تدفق ريتشي

في الهندسة التفاضلية والتحليل الهندسي ، يُعرف تدفق ريتشي ( بالإيطالية : στχος ) ، والذي يُشار إليه أحيانًا بتدفق ريتشي لهاملتون ، بأنه معادلة تفاضلية جزئية معينة لمقياس ريماني . ويُقال غالبًا إنه مماثل لانتشار الحرارة ومعادلة الحرارة ، نظرًا للتشابهات الشكلية في البنية الرياضية للمعادلة. ومع ذلك، فهو غير خطي ويُظهر العديد من الظواهر غير الموجودة في دراسة معادلة الحرارة.

تم تقديم تدفق ريتشي، الذي سُمي بهذا الاسم لوجود موتر ريتشي في تعريفه، من قِبل ريتشارد هاميلتون ، الذي استخدمه خلال ثمانينيات القرن العشرين لإثبات نتائج جديدة مذهلة في الهندسة الريمانية . وقد أدت التوسعات اللاحقة لأساليب هاميلتون من قِبل مؤلفين مختلفين إلى تطبيقات جديدة في الهندسة، بما في ذلك حل حدسية الكرة القابلة للتفاضل بواسطة سيمون بريندل وريتشارد شوين .

انطلاقًا من إمكانية أن تُحدد نقاط التفرد في حلول تدفق ريتشي البيانات الطوبولوجية التي تنبأت بها حدسية ويليام ثورستون الهندسية ، قدم هاميلتون عددًا من النتائج في تسعينيات القرن الماضي، والتي هدفت إلى حل هذه الحدسية. وفي عامي 2002 و2003، قدم غريغوري بيرلمان عددًا من النتائج الجديدة الأساسية حول تدفق ريتشي، بما في ذلك صيغة جديدة لبعض الجوانب التقنية لبرنامج هاميلتون. ويُنظر الآن على نطاق واسع إلى عمل بيرلمان باعتباره برهانًا على حدسية ثورستون وحدسية بوانكاريه ، التي تُعتبر حالة خاصة من الأولى. وتجدر الإشارة إلى أن حدسية بوانكاريه كانت مسألة مفتوحة معروفة في مجال الطوبولوجيا الهندسية منذ عام 1904. وتُعتبر نتائج هاميلتون وبيرلمان هذه علامة فارقة في مجالي الهندسة والطوبولوجيا.

على مشعب أملس M ، يحدد المقياس الريماني الأملس g تلقائيًا موتر ريتشي Ric ^g . لكل عنصر p من M ، يكون g _p ، بحسب التعريف ، جداءً داخليًا موجبًا على الفضاء المماسي T _p M عند p . إذا أُعطيت عائلة من المقاييس الريمانية g _t ذات مُعامل واحد ، فيمكن حينها النظر في المشتقة.${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}g_{t}}$، مما يُسند لكل قيمة معينة من t و p شكلاً ثنائي الخطية متناظراً على T _p M. وبما أن موتر ريتشي للمقياس الريماني يُسند أيضاً لكل p شكلاً ثنائي الخطية متناظراً على T _p M ، فإن التعريف التالي ذو معنى.

• بفرض وجود مشعب أملس M وفترة حقيقية مفتوحة ( a , b ) ، فإن تدفق ريتشي يُعيّن، لكل t في الفترة ( a , b ) ، مقياسًا ريمانيًا g _t على M بحيث${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}g_{t}=-2\ \mathrm {Ric} ^{g_{t}}}$.

يُنظر عادةً إلى موتر ريتشي على أنه متوسط ​​قيم انحناءات المقاطع ، أو أثر جبري لموتر انحناء ريمان . مع ذلك، ولتحليل وجود وتفرد تدفقات ريتشي، من الأهمية بمكان أن يُعرَّف موتر ريتشي، في الإحداثيات المحلية، بصيغة تتضمن المشتقين الأول والثاني لموتر القياس. هذا يجعل تدفق ريتشي معادلة تفاضلية جزئية مُعرَّفة هندسيًا . يوفر تحليل إهليلجية صيغة الإحداثيات المحلية الأساس لوجود تدفقات ريتشي؛ انظر القسم التالي للاطلاع على النتيجة ذات الصلة.

ليكن k عددًا غير صفري. بفرض وجود تدفق ريتشي g t على الفترة (a, b)، نعتبر G t = g kt لـ t بين a/k و _b / k . عندئذٍ ، ∂ / ∂t _G t = ₋₂ k Ric G t . وبالتالي ، مع هذا التغيير البسيط في المعاملات ، يمكن استبدال العدد −2 الظاهر في تعريف ^{تدفق _ريتشي} بأي عدد _{غير صفري آخر. لهذا السبب، يمكن اعتبار استخدام −2 اصطلاحًا اعتباطيًا، وإن كان يتبعه تقريبًا} كل بحث ودراسة حول تدفق ريتشي. الفرق الوحيد المهم هو أنه إذا تم استبدال -2 برقم موجب، فإن نظرية الوجود التي تمت مناقشتها في القسم التالي ستصبح نظرية تنتج تدفق ريتشي يتحرك للخلف (بدلاً من الأمام) في قيم المعلمات من البيانات الأولية.

يُطلق على المعامل t عادةً اسم الزمن ، على الرغم من أن هذا مجرد مصطلح غير رسمي شائع في مجال المعادلات التفاضلية الجزئية. وهو مصطلح غير دقيق من الناحية الفيزيائية. في الواقع، في التفسير القياسي لنظرية الحقل الكمومي لتدفق ريتشي بدلالة مجموعة إعادة التطبيع ، يُشير المعامل t إلى الطول أو الطاقة، وليس إلى الزمن. ^{[ 1 ]}

يترك${\displaystyle M}$ليكن مشعبًا مغلقًا أملسًا، وليكن${\displaystyle g_{0}}$ليكن أي مقياس ريماني أملس على${\displaystyle M}$باستخدام نظرية ناش-موسر للدالة الضمنية ، أظهر هاميلتون (1982) نظرية الوجود التالية:

• يوجد عدد موجب${\displaystyle T}$وتدفق ريتشي${\displaystyle g_{t}}$مُعَلَّم بواسطة${\displaystyle t\in (0,T)}$بحيث${\displaystyle g_{t}}$يتقارب إلى${\displaystyle g_{0}}$في${\displaystyle C^{\infty }}$الطوبولوجيا كـ${\displaystyle t}$يتناقص إلى الصفر.

وقد أثبت نظرية التفرد التالية:

• لو${\displaystyle \{g_{t}:t\in (0,T)\}}$و${\displaystyle \{{\widetilde {g}}_{t}:t\in (0,{\widetilde {T}})\}}$إذا كان لدينا تدفقان ريتشي كما في نظرية الوجود المذكورة أعلاه، فإن${\displaystyle g_{t}={\widetilde {g}}_{t}}$للجميع${\displaystyle t\in (0,\min\{T,{\widetilde {T}}\}).}$

تُقدّم نظرية الوجود عائلةً من المقاييس الريمانية الملساء ذات مُعامل واحد. في الواقع، تعتمد أي عائلة من هذا النوع ذات المُعامل الواحد بشكلٍ سلس على هذا المُعامل. تحديدًا، هذا يعني أنه بالنسبة لأي مخطط إحداثيات أملس، فإن المقاييس الريمانية الملساء تعتمد أيضًا على المُعامل.${\displaystyle (U,\phi )}$على${\displaystyle M}$، الوظيفة${\displaystyle g_{ij}:U\times (0,T)\to \mathbb {R} }$سلس لأي${\displaystyle i,j=1,\dots ,n}$.

قدّم دينيس ديترك لاحقًا برهانًا للنتائج المذكورة أعلاه باستخدام نظرية باناش للدالة الضمنية. ^{[ 2 ]} ويُعدّ عمله في جوهره نسخةً ريمانيةً أبسط من برهان إيفون شوكيه-بروهات وتفسيرها المعروف لمفهوم حسن التحديد لمعادلات أينشتاين في الهندسة اللورنتزية.

نتيجة لنظرية هاميلتون للوجود والوحدانية، عند إعطاء البيانات${\displaystyle (M,g_{0})}$يمكن للمرء أن يتحدث بوضوح عن تدفق ريتشي${\displaystyle M}$مع البيانات الأولية${\displaystyle g_{0}}$ويمكن للمرء أن يختار${\displaystyle T}$ليأخذ أقصى قيمة ممكنة له، والتي قد تكون لانهائية. ويكمن المبدأ الكامن وراء جميع التطبيقات الرئيسية لتدفق ريتشي تقريبًا، ولا سيما في إثبات حدسية بوانكاريه وحدسية الهندسة، في أنه، كما${\displaystyle t}$يقترب سلوك المقاييس من هذه القيمة القصوى${\displaystyle g_{t}}$يمكن أن يكشف ويعكس معلومات عميقة حول${\displaystyle M}$.

تم تقديم شروح كاملة لنظريات التقارب التالية في Andrews & Hopper (2011) و Brendle (2010) .

ليكن ( M , g0 ₎ مشعبًا ريمانيًا مغلقًا أملسًا . في ظل أي من الشروط الثلاثة التالية:

• M ثنائي الأبعاد
• M ثلاثي الأبعاد و g ₀ له انحناء ريتشي موجب
• للمصفوفة M بُعد أكبر من ثلاثة _، وللمقياس الناتج على ( M , g0 ) × ℝ انحناء موجب متساوي الخواص

يوجد تدفق ريتشي المعياري مع البيانات الأولية g ₀ لجميع الأوقات الموجبة ويتقارب بسلاسة، عندما يؤول t إلى اللانهاية، إلى مقياس انحناء ثابت.

يعود الفضل في النتيجة ثلاثية الأبعاد إلى هاميلتون (1982) . وقد استلهم برهان هاميلتون من ورقة جيمس إيلز وجوزيف سامبسون الرائدة عام 1964 حول تقارب تدفق الحرارة للخريطة التوافقية ، ^{[ 3 ]،} واعتمد عليها بشكل غير مباشر . وقد تضمن البرهان العديد من الميزات الجديدة، مثل توسيع مبدأ القيمة القصوى ليشمل حالة الموترات المتناظرة ثنائية الأبعاد. وتُعد ورقته البحثية (إلى جانب ورقة إيلز-سامبسون) من بين أكثر الأوراق البحثية استشهادًا في مجال الهندسة التفاضلية. ويمكن الاطلاع على شرح مفصل لنتيجته في تشاو، لو، وني (2006 ، الفصل 3) .

من حيث البرهان، يُنظر إلى الحالة ثنائية الأبعاد على أنها مجموعة من ثلاث نتائج مختلفة، واحدة لكل حالة من الحالات التي تكون فيها خاصية أويلر لـ M موجبة أو صفرية أو سالبة. وكما أوضح هاميلتون (1988) ، تُعالج الحالة السالبة بمبدأ القيمة القصوى، بينما تُعالج الحالة الصفرية بتقديرات تكاملية؛ أما الحالة الموجبة فهي أكثر تعقيدًا، وقد تناول هاميلتون الحالة الفرعية التي يكون فيها _g₀ ذا انحناء موجب من خلال الجمع بين تعديل مباشر لتقدير التدرج لبيتر لي وشينغ -تونغ ياو لتدفق ريتشي مع "تقدير إنتروبي" مبتكر. وقد برهن بينيت تشاو (1991) على الحالة الموجبة الكاملة ، في امتداد لتقنيات هاميلتون. وبما أن أي تدفق ريتشي على مشعب ثنائي الأبعاد يقتصر على فئة توافقية واحدة ، فإنه يمكن إعادة صياغته كمعادلة تفاضلية جزئية لدالة قياسية على مشعب ريماني ثابت ( M , g₀ ₎ . وعلى هذا النحو، يمكن أيضًا دراسة تدفق ريتشي في هذا السياق من خلال الأساليب التحليلية البحتة؛ وبالمثل، توجد براهين بديلة غير هندسية لنظرية التقارب ثنائية الأبعاد.

للحالة ذات الأبعاد الأعلى تاريخ أطول. فبعد فترة وجيزة من نتيجة هاميلتون الرائدة، وسّع غيرهارد هويسكين أساليبه لتشمل الأبعاد الأعلى، مُبيّنًا أنه إذا كان _g₀ ذا انحناء موجب ثابت تقريبًا (بمعنى صغر بعض مكونات تحليل ريتشي )، فإن تدفق ريتشي المُعَيَّر يتقارب بسلاسة إلى انحناء ثابت. وقد وجد هاميلتون (1986) صياغة جديدة لمبدأ القيمة القصوى بدلالة الحصر بواسطة المجموعات المحدبة، مما أدى إلى معيار عام يربط تقارب تدفق ريتشي للمقاييس ذات الانحناء الموجب بوجود "مجموعات حصر" لمعادلة تفاضلية عادية متعددة الأبعاد معينة . ونتيجة لذلك، تمكن من حسم الحالة التي يكون فيها M رباعي الأبعاد ويكون _لـ g₀ مؤثر انحناء موجب. بعد عشرين عامًا، اكتشف كريستوف بوم وبوركهارد ويلكينج طريقة جبرية جديدة لإنشاء "مجموعات التضييق"، مما أزال افتراض البعد الرباعي من نتيجة هاميلتون ( بوم وويلكينج ، 2008 ). وأظهر سيمون بريندل وريتشارد شوين أن إيجابية الانحناء المتساوي الخواص محفوظة بواسطة تدفق ريتشي على مشعب مغلق؛ وبتطبيق طريقة بوم وويلكينج، تمكنا من استنتاج نظرية تقارب جديدة لتدفق ريتشي ( بريندل وشون ، 2009 ). وتضمنت نظرية التقارب هذه، كحالة خاصة، حل نظرية الكرة القابلة للتفاضل ، والتي كانت آنذاك مجرد تخمين قائم منذ زمن طويل. إن نظرية التقارب المذكورة أعلاه تعود إلى بريندل (2008) ، والتي تشمل نتائج التقارب السابقة ذات الأبعاد الأعلى لهويسكين، وهاملتون، وبوم وويلكينج، وبريندل وشون.

باستخدام تقنية رائدة ابتكرها بيتر لي وشينغ تونغ ياو للمعادلات التفاضلية المكافئة على مشعبات ريمان، أثبت هاميلتون (1993أ) "متباينة لي-ياو" التالية. ^{[ 5 ]}

• يترك${\displaystyle M}$ليكن مشعبًا أملسًا، وليكن${\displaystyle g_{t}}$ليكن حلاً لتدفق ريتشي مع${\displaystyle t\in (0,T)}$بحيث يكون كل${\displaystyle g_{t}}$مكتمل بانحناء محدود. علاوة على ذلك، افترض أن كل${\displaystyle g_{t}}$يمتلك عامل انحناء غير سالب. عندئذٍ، لأي منحنى${\displaystyle \gamma$ :[t_{1},t_{2}]\to M} مع${\displaystyle [t_{1},t_{2}]\subset (0,T)}$، لدى المرء$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big (}R^{g(t)}(\gamma (t)){\big )}+{\frac {R^{g(t)}(\gamma (t))}{t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ric} ^{g(t)}(\gamma '(t),\gamma '(t))\geq 0.}$$

أظهر بيرلمان (2002) متباينة لي-ياو البديلة التالية.

• يترك${\displaystyle M}$كن مغلقا بسلاسة${\displaystyle n}$-متعددة الشعب، ودع${\displaystyle g_{t}}$ليكن حلاً لتدفق ريتشي. لننظر في معادلة الحرارة العكسية لـ${\displaystyle n}$-أشكال، أي${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}\omega +\Delta ^{g(t)}\omega =0}$؛ منح${\displaystyle p\in M}$و${\displaystyle t_{0}\in (0,T)}$لنعتبر الحل الخاص الذي يتقارب، عند التكامل، تقارباً ضعيفاً إلى مقياس ديراك دلتا كما يلي:${\displaystyle t}$زيادة إلى${\displaystyle t_{0}}$ثم، لأي منحنى${\displaystyle \gamma$ :[t_{1},t_{2}]\to M} مع${\displaystyle [t_{1},t_{2}]\subset (0,T)}$، لدى المرء$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big (}f(\gamma (t),t){\big )}+{\frac {f{\big (}\gamma (t),t{\big )}}{2(t_{0}-t)}}\leq {\frac {R^{g(t)}(\gamma (t))+|\gamma '(t)|_{g(t)}^{2}}{2}}.}$$أين${\displaystyle \omega =(4\pi (t_{0}-t))^{-n/2}e^{-f}{\text{d}}\mu _{g(t)}}$.

تُعدّ هاتان المتباينتان البارزتان ذواتي أهمية بالغة لإثبات حدسية بوانكاريه وحدسية الهندسة. تُحفّز الحدود الموجودة على الجانب الأيمن من متباينة لي-ياو لبيرلمان تعريف دالته "ذات الطول المُختزل"، والتي يُفضي تحليلها إلى "نظرية عدم الانهيار". تسمح نظرية عدم الانهيار بتطبيق نظرية هاميلتون للتراص (هاميلتون 1995) لبناء "نماذج التفرد"، وهي عبارة عن تدفقات ريتشي على مشعبات ثلاثية الأبعاد جديدة. وبفضل تقدير هاميلتون-آيفي، تتمتع تدفقات ريتشي الجديدة هذه بانحناء غير سالب. يُمكن بعد ذلك تطبيق متباينة لي-ياو لهاميلتون لإثبات أن الانحناء القياسي، عند كل نقطة، دالة غير متناقصة (غير سالبة) للزمن. هذه نتيجة قوية تُتيح إجراء العديد من الاستدلالات اللاحقة. في النهاية، يوضح بيرلمان أن أيًا من نماذج التفرد الخاصة به يشبه بشكل مقارب سوليتون ريتشي المتقلص للتدرج الكامل، والذي يتم تصنيفه بالكامل؛ انظر القسم السابق.

انظر Chow, Lu & Ni (2006 ، الفصلين 10 و 11) للحصول على تفاصيل حول متباينة لي-ياو لهاملتون؛ يحتوي كتابا Chow et al. (2008) و Müller (2006) على شروح لكلتا المتباينتين أعلاه.

نُشر أول عمل لهاملتون حول تدفق ريتشي بالتزامن مع فرضية ويليام ثورستون الهندسية ، التي تتناول التصنيف الطوبولوجي للمشعبات الملساء ثلاثية الأبعاد. ^{[ 6 ]} تمثلت فكرة هاملتون في تعريف نوع من معادلات الانتشار غير الخطية التي من شأنها أن تُخفف من عدم انتظام المقياس. وقد حدد ثورستون بالفعل أشكالًا قانونية مناسبة؛ وتشمل الاحتمالات، التي تُسمى هندسات نموذج ثورستون ^، الكرة الثلاثية S³ ، والفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد E³ ^، والفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد H³ ^، وهي متجانسة ومتناحية الخواص ، وخمسة مشعبات ريمانية أكثر غرابة، وهي متجانسة ولكنها غير متناحية الخواص. (ترتبط هذه القائمة ارتباطًا وثيقًا بتصنيف بيانكي لجبر لي الحقيقي ثلاثي الأبعاد إلى تسع فئات ، ولكنها ليست مطابقة له تمامًا ).

نجح هاميلتون في إثبات أن أي فضاء ثلاثي الأبعاد مغلق أملس يقبل مقياسًا ذا انحناء ريتشي موجب ، يقبل أيضًا هندسة ثورستون فريدة، وهي مقياس كروي، يعمل بالفعل كنقطة ثابتة جاذبة تحت تأثير تدفق ريتشي، بعد إعادة تطبيعه للحفاظ على الحجم. (في ظل تدفق ريتشي غير المُعاد تطبيعه، ينهار الفضاء إلى نقطة في زمن محدود). مع ذلك، لا يُثبت هذا الفرضية الهندسية الكاملة، نظرًا للافتراض التقييدي بشأن الانحناء.

في الواقع، كان من أبرز إنجازات الهندسة في القرن التاسع عشر إثبات نظرية التوحيد ، وهي التصنيف الطوبولوجي المماثل للمتشعبات الثنائية الملساء، حيث بيّن هاميلتون أن تدفق ريتشي يُحوّل بالفعل متشعبًا ثنائيًا ذا انحناء سالب إلى طارة ثنائية الأبعاد متعددة الثقوب، متساوية القياس محليًا مع المستوى الزائدي. يرتبط هذا الموضوع ارتباطًا وثيقًا بمواضيع مهمة في التحليل، ونظرية الأعداد، والأنظمة الديناميكية، والفيزياء الرياضية، وحتى علم الكونيات.

تجدر الإشارة إلى أن مصطلح "التوحيد" يوحي بنوع من إزالة عدم الانتظام في الشكل الهندسي، بينما يوحي مصطلح "الهندسة" بوضع شكل هندسي على سطح أملس. يُستخدم مصطلح الهندسة هنا بمعناه الدقيق، على غرار مفهوم كلاين للهندسة ( انظر فرضية الهندسة لمزيد من التفاصيل). على وجه الخصوص، قد تكون نتيجة الهندسة شكلاً هندسياً غير متناحٍ . في معظم الحالات، بما في ذلك حالات الانحناء الثابت، يكون الشكل الهندسي فريداً. من المواضيع المهمة في هذا المجال التفاعل بين الصيغ الحقيقية والمركبة. على وجه الخصوص، تتناول العديد من مناقشات التوحيد المنحنيات المركبة بدلاً من الأسطح الثنائية الحقيقية.

أثبت هاميلتون أن أي مشعب ريماني مضغوط يقبل دائمًا حلًا لتدفق ريتشي في زمن قصير. لاحقًا، عمّم شي نتيجة وجود الحل في زمن قصير لتشمل المشعبات الكاملة ذات الانحناء المحدود. ^{[ 7 ]} مع ذلك، وبشكل عام، ونظرًا للطبيعة غير الخطية لمعادلة تدفق ريتشي، تتشكل نقاط تفرد في زمن محدود. هذه النقاط هي نقاط تفرد في الانحناء، ما يعني أنه مع اقترابنا من زمن التفرد، يتغير معيار موتر الانحناء.${\displaystyle |\operatorname {Rm} |}$يتضخم إلى ما لا نهاية في منطقة التفرد. تتمثل إحدى المشكلات الأساسية في تدفق ريتشي في فهم جميع الأشكال الهندسية الممكنة للتفردات. وعند النجاح في ذلك، يمكن أن يؤدي إلى فهم أعمق لطوبولوجيا المتشعبات. على سبيل المثال، يُعد تحليل هندسة المناطق المتفردة التي قد تتطور في تدفق ريتشي ثلاثي الأبعاد عنصرًا حاسمًا في برهان بيرلمان على حدسي بوانكاريه والهندسة.

لفهم سبب كون معادلة التطور التي تُعرّف تدفق ريتشي نوعًا من معادلات الانتشار غير الخطية، يمكننا دراسة الحالة الخاصة للمشعبات الثنائية (الحقيقية) بمزيد من التفصيل. يمكن كتابة أي موتر متري على مشعب ثنائي بالنسبة لمخطط إحداثيات متساوي الحرارة أُسّي على النحو التالي:

${\displaystyle ds^{2}=\exp(2\,p(x,y))\,\left(dx^{2}+dy^{2}\right).}$

(توفر هذه الإحداثيات مثالاً على مخطط الإحداثيات المتطابقة ، لأن الزوايا، وليس المسافات، ممثلة بشكل صحيح.)

أسهل طريقة لحساب موتر ريتشي ومؤثر لابلاس -بيلترامي لمتشعب ريماني ثنائي الأبعاد هي استخدام طريقة الأشكال التفاضلية لإيلي كارتان . خذ حقل الإطار المشترك

${\displaystyle \sigma ^{1}=\exp(p)\,dx,\;\;\sigma ^{2}=\exp(p)\,dy}$

وبذلك يصبح موتر القياس

${\displaystyle \sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}=\exp(2p)\,\left(dx\otimes dx+dy\otimes dy\right).}$

بعد ذلك، بالنظر إلى دالة سلسة عشوائية${\displaystyle h(x,y)}$، احسب المشتقة الخارجية

${\displaystyle dh=h_{x}dx+h_{y}dy=\exp(-p)h_{x}\,\sigma ^{1}+\exp(-p)h_{y}\,\sigma ^{2}.}$

خذ ثنائي هودج

${\displaystyle \star dh=-\exp(-p)h_{y}\,\sigma ^{1}+\exp(-p)h_{x}\,\sigma ^{2}=-h_{y}\,dx+h_{x}\,dy.}$

لنأخذ مشتقًا خارجيًا آخر

${\displaystyle d\star dh=-h_{yy}\,dy\wedge dx+h_{xx}\,dx\wedge dy=\left(h_{xx}+h_{yy}\right)\,dx\wedge dy}$

(حيث استخدمنا خاصية عدم التبديل للمنتج الخارجي ). أي،

${\displaystyle d\star dh=\exp(-2p)\,\left(h_{xx}+h_{yy}\right)\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}.}$

إن أخذ ضربة هودج المزدوجة الأخرى يعطي

${\displaystyle \Delta h=\star d\star dh=\exp(-2p)\,\left(h_{xx}+h_{yy}\right)}$

مما يعطي التعبير المطلوب لمؤثر لابلاس/بيلترامي

${\displaystyle \Delta =\exp(-2\,p(x,y))\left(D_{x}^{2}+D_{y}^{2}\right).}$

لحساب موتر الانحناء، نأخذ المشتقة الخارجية لحقول المتجهات المرافقة التي تشكل إطارنا المرافق:

${\displaystyle d\sigma ^{1}=p_{y}\exp(p)dy\wedge dx=-\left(p_{y}dx\right)\wedge \sigma ^{2}=-{\omega ^{1}}_{2}\wedge \sigma ^{2}}$

${\displaystyle d\sigma ^{2}=p_{x}\exp(p)dx\wedge dy=-\left(p_{x}dy\right)\wedge \sigma ^{1}=-{\omega ^{2}}_{1}\wedge \sigma ^{1}.}$

من هذه التعبيرات، يمكننا استنتاج شكل الاتصال الدوراني المستقل الوحيد.

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=p_{y}dx-p_{x}dy,}$

حيث استفدنا من خاصية عدم التناظر للوصلة (${\displaystyle {\omega ^{2}}_{1}=-{\omega ^{1}}_{2}}$). خذ مشتقًا خارجيًا آخر

${\displaystyle d{\omega ^{1}}_{2}=p_{yy}dy\wedge dx-p_{xx}dx\wedge dy=-\left(p_{xx}+p_{yy}\right)\,dx\wedge dy.}$

وهذا يعطي الانحناء شكلاً ثنائياً

${\displaystyle {\Omega ^{1}}_{2}=-\exp(-2p)\left(p_{xx}+p_{yy}\right)\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}=-\Delta p\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}}$

ومنها يمكننا قراءة المكون الوحيد المستقل خطيًا لموتر ريمان باستخدام

${\displaystyle {\Omega ^{1}}_{2}={R^{1}}_{212}\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}.}$

أي

${\displaystyle {R^{1}}_{212}=-\Delta p}$

والتي منها المكونات غير الصفرية الوحيدة لموتر ريتشي هي

${\displaystyle R_{22}=R_{11}=-\Delta p.}$

ومن هذا، نجد المكونات بالنسبة إلى أساس الإحداثيات ، أي

${\displaystyle R_{xx}=R_{yy}=-\left(p_{xx}+p_{yy}\right).}$

لكن موتر القياس قطري أيضًا، مع

${\displaystyle g_{xx}=g_{yy}=\exp(2p)}$

وبعد بعض التلاعبات الأولية، نحصل على تعبير أنيق لتدفق ريتشي:

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=\Delta p.}$

وهذا يشبه بشكل واضح معادلة الحرارة ، وهي أشهر معادلات الانتشار على الإطلاق.

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u}$

أين الآن؟${\displaystyle \Delta =D_{x}^{2}+D_{y}^{2}}$هو المؤثر لابلاس المعتاد على المستوى الإقليدي. قد يعترض القارئ بأن معادلة الحرارة هي بالطبع معادلة تفاضلية جزئية خطية - فأين اللاخطية الموعودة في المعادلة التفاضلية الجزئية التي تحدد تدفق ريتشي؟

يكمن الجواب في أن اللاخطية تدخل لأن مؤثر لابلاس-بيلترامي يعتمد على نفس الدالة p التي استخدمناها لتعريف المقياس. ولكن لاحظ أن المستوى الإقليدي المسطح يُعطى بأخذ${\displaystyle p(x,y)=0}$لذا إذا${\displaystyle p}$نظرًا لصغر حجمها، يمكننا اعتبارها مؤشرًا على الانحرافات الطفيفة عن هندسة سطح مستوٍ، وإذا اقتصرنا على الحدود من الرتبة الأولى في حساب الدالة الأسية، فإن تدفق ريتشي على مشعب ريماني ثنائي الأبعاد شبه مستوٍ يتحول إلى معادلة الحرارة ثنائية الأبعاد المعتادة. تشير هذه الحسابات إلى أنه كما هو الحال (وفقًا لمعادلة الحرارة) حيث يميل توزيع درجة الحرارة غير المنتظم في صفيحة ساخنة إلى أن يصبح أكثر تجانسًا بمرور الوقت، كذلك (وفقًا لتدفق ريتشي) سيميل مشعب ريماني شبه مستوٍ إلى التسطح بنفس الطريقة التي يمكن بها نقل الحرارة "إلى ما لا نهاية" في صفيحة مستوية لانهائية. ولكن إذا كانت صفيحة التسخين لدينا محدودة الحجم، وليس لها حدود يمكن أن تنتقل منها الحرارة، فيمكننا توقع تجانس درجة الحرارة، ولكن من الواضح أنه لا يمكننا توقع خفضها إلى الصفر. وبالمثل، نتوقع أن يؤدي تدفق ريتشي، المطبق على كرة مستديرة مشوهة، إلى تقريب الشكل الهندسي بمرور الوقت، ولكن ليس إلى تحويله إلى شكل هندسي إقليدي مسطح.

خضع تدفق ريتشي لدراسة مكثفة منذ عام 1981. وقد ركزت بعض الدراسات الحديثة على كيفية تطور مشعبات ريمانية متعددة الأبعاد تحت تأثير تدفق ريتشي، وعلى وجه الخصوص، أنواع المفردات البارامترية التي قد تتشكل. على سبيل المثال، تُظهر فئة معينة من حلول تدفق ريتشي أن مفردات "الانقباض" ستتشكل على مشعب متطور.${\displaystyle n}$مشعب ريماني متري ذو أبعاد n يتمتع بخاصية طوبولوجية معينة ( خاصية أويلر موجبة )، عندما يقترب التدفق من زمن مميز معين${\displaystyle t_{0}}$في بعض الحالات، ستنتج مثل هذه الانقباضات عن طريق توليد مشعبات تسمى سوليتونات ريتشي .

بالنسبة للمتشعب ثلاثي الأبعاد، أوضح بيرلمان كيفية الاستمرار بعد التفردات باستخدام الجراحة على المتشعب .

تظل مقاييس كاهلر كاهلر في ظل تدفق ريتشي، ولذلك تمت دراسة تدفق ريتشي أيضًا في هذا السياق، حيث يطلق عليه تدفق كاهلر-ريتشي .

مقالات موجهة لجمهور رياضي عام.

• أندرسون، مايكل ت. (2004). "هندسة الفضاءات ثلاثية الأبعاد عبر تدفق ريتشي" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات 51 ( 2): 184-193 . MR 2026939 . 
• ميلنور، جون (2003). "نحو حدسية بوانكاريه وتصنيف المشعبات ثلاثية الأبعاد" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات 50 ( 10): 1226-1233 . MR 2009455 . 
• مورغان، جون دبليو. (2005). "التقدم الأخير في حدسية بوانكاريه وتصنيف المشعبات ثلاثية الأبعاد" . نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات (سلسلة جديدة) . 42 (1): 57-78 . doi : 10.1090/S0273-0979-04-01045-6 . MR 2115067 . 
• تاو، ت. (2008). "تدفق ريتشي" (ملف PDF) . في: جوورز، تيموثي ؛ بارو-جرين، جون؛ ليدر، إيمري (محررون). دليل برينستون للرياضيات . مطبعة جامعة برينستون. الصفحات 279-281 . ISBN  978-0-691-11880-2.

مقالات بحثية.

• بوم، كريستوف؛ ويلكينج، بوركهارد (2008). "المتشعبات ذات مؤثرات الانحناء الموجبة هي أشكال فضاء". حوليات الرياضيات (2) . 167 ( 3): 1079-1097 . arXiv : math/0606187 . doi : 10.4007 / annals.2008.167.1079 . JSTOR 40345372. MR 2415394. S2CID 15521923 .   
• بريندل، سيمون (2008). "نتيجة تقارب عامة لتدفق ريتشي في الأبعاد العليا" . مجلة ديوك للرياضيات 145 (3): 585-601 . arXiv : 0706.1218 . doi : 10.1215 / 00127094-2008-059 . MR 2462114. S2CID 438716. Zbl 1161.53052 .   
• بريندل، سيمون ؛ شون، ريتشارد (2009). "المتشعبات ذات الانحناء الربع هي أشكال فضائية". مجلة الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 22 (1): 287-307 . arXiv : 0705.0766 . Bibcode : 2009JAMS...22..287B . doi : 10.1090 / S0894-0347-08-00613-9 . JSTOR 40587231. MR 2449060. S2CID 2901565 .   
• كاو، هواي دونغ ؛ شي بينغ تشو (يونيو 2006). "برهان كامل لتخمينات بوانكاريه والهندسة  - تطبيق نظرية هاميلتون-بيرلمان لتدفق ريتشي" (ملف PDF) . المجلة الآسيوية للرياضيات . 10 (2). MR 2488948 . تصحيح .
  • النسخة المنقحة: هواي دونغ كاو؛ شي بينغ تشو (2006). "برهان هاميلتون-بيرلمان لتخمين بوانكاريه وتخمين الهندسة". arXiv : math.DG/0612069 .
• تشاو، بينيت (1991). " تدفق ريتشي على الكرة ثنائية الأبعاد" . مجلة الهندسة التفاضلية . 33 (2): 325-334 . doi : 10.4310/jdg/1214446319 . MR 1094458. Zbl 0734.53033 .  
• كولدينج، توبياس هـ .؛ مينيكوزي، ويليام ب. الثاني (2005). "تقديرات زمن الانقراض لتدفق ريتشي على بعض المشعبات ثلاثية الأبعاد ومسألة بيرلمان" ( ملف PDF) . مجلة الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 18 (3 ) : 561-569 . arXiv : math/0308090 . doi : 10.1090/S0894-0347-05-00486-8 . JSTOR 20161247. MR 2138137. S2CID 2810043 .   
• هاميلتون، ريتشارد س. ( 1982). "المتشعبات ثلاثية الأبعاد ذات انحناء ريتشي موجب" . مجلة الهندسة التفاضلية . 17 (2): 255-306 . doi : 10.4310/jdg/1214436922 . MR 0664497. Zbl 0504.53034 .  
• هاميلتون، ريتشارد س. ( 1986). "المتشعبات الرباعية ذات مؤثر الانحناء الموجب" . مجلة الهندسة التفاضلية . 24 (2): 153-179 . doi : 10.4310/jdg/1214440433 . MR 0862046. Zbl 0628.53042 .  
• هاميلتون، ريتشارد س. (1988). "تدفق ريتشي على الأسطح". الرياضيات والنسبية العامة (سانتا كروز، كاليفورنيا، 1986) . الرياضيات المعاصرة، المجلد  71. الجمعية الأمريكية للرياضيات، بروفيدنس، رود آيلاند. الصفحات 237-262 . doi : 10.1090/conm/071/954419 . MR 0954419 .  
• هاميلتون، ريتشارد س. (1993 أ ). "تقدير هارناك لتدفق ريتشي" . مجلة الهندسة التفاضلية . 37 (1): 225-243 . doi : 10.4310/jdg/1214453430 . MR 1198607. Zbl 0804.53023 .  
• هاميلتون، ريتشارد س. (1993 ب ). "حلول أبدية لتدفق ريتشي" . مجلة الهندسة التفاضلية . 38 (1): 1-11 . doi : 10.4310/jdg/1214454093 . MR 1231700. Zbl 0792.53041 .  
• هاميلتون، ريتشارد س. (1995 أ ). "خاصية التراص لحلول تدفق ريتشي". المجلة الأمريكية للرياضيات 117 ( 3): 545-572 . doi : 10.2307/2375080 . JSTOR 2375080. MR 1333936 .  
• هاميلتون، ريتشارد س. (1995ب). "تكوين النقاط الشاذة في تدفق ريتشي". دراسات في الهندسة التفاضلية، المجلد الثاني (كامبريدج، ماساتشوستس، 1993) . دار النشر الدولية، كامبريدج، ماساتشوستس. الصفحات 7-136 . doi : 10.4310/SDG.1993.v2.n1.a2 . MR 1375255 .  
• هاميلتون، ريتشارد س. (1997). "المتشعبات الرباعية ذات الانحناء المتساوي الموجب" . مجلة التحليل الهندسي . 5 (1): 1-92 . doi : 10.4310/CAG.1997.v5.n1.a1 . MR 1456308. Zbl 0892.53018 .  
• هاميلتون، ريتشارد س. (1999). "حلول غير شاذة لتدفق ريتشي على مشعبات ثلاثية الأبعاد" . مجلة التحليل الهندسي ، 7 (4): 695-729 . doi : 10.4310/CAG.1999.v7.n4.a2 . MR 1714939 . 
• بروس كلاينر ؛ جون لوت (2008). " ملاحظات على أوراق بيرلمان". الهندسة والطوبولوجيا . 12 (5): 2587-2855 . arXiv : math.DG/0605667 . doi : 10.2140/gt.2008.12.2587 . MR 2460872. S2CID 119133773 .  
• بيرلمان، غريشا (2002). "صيغة الإنتروبيا لتدفق ريتشي وتطبيقاتها الهندسية". arXiv : math/0211159 .
• بيرلمان، غريشا (2003أ). "تدفق ريتشي مع الجراحة على مشعبات ثلاثية". arXiv : math/0303109 .
• بيرلمان، غريشا (2003ب). "زمن انقراض محدود لحلول تدفق ريتشي على بعض المشعبات ثلاثية الأبعاد". arXiv : math/0307245 .

• أندروز، بن؛ هوبر، كريستوفر (2011). تدفق ريتشي في الهندسة الريمانية: برهان كامل لنظرية كرة التضييق التفاضلية من الرتبة 1/4 . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد  2011. هايدلبرغ: سبرينغر. doi : 10.1007/978-3-642-16286-2 . ISBN 978-3-642-16285-5.
• بريندل، سيمون (2010). تدفق ريتشي ونظرية الكرة . دراسات عليا في الرياضيات. المجلد  111. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. doi : 10.1090/gsm/111 . ISBN 978-0-8218-4938-5.
• كاو، إتش دي؛ تشاو، بي؛ تشو، إس سي؛ ياو، إس تي، محرران. (2003). أوراق بحثية مختارة حول تدفق ريتشي . سلسلة في الهندسة والطوبولوجيا. المجلد  37. سومرفيل، ماساتشوستس: دار النشر الدولية. ISBN 1-57146-110-8.
• تشاو، بينيت؛ تشو، صن-تشين؛ جليكنشتاين، ديفيد؛ غونتر، كريستين؛ إيزنبرغ، جيمس؛ آيفي، توم؛ كنوبف، دان؛ لو، بنغ؛ لو، فنغ؛ ني، لي (2007). تدفق ريتشي: التقنيات والتطبيقات. الجزء الأول: الجوانب الهندسية . سلسلة الدراسات والبحوث الرياضية. المجلد  135. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. doi : 10.1090/surv/135 . ISBN 978-0-8218-3946-1.
• تشاو، بينيت؛ تشو، صن-تشين؛ جليكنشتاين، ديفيد؛ غونتر، كريستين؛ إيزنبرغ، جيمس؛ آيفي، توم؛ كنوبف، دان؛ لو، بنغ؛ لو، فنغ؛ ني، لي (2008). تدفق ريتشي: التقنيات والتطبيقات. الجزء الثاني: الجوانب التحليلية . سلسلة الدراسات والبحوث الرياضية. المجلد  144. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. doi : 10.1090/surv/144 . ISBN 978-0-8218-4429-8.
• تشاو، بينيت؛ تشو، صن-تشين؛ جليكنشتاين، ديفيد؛ غونتر، كريستين؛ إيزنبرغ، جيمس؛ آيفي، توم؛ كنوبف، دان؛ لو، بنغ؛ لو، فنغ؛ ني، لي (2010). تدفق ريتشي: التقنيات والتطبيقات. الجزء الثالث: الجوانب الهندسية التحليلية . سلسلة الدراسات والبحوث الرياضية. المجلد  163. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. doi : 10.1090/surv/163 . ISBN 978-0-8218-4661-2.
• تشاو، بينيت؛ تشو، صن-تشين؛ جليكنشتاين، ديفيد؛ غونتر، كريستين؛ إيزنبرغ، جيمس؛ آيفي، توم؛ كنوبف، دان؛ لو، بنغ؛ لو، فنغ؛ ني، لي (2015). تدفق ريتشي: التقنيات والتطبيقات. الجزء الرابع. حلول طويلة الأمد ومواضيع ذات صلة . دراسات وبحوث رياضية. المجلد  206. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. doi : 10.1090/surv/206 . ISBN 978-0-8218-4991-0.
• تشاو، بينيت؛ كنوبف، دان (2004). تدفق ريتشي: مقدمة . دراسات وأبحاث رياضية. المجلد  110. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. doi : 10.1090/surv/110 . ISBN 0-8218-3515-7.
• تشاو، بينيت؛ لو، بينغ؛ ني، لي (2006). تدفق ريتشي لهاملتون . دراسات عليا في الرياضيات. المجلد  77. بكين، نيويورك: الجمعية الرياضية الأمريكية، بروفيدنس، رود آيلاند؛ دار النشر العلمية. doi : 10.1090/gsm/077 . ISBN 978-0-8218-4231-7.
• مورغان، جون دبليو؛ فونغ، فريدريك تسز-هو (2010). تدفق ريتشي وهندسة الفضاءات ثلاثية الأبعاد . سلسلة محاضرات جامعية. المجلد  53. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات. doi : 10.1090/ulect/053 . ISBN 978-0-8218-4963-7.
• مورغان، جون؛ تيان، غانغ (2007). تدفق ريتشي وتخمين بوانكاريه . سلسلة دراسات كلاي في الرياضيات. المجلد  3. بروفيدنس، رود آيلاند وكامبريدج، ماساتشوستس: الجمعية الأمريكية للرياضيات ومعهد كلاي للرياضيات. ISBN 978-0-8218-4328-4.
• مولر، ريتو (2006). متباينات هارناك التفاضلية وتدفق ريتشي . سلسلة محاضرات الجمعية الأوروبية للرياضيات في الرياضيات. المجلد  5. زيورخ: الجمعية الأوروبية للرياضيات (EMS). doi : 10.4171/030 . hdl : 2318/1701023 . ISBN 978-3-03719-030-2.
• توبينغ، بيتر (2006). محاضرات حول تدفق ريتشي . سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية بلندن. المجلد  325. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/CBO9780511721465 . ISBN 0-521-68947-3.
• تشانغ، تشي إس. (2011). متراجحات سوبوليف، ونوى الحرارة في ظل تدفق ريتشي، وتخمين بوانكاريه . بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. ISBN 978-1-4398-3459-6.

• إيزنبرغ، جيمس أ. (23 أبريل 2014). "ريتشي فلو" (فيديو) . برادي هاران . مؤرشف من الأصل بتاريخ 12 ديسمبر 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 أبريل 2014 .