1887 ) . تُستخدم متباينة هارناك لإثبات نظرية هارناك حول تقارب متتابعات الدوال التوافقية. وقد عمم كل من ج. سيرين ( 1955 ) وج . موزر ( 1961 ، 1964 ) متباينة هارناك لتشمل حلول المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية أو المكافئة. ويمكن استخدام هذه النتائج لإثبات الانتظام الداخلي للحلول الضعيفة .   

يستخدم حل بيرلمان لتخمين بوانكاريه نسخة من متباينة هارناك، التي وجدها ر. هاميلتون ( 1993 ) ، لتدفق ريتشي . 

تنطبق متباينة هارناك على دالة غير سالبة f معرفة على كرة مغلقة في ^Rⁿ بنصف قطر R ومركز x₀ _. وتنص على أنه إذا كانت f متصلة على الكرة المغلقة وتوافقية على داخلها ، فإنه لكل نقطة x حيث | x - x₀ | = r < R _،      

${\displaystyle {\frac {1-(r/R)}{[1+(r/R)]^{n-1}}}f(x_{0})\leq f(x)\leq {1+(r/R) \over [1-(r/R)]^{n-1}}f(x_{0}).}$

في المستوى R ² ( حيث n = 2) يمكن كتابة المتباينة على النحو التالي:

${\displaystyle {R-r \over R+r}f(x_{0})\leq f(x)\leq {R+r \over R-r}f(x_{0}).}$

للمجالات العامة${\displaystyle \Omega }$في${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$يمكن صياغة المتباينة على النحو التالي: إذا${\displaystyle \omega }$هو نطاق محدود مع${\displaystyle {\bar {\omega }}\subset \Omega }$ثم هناك ثابت${\displaystyle C}$بحيث

${\displaystyle \sup _{x\in \omega }u(x)\leq C\inf _{x\in \omega }u(x)}$

لكل دالة قابلة للتفاضل مرتين، وتوافقية، وغير سالبة${\displaystyle u(x)}$الثابت${\displaystyle C}$مستقل عن${\displaystyle u}$يعتمد ذلك فقط على المجالات${\displaystyle \Omega }$و${\displaystyle \omega }$.

وفقًا لصيغة بواسون

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}{\frac {R^{2}-r^{2}}{R|x-y|^{n}}}\cdot f(y)\,dy,}$

حيث ω _{n − 1} هي مساحة الكرة الوحدة في R ⁿ و r = | x − x ₀ |.

منذ

${\displaystyle R-r\leq |x-y|\leq R+r,}$

النواة في الدالة التكاملية تحقق

${\displaystyle {\frac {R-r}{R(R+r)^{n-1}}}\leq {\frac {R^{2}-r^{2}}{R|x-y|^{n}}}\leq {\frac {R+r}{R(R-r)^{n-1}}}.}$

تنتج متباينة هارناك عن طريق استبدال هذه المتباينة في التكامل أعلاه واستخدام حقيقة أن متوسط ​​الدالة التوافقية على الكرة يساوي قيمتها في مركز الكرة:

${\displaystyle f(x_{0})={\frac {1}{R^{n-1}\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}f(y)\,dy.}$

بالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية ، تنص متباينة هارناك على أن الحد الأعلى للحل الموجب في منطقة مفتوحة متصلة ما يكون محدودًا ببعض القيم الثابتة مضروبة في الحد الأدنى، وربما مع إضافة حد يحتوي على معيار وظيفي للبيانات:

${\displaystyle \sup u\leq C(\inf u+\|f\|)}$

يعتمد الثابت على شكل المعادلة الإهليلجي والمنطقة المفتوحة المتصلة بها.

توجد صيغة من متباينة هارناك للمعادلات التفاضلية الجزئية الخطية المكافئة مثل معادلة الحرارة .

يترك${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ليكن مجالًا أملسًا (محدودًا) في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ولننظر في المؤثر الإهليلجي الخطي

${\displaystyle {\mathcal {L}}u=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(t,x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(t,x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(t,x)u}$

بمعاملات سلسة ومحدودة ومصفوفة موجبة محددة${\displaystyle (a_{ij})}$لنفترض أن${\displaystyle u(t,x)\in C^{2}((0,T)\times {\mathcal {M}})}$هو حل لـ

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-{\mathcal {L}}u=0}$في${\displaystyle (0,T)\times {\mathcal {M}}}$

بحيث

${\displaystyle \quad u(t,x)\geq 0{\text{ in }}(0,T)\times {\mathcal {M}}.}$

يترك${\displaystyle K}$أن تكون محصورة بشكل مضغوط في${\displaystyle {\mathcal {M}}}$واختر${\displaystyle \tau \in (0,T)}$ثم يوجد ثابت C  >  0 (يعتمد فقط على K ،${\displaystyle \tau }$،${\displaystyle t-\tau }$، ومعاملات${\displaystyle {\mathcal {L}}}$) بحيث يكون لكل${\displaystyle t\in (\tau ,T)}$،

${\displaystyle \sup _{K}u(t-\tau ,\cdot )\leq C\inf _{K}u(t,\cdot ).}$

• نظرية هارناك

• كافاريلي، لويس أ .؛ كابري، خافيير (1995)، المعادلات الإهليلجية غير الخطية تمامًا ، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية، ص 31-41 ، ISBN  0-8218-0437-5
• فولاند، جيرالد ب. (1995)، مقدمة في المعادلات التفاضلية الجزئية (  الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 0-691-04361-2
• جيلبارج، ديفيد؛ ترودينجر، نيل س. (1988)، المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية من الرتبة الثانية ، سبرينغر، ISBN 3-540-41160-7
• هاميلتون، ريتشارد س. (1993)، "تقدير هارناك لتدفق ريتشي"، مجلة الهندسة التفاضلية ، 37 (1): 225-243 ، doi : 10.4310/jdg/1214453430 ، ISSN 0022-040X ، MR 1198607  
• هارناك، أ. (1887)، Die Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentiales und der eindeutigen Potentialfunktion in der Ebene ، لايبزيغ: VG Teubner
• جون، فريتز (1982)، المعادلات التفاضلية الجزئية ، العلوم الرياضية التطبيقية، المجلد  1 (الطبعة الرابعة  )، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 0-387-90609-6
• كامينين، لي (2001) [1994]، "نظرية هارناك" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• كاسمان، موريتز (2007)، "متباينات هارناك: مقدمة"، مسائل القيم الحدية 2007 : 081415، doi : 10.1155/2007/81415 ، MR 2291922
• موسر، يورغن (1961)، "حول نظرية هارناك للمعادلات التفاضلية الإهليلجية"، مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية ، 14 (3): 577-591 ، doi : 10.1002/cpa.3160140329 ، MR 0159138 
• موسر، يورغن (1964)، "متباينة هارناك للمعادلات التفاضلية المكافئة"، مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية ، 17 (1): 101-134 ، doi : 10.1002/cpa.3160170106 ، MR 0159139 
• سيرين، جيمس (1955)، "حول متباينة هارناك للمعادلات الإهليلجية الخطية"، مجلة التحليل الرياضي ، 4 (1): 292-308 ، doi : 10.1007/BF02787725 ، MR 0081415 
• إل سي إيفانز (1998)، المعادلات التفاضلية الجزئية . الجمعية الرياضية الأمريكية، الولايات المتحدة الأمريكية. للاطلاع على المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية، انظر النظرية 5، صفحة  334، وللاطلاع على المعادلات التفاضلية الجزئية المكافئة، انظر النظرية 10، صفحة  370.