غريغوري بيرلمان

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

غريغوري ياكوفليفيتش بيرلمان ( الروسية : Григорий Яковлевич Пельман ، تنطق [ ɡrʲɪˈɡorʲɪj ˈjakəvlʲɪvʲɪtɕ pʲɪrʲɪlʲˈman ]ⓘ (مواليد 13عالم رياضياتروسي،اشتهر بإسهاماته في مجالاتالتحليل الهندسي،والهندسة الريمانية، والطوبولوجياالهندسية. في عام 2005، استقال بيرلمان من منصبه البحثي في​​معهد ستيكلوف للرياضيات، وفي عام 2006 أعلن اعتزاله العمل في مجال الرياضيات، بسبب شعوره بخيبة أمل إزاء المعايير الأخلاقية السائدة في هذا المجال.يعيش بيرلمان في عزلة في سانت بطرسبرغ، ويرفض طلبات إجراء المقابلات منذ عام 2006. 

في تسعينيات القرن العشرين، وبالتعاون جزئيًا مع يوري بوراجو وميخائيل غروموف وأنطون بيترونين، أسهم في دراسة فضاءات ألكساندروف . وفي عام ١٩٩٤، أثبت حدسية الروح في الهندسة الريمانية، والتي كانت مسألة مفتوحة طوال العشرين عامًا السابقة. وفي عامي ٢٠٠٢ و٢٠٠٣، طوّر تقنيات جديدة في تحليل تدفق ريتشي ، وأثبت حدسية بوانكاريه وحدسية ثورستون الهندسية ، وكانت الأولى منها مسألة مفتوحة شهيرة في الرياضيات طوال القرن الماضي. وقد قام مؤلفون مختلفون على مدى السنوات اللاحقة بتفصيل وشرح أعمال بيرلمان بالكامل.

في أغسطس/آب 2006، عُرض على بيرلمان ميدالية فيلدز [ 1 ] لإسهاماته في الهندسة ورؤيته الثورية للبنية التحليلية والهندسية لتدفق ريتشي، لكنه رفض الجائزة قائلاً: "لست مهتمًا بالمال أو الشهرة؛ لا أريد أن أكون معروضًا كحيوان في حديقة حيوان." [ 2 ] وفي 22 ديسمبر/كانون الأول 2006، اعترفت مجلة ساينس العلمية ببرهان بيرلمان على حدسية بوانكاريه باعتباره " الإنجاز العلمي الأبرز لهذا العام "، وهو أول تقدير من نوعه في مجال الرياضيات. [ 3 ]

في 18 مارس 2010، أُعلن عن استيفائه معايير الحصول على جائزة كلاي الألفية الأولى [ 4 ] لحله حدسية بوانكاريه. وفي 1 يوليو 2010، رفض الجائزة البالغة مليون دولار، مصرحًا بأنه يعتبر قرار مجلس إدارة معهد كلاي غير عادل، إذ أن مساهمته في حل حدسية بوانكاريه لا تتجاوز مساهمة ريتشارد س. هاميلتون ، عالم الرياضيات الذي كان رائدًا في تدفق ريتشي، جزئيًا بهدف دحض الحدسية. [ 5 ] [ 6 ] وكان قد رفض سابقًا الجائزة المرموقة للجمعية الرياضية الأوروبية عام 1996. [ 7 ]

الحياة المبكرة والتعليم

وُلد غريغوري ياكوفليفيتش بيرلمان في لينينغراد ، الاتحاد السوفيتي (سانت بطرسبرغ حاليًا، روسيا) في 13 يونيو 1966، لأبوين يهوديين ، [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] ياكوف (الذي يقيم حاليًا في إسرائيل) [ 8 ] وليوبوف (التي لا تزال تقيم في سانت بطرسبرغ مع بيرلمان). [ 8 ] تخلّت والدة بيرلمان، ليوبوف، عن دراستها العليا في الرياضيات لتربية ابنها. برزت موهبة بيرلمان الرياضية في سن العاشرة، فألحقته والدته ببرنامج تدريب الرياضيات الذي يُقدّمه سيرجي روكشين بعد المدرسة. [ 11 ]

واصل بيرلمان تعليمه الرياضي في مدرسة لينينغراد الثانوية رقم 239 ، وهي مدرسة متخصصة ذات برامج متقدمة في الرياضيات والفيزياء. وقد برع في جميع المواد الدراسية باستثناء التربية البدنية . [ 12 ] في عام 1982، وبعد فترة وجيزة من بلوغه السادسة عشرة من عمره، فاز بميدالية ذهبية كعضو في الفريق السوفيتي في أولمبياد الرياضيات الدولي الذي أقيم في بودابست، محققًا العلامة الكاملة. [ 13 ] ثم واصل دراسته في كلية الرياضيات والميكانيكا بجامعة لينينغراد الحكومية .

بعد حصوله على درجة الدكتوراه عام ١٩٩٠، بدأ بيرلمان العمل في قسم لينينغراد بمعهد ستيكلوف للرياضيات التابع لأكاديمية العلوم في الاتحاد السوفيتي ، حيث كان مشرفاه ألكسندر ألكسندروف ويوري بوراجو . في أواخر الثمانينيات وأوائل التسعينيات، وبفضل توصية قوية من عالم الهندسة ميخائيل غروموف ، [ ١٤ ] حصل بيرلمان على مناصب بحثية في عدة جامعات في الولايات المتحدة. في عام ١٩٩١، فاز بيرلمان بجائزة عالم الرياضيات الشاب من جمعية سانت بطرسبرغ الرياضية عن عمله على فضاءات الانحناء المحدودة من الأسفل لألكساندروف . [ ١٥ ] في عام ١٩٩٢، دُعي لقضاء فصل دراسي في معهد كورانت بجامعة نيويورك ، حيث بدأ العمل على المشعبات ذات الحدود الدنيا لانحناء ريتشي . ومن هناك، قبل زمالة ميلر البحثية لمدة عامين في جامعة كاليفورنيا، بيركلي ، عام 1993. وبعد إثباته لفرضية الروح عام 1994، عُرضت عليه وظائف في العديد من الجامعات المرموقة في الولايات المتحدة، بما في ذلك برينستون وستانفورد ، لكنه رفضها جميعًا وعاد إلى معهد ستيكلوف في سانت بطرسبرغ صيف عام 1995 لشغل وظيفة بحثية فقط. [ 11 ]

الأبحاث المبكرة

الهندسة المحدبة

خلال دراسته الجامعية، تناول بيرلمان قضايا في مجال الهندسة المحدبة . تناولت مقالته الأولى المنشورة البنى التوافقية الناشئة عن تقاطعات المجسمات المحدبة . [P85] وبالتعاون مع إيف بوليكانوفا، وضع صياغة نظرية القياس لنظرية هيلي . [PP86] وفي عام 1987، وهو العام الذي بدأ فيه دراساته العليا، نشر مقالًا يتحكم في حجم الأسطوانات المحيطة بحجم الكرات المحيطة بها . [ P87]

الأسطح الفائقة المنحنية سلبًا

كانت الأسطح ذات الانحناء السالب موضوع دراسات بيرلمان العليا. تمثلت أولى نتائجه في إمكانية تحديد بنية الأسطح متعددة السطوح ذات الانحناء السالب في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد . وقد أثبت أن أي مقياس كامل على المستوى يمكن غمره بشكل مستمر كسطح متعدد السطوح. [P88] لاحقًا، أنشأ مثالًا لسطح فائق أملس في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد ، وهو سطح كامل ذو انحناء غاوسي سالب ومحدود بعيدًا عن الصفر. كانت هناك أمثلة سابقة لمثل هذه الأسطح، لكن سطح بيرلمان كان الأول الذي يُظهر خاصية السرج المتمثلة في عدم وجود مستويات فائقة داعمة محليًا بشكل صارم. [P89] وبذلك، شكّل بناؤه عائقًا إضافيًا أمام توسيع نظرية نيكولاي إيفيموف المعروفة إلى أبعاد أعلى. [ 16 ]

مساحات ألكسندروف

كانت أولى أعمال بيرلمان التي كان لها أثر بالغ على الأدبيات الرياضية في مجال فضاءات ألكساندروف ، الذي يعود مفهومه إلى خمسينيات القرن العشرين. في ورقة بحثية شهيرة شارك في تأليفها مع يوري بوراجو وميخائيل جروموف ، وضع بيرلمان الأسس الحديثة لهذا المجال، معتمدًا على مفهوم تقارب جروموف-هاوسدورف كمبدأ تنظيمي. [BGP92] وفي ورقة بحثية لاحقة غير منشورة، أثبت بيرلمان "نظرية الاستقرار"، مؤكدًا أنه في مجموعة جميع فضاءات ألكساندروف ذات حد انحناء ثابت، تكون جميع عناصر أي كرة مترية صغيرة كافية حول فضاء متراص متماثلة طوبولوجيًا . [ P91] لاحقًا، كتب فيتالي كابوفيتش، الذي وصف مقالة بيرلمان بأنها "صعبة القراءة للغاية"، نسخة مفصلة من برهان بيرلمان، مستخدمًا بعض التبسيطات الإضافية.

طوّر بيرلمان نسخةً من نظرية مورس على فضاءات ألكسندروف. [P93] على الرغم من عدم سلاسة فضاءات ألكسندروف، تمكّن بيرلمان وأنطون بيترونين، في عملٍ غير منشور، من دراسة تدفق التدرج لبعض الدوال. [PP95] كما قدّما مفهوم "المجموعة الجزئية المتطرفة" في فضاءات ألكسندروف، وبيّنا أن باطن بعض المجموعات الجزئية المتطرفة يُحدّد تدرجًا للفضاء بواسطة مشعبات طوبولوجية . [PP93] في عملٍ آخر غير منشور، درس بيرلمان دوال DC (فرق الدوال المقعرة) على فضاءات ألكسندروف، وأثبت أن مجموعة النقاط المنتظمة لها بنية مشعب مُنمذج على دوال DC. [P95d]

نظراً لعمله في فضاءات ألكسندروف، تم تكريم بيرلمان بإلقاء محاضرة مدعوة في المؤتمر الدولي للرياضيات عام 1994. [P95a]

هندسة المقارنة

في عام ١٩٧٢، وضع جيف شيغر وديتليف غرومول نظرية الروح المهمة . تنص هذه النظرية على أن كل مشعب ريماني كامل ذي انحناء قطاعي غير سالب يمتلك مشعبًا فرعيًا مضغوطًا ذا انحناء غير سالب، يُسمى الروح ، وتكون حزمته العمودية متماثلة مع الفضاء الأصلي. من منظور نظرية التماثل ، يعني هذا تحديدًا أنه يمكن اعتبار كل مشعب ريماني كامل ذي انحناء قطاعي غير سالب مغلقًا . افترض شيغر وغرومول أنه إذا كان الانحناء موجبًا تمامًا في مكان ما، فيمكن اعتبار الروح نقطة واحدة، وبالتالي يجب أن يكون الفضاء الأصلي متماثلًا مع الفضاء الإقليدي. في عام ١٩٩٤، قدم بيرلمان برهانًا موجزًا ​​لفرضية شيغر وغرومول، مُثبتًا أنه في ظل شرط الانحناء القطاعي غير السالب، يكون انكماش شرف الدينوف غمرًا . [P94b] نظرية بيرلمان مهمة في إثبات وجود عائق طوبولوجي لتشويه مقياس غير سالب المنحني إلى مقياس موجب المنحني، حتى عند نقطة واحدة.

تناولت بعض أعمال بيرلمان بناء العديد من المشعبات الريمانية المثيرة للاهتمام ذات انحناء ريتشي موجب . وقد وجد مقاييس ريمانية على المجموع المتصل لعدد غير محدود من المستويات الإسقاطية المعقدة ذات انحناء ريتشي موجب، وقطر محدود، وحجم محدود بعيدًا عن الصفر. [P97b] كما وجد مقياسًا كاملًا صريحًا على الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد ذي انحناء ريتشي موجب ونمو حجم إقليدي، بحيث يكون المخروط التقاربي غير مُعرَّف بشكل فريد. [P97c]

الهندسة وتخمينات بوانكاريه

المشاكل

كانت حدسية بوانكاريه ، التي طرحها عالم الرياضيات هنري بوانكاريه عام 1904، تُعتبر طوال القرن العشرين مشكلةً أساسيةً في علم الطوبولوجيا . فعلى الكرة ثلاثية الأبعاد ، المُعرَّفة بأنها مجموعة النقاط التي تبعد وحدة طول عن نقطة الأصل في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد ، يمكن اختزال أي حلقة إلى نقطة. اقترح بوانكاريه أن العكس قد يكون صحيحًا: إذا كان لمتشعب ثلاثي الأبعاد مغلق خاصية إمكانية اختزال أي حلقة إلى نقطة، فإنه لا بد أن يكون مكافئًا طوبولوجيًا للكرة ثلاثية الأبعاد. أثبت ستيفن سميل نظيرًا عالي الأبعاد لحدسية بوانكاريه عام 1961، وأثبت مايكل فريدمان النسخة رباعية الأبعاد عام 1982. [ 17 ] [ 18 ] وعلى الرغم من جهودهما، ظلت حالة الفضاءات ثلاثية الأبعاد دون حلٍّ نهائي. علاوة على ذلك، لم يكن لأساليب سميل وفريدمان أي تأثير على الحالة ثلاثية الأبعاد، حيث يبدو أن عمليات التلاعب الطوبولوجية الخاصة بهم، والتي تقوم بنقل "المناطق الإشكالية" بعيدًا عن الطريق دون التدخل في المناطق الأخرى، تتطلب أبعادًا عالية لكي تعمل.

في عام ١٩٨٢، طوّر ويليام ثورستون منظورًا جديدًا، جاعلاً حدسية بوانكاريه حالةً خاصةً من نظرية هيكلية منهجية افتراضية للطوبولوجيا في ثلاثة أبعاد. افترض اقتراحه، المعروف باسم حدسية ثورستون الهندسية ، أنه لأي فضاء ثلاثي الأبعاد مغلق، توجد مجموعة من الكرات والسطوح ثنائية الأبعاد داخله ، تفصل الفضاء إلى أجزاء منفصلة، ​​يمكن تزويد كل منها ببنية هندسية منتظمة. [ ١٩ ] استطاع ثورستون إثبات حدسيته في ظل بعض الافتراضات المؤقتة. ويرى جون مورغان أنه لم يقتنع معظم علماء الطوبولوجيا بصحة حدسية بوانكاريه إلا من خلال منظور ثورستون المنهجي. [ ٢٠ ]

في الوقت الذي نشر فيه ثورستون حدسيته، قدّم ريتشارد هاميلتون نظريته عن تدفق ريتشي . يُعدّ تدفق ريتشي لهاميلتون وصفةً، مُعرّفةً بمعادلة تفاضلية جزئية تُشابه شكليًا معادلة الحرارة ، لكيفية تشويه المقياس الريماني على سطح متعدد الشعب. تُحاكي معادلة الحرارة، كما هو الحال عند تطبيقها في العلوم على الظواهر الفيزيائية كدرجة الحرارة ، كيفية انتشار تراكيز درجات الحرارة القصوى حتى يتم الوصول إلى درجة حرارة موحدة في جميع أنحاء الجسم. في ثلاث مقالات رائدة نُشرت في ثمانينيات القرن العشرين، أثبت هاميلتون أن معادلته تُحقق ظواهر مماثلة، حيث تنشر الانحناءات القصوى وتُوحّد المقياس الريماني، في سياقات هندسية مُحددة. [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] وكنتيجة ثانوية، تمكّن من إثبات بعض النظريات الجديدة والملفتة في مجال الهندسة الريمانية .

على الرغم من أوجه التشابه الشكلية، فإن معادلات هاميلتون أكثر تعقيدًا ولا خطية بشكل ملحوظ من معادلة الحرارة، ومن المستحيل تحقيق هذا التوحيد دون افتراضات سياقية. في الحالات العامة تمامًا، لا مفر من ظهور "نقاط تفرد"، أي أن الانحناء يتراكم إلى مستويات لانهائية بعد مرور فترة زمنية محددة. بعد اقتراح شينغ تونغ ياو بأن الفهم التفصيلي لهذه النقاط المتفردة قد يكون ذا دلالة طوبولوجية، ولا سيما أن مواقعها قد تحدد الكرات والحلقات في حدسية ثورستون ، بدأ هاميلتون تحليلًا منهجيًا. [ 24 ] خلال تسعينيات القرن العشرين، توصل إلى عدد من النتائج والأساليب التقنية الجديدة، [ 25 ] والتي توجت بنشر بحث عام 1997 يبني "تدفق ريتشي مع الجراحة" للفضاءات رباعية الأبعاد . [ 26 ] كتطبيق لبنائه، تمكن هاميلتون من حسم نظير رباعي الأبعاد قائم على الانحناء لحدسية بوانكاريه. صنّف ياو هذه المقالة كإحدى أهم المقالات في مجال التحليل الهندسي ، قائلاً إنه مع نشرها اتضح أن تدفق ريتشي قد يكون كافياً لحسم حدسية ثورستون. [ 27 ] كان جوهر تحليل هاميلتون هو الفهم الكمي لكيفية ظهور النقاط الشاذة في إطاره رباعي الأبعاد؛ أما الصعوبة الأبرز فكانت في الفهم الكمي لكيفية ظهورها في الأطر ثلاثية الأبعاد. ورغم أن هاميلتون لم يتمكن من حل هذه المسألة، إلا أنه نشر عام 1999 بحثاً حول تدفق ريتشي في ثلاثة أبعاد، موضحاً أنه إذا أمكن تطوير نسخة ثلاثية الأبعاد من تقنياته الجراحية، وإذا أمكن إثبات حدسية معينة حول سلوك تدفق ريتشي على المدى الطويل، فسيتم حل حدسية ثورستون. [ 28 ] عُرف هذا لاحقاً ببرنامج هاميلتون.

عمل بيرلمان

في نوفمبر 2002 ومارس 2003، نشر بيرلمان ورقتين بحثيتين أوليتين على موقع arXiv ، زعم فيهما أنه قدّم برهانًا على حدسية ثورستون. [P02] [P03a] وفي ورقة بحثية ثالثة نُشرت في يوليو 2003، قدّم بيرلمان حجة إضافية، كافية لإثبات حدسية بوانكاريه (ولكن ليس حدسية ثورستون)، وكان الهدف هو تجنّب العمل التقني الأكثر تعقيدًا في ورقته البحثية الأولية الثانية. [P03b]

تضمنت النسخة الأولية لبيرلمان نتيجتين أساسيتين، كلتاهما تتعلقان بتدفق ريتشي. الأولى، الصالحة في أي بُعد، استندت إلى تكييف مبتكر لمتراجحات هارناك التفاضلية لبيتر لي وشينغ-تونغ ياو لتناسب سياق تدفق ريتشي. [ 29 ] من خلال إثبات متراجحة بيشوب-غروموف لدالة طول لي-ياو الناتجة، أثبت بيرلمان "نظرية عدم الانهيار" الشهيرة لتدفق ريتشي، مؤكدًا أن التحكم الموضعي في حجم الانحناء يستلزم التحكم في الأحجام. تكمن أهمية نظرية عدم الانهيار في أن التحكم في الحجم هو أحد الشروط المسبقة لنظرية هاميلتون للتراص . ونتيجة لذلك، يمكن تطبيق تراص هاميلتون وما يقابله من وجود نهايات متتالية بحرية نسبية.

تُعدّ "نظرية الجوارات الأساسية" ثاني أهم نتائج بحث بيرلمان الأول. في هذه النظرية، حقق بيرلمان فهمًا كميًا لحالات التفرد في تدفق ريتشي ثلاثي الأبعاد، وهو فهمٌ عجز عنه هاميلتون. باختصار، بيّن بيرلمان أنه على المستوى المجهري، تبدو كل حالة تفرد إما كأنها أسطوانة تنهار على محورها، أو كرة تنهار على مركزها. يُعتبر برهان بيرلمان لنظرية الجوارات الأساسية إنجازًا تقنيًا بالغ الأهمية، إذ يستند إلى حججٍ مُستفيضة بالتناقض، حيث تُطبّق نظرية هاميلتون للتراص (كما تُسهّلها نظرية بيرلمان لعدم الانهيار) لإنشاء مشعبات متناقضة ذاتيًا.

تتضمن النتائج الأخرى في النسخة الأولية لبيرلمان إدخال بعض الكميات الرتيبة و"نظرية شبه الموضعية" التي تربط بين التحكم في الانحناء والتساوي المحيطي . ومع ذلك، على الرغم من كونها نتائج مهمة في نظرية تدفق ريتشي، لم تُستخدم هذه النتائج في بقية أعماله.

استخدم النصف الأول من النسخة الأولية الثانية لبيرلمان، بالإضافة إلى تصحيح بعض العبارات والحجج غير الصحيحة من الورقة الأولى، نظرية الجوار الكنسي الخاصة به لبناء تدفق ريتشي مع الجراحة في ثلاثة أبعاد، حيث قام باستئصال المناطق الشاذة بشكل منهجي أثناء تطورها. وكنتيجة مباشرة لبنائه، حلّ بيرلمان تخمينًا رئيسيًا حول التصنيف الطوبولوجي في ثلاثة أبعاد للمشعبات المغلقة التي تقبل مقاييس ذات انحناء قياسي موجب . وأظهرت نسخته الأولية الثالثة (أو بديلًا لذلك، عمل كولدينغ ومينيكوزي) أنه على أي فضاء يحقق افتراضات تخمين بوانكاريه ، فإن تدفق ريتشي مع الجراحة موجود فقط لفترة زمنية محدودة ، وبالتالي فإن تحليل تدفق ريتشي في زمن لا نهائي غير ذي صلة. ويُعد بناء تدفق ريتشي مع الجراحة نتيجة طبيعية لتخمين بوانكاريه.

لحلّ حدسية ثورستون ، خُصص النصف الثاني من النسخة الأولية الثانية لبيرلمان لتحليل تدفقات ريتشي مع الجراحة، والتي قد تستمر إلى ما لا نهاية. لم يتمكن بيرلمان من حلّ حدسية هاميلتون لعام ١٩٩٩ بشأن السلوك طويل الأمد، والتي من شأنها أن تجعل حدسية ثورستون نتيجةً أخرى لوجود تدفق ريتشي مع الجراحة. مع ذلك، استطاع بيرلمان تكييف حجج هاميلتون مع الشروط الدقيقة لتدفق ريتشي الجديد مع الجراحة. استندت نهاية حجة هاميلتون إلى نظرية جيف شيغر وميخائيل غروموف التي تُحدد خصائص المشعبات المنهارة . في تكييف بيرلمان، استلزم استخدام نظرية جديدة تُحدد خصائص المشعبات التي يُفترض فيها الانهيار على المستوى المحلي فقط. في نسخته الأولية، ذكر أن برهان نظريته سيُثبت في ورقة بحثية أخرى، لكنه لم يُفصح عن أي تفاصيل إضافية. وقد نُشرت البراهين لاحقاً بواسطة تاكاشي شيويا وتاكاو ياماغوتشي، [ 30 ] وجون مورغان وجانغ تيان ، [ 31 ] وجيانغوو كاو وجيان غي، [ 32 ] وبروس كلاينر وجون لوت . [ 33 ]

تَحَقّق

سرعان ما حظيت منشورات بيرلمان الأولية باهتمام الأوساط الرياضية، على الرغم من أنها اعتُبرت صعبة الفهم نظرًا لأسلوبها الموجز. وخلافًا للأسلوب المعتاد في المنشورات الرياضية الأكاديمية، فقد حُذفت العديد من التفاصيل التقنية. وسرعان ما اتضح أن بيرلمان قدّم إسهاماتٍ جوهرية في أسس تدفق ريتشي، مع أنه لم يكن واضحًا للأوساط الرياضية في البداية ما إذا كانت هذه الإسهامات كافية لإثبات حدسية الهندسة أو حدسية بوانكاريه.

في أبريل 2003، زار بيرلمان معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، وجامعة برينستون ، وجامعة ستوني بروك ، وجامعة كولومبيا ، وجامعة نيويورك لإلقاء سلسلة محاضرات قصيرة حول أعماله، ولتوضيح بعض التفاصيل للخبراء في المجالات ذات الصلة. وفي السنوات اللاحقة، نُشرت ثلاثة شروحات تفصيلية، سيتم تناولها لاحقًا. ومنذ ذلك الحين، ظهرت أجزاء مختلفة من أعمال بيرلمان في عدد من الكتب الدراسية والمقالات التوضيحية.

  • في يونيو/حزيران 2003، نشر بروس كلاينر وجون لوت، وكلاهما كانا يعملان آنذاك في جامعة ميشيغان ، ملاحظات على موقع لوت الإلكتروني، شرحا فيها، قسمًا تلو الآخر، تفاصيل النسخة الأولية الأولى لبيرلمان. وفي سبتمبر/أيلول 2004، تم تحديث ملاحظاتهما لتشمل النسخة الأولية الثانية لبيرلمان. وبعد مزيد من المراجعات والتصويبات، نشرا نسخة على موقع arXiv في 25 مايو/أيار 2006، ونُشرت نسخة مُعدّلة منها في المجلة الأكاديمية " الهندسة والطوبولوجيا" عام 2008. [ 34 ] وفي المؤتمر الدولي للرياضيات عام 2006 ، قال لوت: "لقد استغرقنا بعض الوقت لدراسة عمل بيرلمان. ويعود ذلك جزئيًا إلى أصالة عمله، وجزئيًا إلى الدقة التقنية لحججه. وتشير جميع الدلائل إلى صحة حججه". وفي مقدمة مقالتهما، أوضح كلاينر ولوت ما يلي:

براهين بيرلمان موجزة، وأحيانًا غير مكتملة. تهدف هذه الملاحظات إلى توفير التفاصيل المفقودة في [أول ورقتين بحثيتين لبيرلمان]... فيما يتعلق بالبراهين، تحتوي [أوراق بيرلمان] على بعض العبارات غير الصحيحة والحجج غير المكتملة، والتي حاولنا توضيحها للقارئ. (تم تصحيح بعض الأخطاء الواردة في [ورقة بيرلمان الأولى] في [ورقة بيرلمان الثانية]). لم نجد أي مشاكل جوهرية، أي مشاكل لا يمكن تصحيحها باستخدام الطرق التي قدمها بيرلمان.

منذ نشر مقالة كلاينر ولوت عام 2008، نُقّحت مرتين لاحقتين لتصحيح بعض الأخطاء، منها خطأ في صياغة "نظرية التراص" المهمة لهاملتون فيما يخص تدفق ريتشي. وكان آخر تنقيح للمقالة عام 2013.
  • في يونيو 2006، نشرت المجلة الآسيوية للرياضيات مقالًا لهواي دونغ كاو من جامعة ليهاي وتشو شيبينغ من جامعة صن يات صن ، يقدمان فيه وصفًا وافيًا لبرهان بيرلمان على حدسية بوانكاريه وحدسية الهندسة. وعلى عكس مقال كلاينر ولوت، الذي كان عبارة عن مجموعة من التعليقات على أوراق بيرلمان، فقد استهدف مقال كاو وتشو مباشرةً شرح براهين حدسية بوانكاريه وحدسية الهندسة. وفي مقدمتهما، يوضحان ما يلي:

في هذه الورقة، سنقدم نظرية هاميلتون-بيرلمان لتدفق ريتشي. واستنادًا إليها، سنقدم أول عرض مكتوب لبرهان كامل لتخمين بوانكاريه وتخمين ثورستون الهندسي. مع أن هذا العمل الكامل هو ثمرة جهود متراكمة للعديد من المحللين الهندسيين، إلا أن المساهمين الرئيسيين فيه بلا شك هما هاميلتون وبيرلمان. [...] في هذه الورقة، سنقدم براهين كاملة ومفصلة [...] لا سيما لعمل بيرلمان في ورقته الثانية، حيث تم تلخيص العديد من الأفكار الرئيسية للبراهين، ولكن غالبًا ما تغيب التفاصيل الكاملة للبراهين. وكما أشرنا سابقًا، علينا استبدال العديد من حجج بيرلمان الرئيسية بمناهج جديدة مبنية على دراستنا، لأننا لم نتمكن من فهم حجج بيرلمان الأصلية هذه، والتي تُعد ضرورية لإتمام برنامج الهندسة.

استنادًا أيضًا إلى عنوان المقال "برهان كامل لفرضيات بوانكاريه والهندسة - تطبيق نظرية هاميلتون-بيرلمان لتدفق ريتشي" وعبارة "يجب اعتبار هذا البرهان الإنجاز الأبرز لنظرية هاميلتون-بيرلمان لتدفق ريتشي" الواردة في الملخص، فسّر البعض أن كاو وتشو ينسبان الفضل لأنفسهما بدلًا من بيرلمان. [ 35 ] وعندما سُئل بيرلمان عن هذه المسألة، قال إنه لم يلحظ أي إضافة جديدة من كاو وتشو، وأنهما "لم يفهما الحجة تمامًا وقاما بإعادة صياغتها". [ 35 ] علاوة على ذلك، كانت إحدى صفحات مقال كاو وتشو مطابقة تمامًا لإحدى صفحات منشور كلاينر ولوت عام 2003. في تصحيح منشور [ 36 ] ، عزا كاو وتشو هذا الخطأ إلى سهو، قائلين إنهما في عام 2003 قد حذفا ملاحظات من النسخة الأولية لملاحظات كلاينر ولوت، وفي كتابتهما عام 2006 لم يدركا المصدر الصحيح لتلك الملاحظات. وقد نشرا نسخة منقحة على موقع ArXiv [ 37 ] مع تعديلات في صياغتهما وفي الصفحة ذات الصلة من البرهان.
  • في يوليو/تموز 2006، نشر جون مورغان من جامعة كولومبيا وجانغ تيان من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ورقة بحثية على موقع arXiv، قدّما فيها عرضًا تفصيليًا لبرهان بيرلمان على حدسية بوانكاريه. [ 38 ] وعلى عكس شروح كلاينر-لوت وكاو-تشو، تناول شرح مورغان وتيان أيضًا ورقة بيرلمان البحثية الثالثة. في 24 أغسطس/آب 2006، ألقى مورغان محاضرة في المؤتمر الدولي للرياضيات في مدريد حول حدسية بوانكاريه، أعلن فيها أن عمل بيرلمان قد خضع "للتدقيق الشامل". [ 39 ] في عام 2015، أشار عباس بحري إلى مثال مضاد لإحدى نظريات مورغان وتيان، والتي صحّحها مورغان وتيان لاحقًا، وعُزيت إلى معادلة تطور محسوبة بشكل خاطئ. [ 40 ] [ 41 ] يتعلق الخطأ، الذي أدخله مورغان وتيان، بتفاصيل لم تُناقش بشكل مباشر في عمل بيرلمان الأصلي. في عام 2008، نشر مورغان وتيان ورقة بحثية تناولت تفاصيل برهان حدسية الهندسة. [ 42 ] وقد نُشرت مقالتا مورغان وتيان في كتاب من قِبل معهد كلاي للرياضيات.

ميدالية فيلدز وجائزة الألفية

في مايو/أيار 2006، صوتت لجنة مؤلفة من تسعة رياضيين على منح بيرلمان ميدالية فيلدز لعمله على تدفق ريتشي. [ 35 ] إلا أن بيرلمان رفض قبول الجائزة. وفي يونيو/حزيران 2006، تواصل السير جون إم. بول ، رئيس الاتحاد الدولي للرياضيات ، مع بيرلمان في سانت بطرسبرغ لإقناعه بقبول الجائزة. وبعد عشر ساعات من محاولات الإقناع على مدى يومين، استسلم بول. وبعد أسبوعين، لخص بيرلمان المحادثة على النحو التالي: [ 35 ]

اقترح عليّ ثلاثة خيارات: القبول والحضور؛ القبول وعدم الحضور، وسنرسل لك الميدالية لاحقًا؛ ثالثًا، عدم قبول الجائزة. منذ البداية، أخبرته أنني اخترت الخيار الثالث... لم تكن الجائزة ذات أهمية بالنسبة لي على الإطلاق. كان الجميع يدرك أنه إذا كان الدليل صحيحًا، فلا حاجة لأي تقدير آخر.

ونُقل عنه قوله: [ 43 ]

لا يهمني المال أو الشهرة، ولا أريد أن أكون محط أنظار الجميع كحيوان في حديقة حيوانات. لستُ بطلاً في الرياضيات، ولا حتى ناجحاً إلى هذا الحد؛ ولهذا السبب لا أريد أن أكون محط أنظار الجميع.

مع ذلك، في 22 أغسطس/آب 2006، خلال المؤتمر الدولي للرياضيات في مدريد ، مُنح بيرلمان ميدالية فيلدز "لمساهماته في الهندسة ورؤيته الثورية في البنية التحليلية والهندسية لتدفق ريتشي". [ 44 ] لم يحضر بيرلمان الحفل، وأبلغ مقدم الجائزة المؤتمر برفضه استلام الميدالية، ليصبح بذلك الشخص الوحيد الذي رفض الجائزة على الإطلاق. [ 7 ] [ 45 ]

كما رفض جائزة مرموقة من الجمعية الرياضية الأوروبية . [ 7 ]

في 18 مارس 2010، مُنح بيرلمان جائزة الألفية لحلّه هذه المسألة. [ 46 ] وفي 8 يونيو 2010، تغيّب عن حفل تكريمه في معهد علوم المحيطات في باريس لتسلّم جائزته البالغة مليون دولار. [ 47 ] ووفقًا لوكالة إنترفاكس ، رفض بيرلمان قبول جائزة الألفية في يوليو 2010. واعتبر قرار معهد كلاي بعدم تقاسم الجائزة مع ريتشارد إس. هاميلتون غير عادل ، [ 5 ] وصرح قائلاً: "السبب الرئيسي هو اختلافي مع المجتمع الرياضي المنظم. لا أوافق على قراراتهم، وأعتبرها مجحفة." [ 6 ]

استخدم معهد كلاي لاحقًا أموال جائزة بيرلمان لتمويل "كرسي بوانكاريه"، وهو منصب مؤقت للرياضيين الشباب الواعدين في معهد هنري بوانكاريه في باريس . [ 48 ]

احتمال الانسحاب من الرياضيات

استقال بيرلمان من وظيفته في معهد ستيكلوف في ديسمبر 2005. [ 49 ] ويُقال إن أصدقاءه ذكروا أنه يجد الرياضيات موضوعًا مؤلمًا للنقاش في الوقت الحالي؛ وبحلول عام 2010، قال البعض إنه قد تخلى عن الرياضيات تمامًا. [ 50 ]

نُقل عن بيرلمان في مقال نُشر عام 2006 في مجلة نيويوركر قوله إنه شعر بخيبة أمل من المعايير الأخلاقية في مجال الرياضيات. ويشير المقال ضمناً إلى أن بيرلمان كان يقصد تحديداً الجهود المزعومة التي بذلها شينغ تونغ ياو، الحائز على ميدالية فيلدز ، للتقليل من شأن دور بيرلمان في البرهان وإبراز عمل كاو وتشو . وأضاف بيرلمان: [ 35 ]

لا أستطيع القول إنني غاضب. هناك من يرتكبون ما هو أسوأ. بالطبع، هناك العديد من علماء الرياضيات الذين يتسمون بالأمانة إلى حد ما. لكن معظمهم من الملتزمين بالمعايير. هم صادقون إلى حد ما، لكنهم يتسامحون مع من لا يتسمون بالأمانة. [...] ليس من يُخالف المعايير الأخلاقية هم من يُنظر إليهم كغرباء، بل أمثالي هم من يُعزلون.

هذا، بالإضافة إلى إمكانية حصوله على ميدالية فيلدز ، دفعه إلى التصريح بأنه ترك الرياضيات المهنية بحلول عام 2006. وقال: [ 35 ]

طالما لم أكن ملفتًا للنظر، كان لدي خياران: إما أن أفعل شيئًا قبيحًا ، أو أن أُعامل كحيوان أليف إن لم أفعل ذلك. أما الآن، وقد أصبحت شخصًا ملفتًا للنظر، فلا يمكنني البقاء كحيوان أليف صامتًا. لهذا السبب اضطررت للاستقالة.

لم يتضح ما إذا كان بيرلمان قد توقف عن أبحاثه في الرياضيات بالتزامن مع استقالته من ستيكلوف وعزلته اللاحقة. وقال ياكوف إلياشبرغ ، وهو عالم رياضيات روسي آخر ، إن بيرلمان أسرّ له في عام 2007 بأنه يعمل على أمور أخرى، لكن من السابق لأوانه مناقشتها. وقد أبدى بيرلمان اهتمامًا بمعادلات نافيير-ستوكس ومسألة وجود حلولها وسلاستها ، وفقًا لمجلة لو بوان . [ 51 ]

في عام ٢٠١٤، أفادت وسائل الإعلام الروسية أن بيرلمان كان يعمل في مجال تكنولوجيا النانو في السويد . [ ٥٢ ] ولكن بعد ذلك بوقت قصير، شوهد مجدداً في مسقط رأسه سانت بطرسبرغ . [ ٥٢ ] وتكهنت وسائل الإعلام الروسية بأنه يزور شقيقته في السويد بشكل دوري، بينما يقيم في سانت بطرسبرغ ويعتني بوالدته المسنة. [ ٥٣ ]

بيرلمان ووسائل الإعلام

تجنّب بيرلمان الصحفيين وغيرهم من أعضاء وسائل الإعلام. ولم يتمكّن م. جيسن ، مؤلف سيرة بيرلمان بعنوان " الدقة المثالية: عبقري والاختراق الرياضي للقرن" ، من مقابلته. [ 54 ] وقد قيل لأحد المراسلين الذي اتصل به: "أنت تزعجني. أنا أقطف الفطر." [ 55 ]

صدر في عام 2011 فيلم وثائقي روسي عن بيرلمان يناقش فيه عمله عدد من كبار علماء الرياضيات، بمن فيهم ميخائيل غروموف ، ولودفيغ فادييف ، وأناتولي فيرشيك ، وغانغ تيان ، وجون مورغان ، وغيرهم، تحت عنوان "Иноходец. Урок Перельмана" ("المتمرد: درس بيرلمان"). [ 56 ]

في أبريل/نيسان 2011، ادّعى ألكسندر زابروفسكي، منتج استوديو بريزيدنت-فيلم، أنه أجرى مقابلة مع بيرلمان ووافق على تصوير فيلم عنه، تحت عنوان مبدئي " معادلة الكون" . [ 57 ] وقال زابروفسكي إن بيرلمان شرح في المقابلة سبب رفضه جائزة المليون دولار. [ 57 ] ويعتقد عدد من الصحفيين أن مقابلة زابروفسكي مزيفة على الأرجح، مشيرين إلى تناقضات في تصريحات منسوبة إلى بيرلمان. [ 58 ] [ 59 ] [ 60 ]

تفاعل الكاتب بريت فورست لفترة وجيزة مع بيرلمان في عام 2012. [ 61 ] [ 62 ]

المنشورات

أطروحة

  • بيرلمان، غريغوري ياكوفليفيتش (1990). Седловые повранности в евклидовый пространствах [ أسطح السرج في المساحات الإقليدية ] (بالروسية). جامعة لينينغراد الحكومية .

أوراق بحثية

ص85.
بيرلمان، ج. يا. (1985). "تحقيق الهياكل العظمية المجردة من الرتبة k كهياكل عظمية من الرتبة k لتقاطعات متعددات السطوح المحدبة في R 2k − 1 ". في: إيفانوف، ل. د. (محرر). مسائل هندسية في نظرية الدوال والمجموعات . كالينين: جامعة كالينين الحكومية . ص 129-131 . MR 0829936. Zbl 0621.52003 .   
ص86.
بوليكانوفا، الرابع؛ بيرلمان، ج. (1986). "ملاحظة على نظرية هيلي" . سيبيرسكيج ماتاتيسكيج زورنال . 27 (5) : 191- 194.ر.م 0873724 . زبل 0615.52009 .  
ص87.
بيرلمان، جي . يا. (1987). "نصف قطر k لجسم محدب". المجلة الرياضية السيبيرية . 28 (4): 665-666 . Bibcode : 1987SibMJ..28..665P . doi : 10.1007/BF00973857 . MR 0906047. S2CID 122265141. Zbl 0637.52009 .   
ص88.
بيرلمان، ج . يا. (1991). "أسطح السرج متعددة السطوح". مجلة الرياضيات السوفيتية . 54 (1): 735-740 . doi : 10.1007/BF01097421 . ISSN 0090-4104 . MR 0971977. S2CID 121040191 .   
ص89.
بيرلمان، ج. يا. (1992). "مثال على سطح سرجي كامل في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد ذي انحناء غاوسي محدود بعيدًا عن الصفر" ( ملف PDF) . مجلة الرياضيات السوفيتية . 59 (2): 760-762 . doi : 10.1007/BF01097177 . ISSN 0090-4104 . MR 1049373. S2CID 121011846. تاريخ الاسترجاع: 13 يناير 2025 .   
BGP92.
بوراجو، يو؛ جروموف، م. بيرلمان، جي (30 أبريل 1992). “مساحات AD Alexandrov مع انحناء يحدها من الأسفل”. المسوحات الرياضية الروسية . 47 (2): 1– 58. دوى : 10.1070/RM1992v047n02ABEH000877 . ISSN 0036-0279 . السيد 1185284 . S2CID 250908096 . زبل 0802.53018 .    
P95a.
بيرلمان، ج. (1995). "الفضاءات ذات الانحناء المحدود من الأسفل" (ملف PDF) . في: تشاتيرجي، إس. دي. (محرر). وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات، المجلد 1. زيورخ، سويسرا (3-11 أغسطس 1994). بازل: بيركهاوزر . الصفحات 517-525 . doi : 10.1007/978-3-0348-9078-6 . ISBN  3-7643-5153-5. السيد 1403952 . زبل 0838.53033 .  
P97a.
بيرلمان، ج. (1997). "الانهيار بدون مجموعات جزئية متطرفة فعلية" (ملف PDF) . في: غروف، كارستن ؛ بيترسن، بيتر (محرران). هندسة المقارنة . السنة الخاصة في الهندسة التفاضلية، بيركلي، كاليفورنيا، 1993-1994. منشورات معهد أبحاث العلوم الرياضية. المجلد  30. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . الصفحات 149-155 . ISBN  0-521-59222-4MR 1452871. Zbl 0887.53049 . مؤرشف من الأصل (PDF) بتاريخ 25 أغسطس 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 يوليو 2020 .  
P97b.
بيرلمان، ج. (1997). "بناء متعددات الشعب ذات انحناء ريتشي موجب بحجم كبير وأعداد بيتي كبيرة" (ملف PDF) . في: غروف، كارستن ؛ بيترسن، بيتر (محرران). هندسة المقارنة . السنة الخاصة في الهندسة التفاضلية التي عُقدت في بيركلي، كاليفورنيا، 1993-1994. منشورات معهد أبحاث العلوم الرياضية. المجلد  30. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 157-163 . ISBN  0-521-59222-4. السيد 1452872 . زبل 0890.53038 .  
P97c.
بيرلمان، ج. (1997). "مشعب ريماني كامل ذو انحناء ريتشي موجب مع نمو حجمي إقليدي ومخروط تقاربي غير وحيد" (ملف PDF) . في: غروف، كارستن ؛ بيترسن، بيتر (محرران). هندسة المقارنة . السنة الخاصة في الهندسة التفاضلية التي عُقدت في بيركلي، كاليفورنيا، 1993-1994. منشورات معهد أبحاث العلوم الرياضية. المجلد  30. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 165-166 . ISBN  0-521-59222-4MR 1452873. Zbl 0887.53038 . مؤرشف من الأصل (PDF) بتاريخ 27 أغسطس 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 يوليو 2020 .  

عمل غير منشور

ص91.
بيرلمان، ج. (1991). فضاءات ألكسندروف ذات الانحناءات المحدودة من الأسفل II (PDF) (نسخة أولية).
PP95.
بيرلمان، ج.؛ بيترونين، أ. (1995). شبه الجيوديسية ومنحنيات التدرج في فضاءات ألكسندروف (PDF) (نسخة أولية).
P95d.
بيرلمان، ج. (1995). بنية DC على فضاء ألكسندروف (نسخة أولية) (PDF) (نسخة أولية).
P02.
بيرلمان، غريشا (2002). "صيغة الإنتروبيا لتدفق ريتشي وتطبيقاتها الهندسية". arXiv : math/0211159 .Zbl 1130.53001 
P03a.
بيرلمان، غريشا (2003). "تدفق ريتشي مع الجراحة على مشعبات ثلاثية". arXiv : math/0303109 .Zbl 1130.53002 
P03b.
بيرلمان، غريشا (2003). "زمن انقراض محدود لحلول تدفق ريتشي على بعض المشعبات ثلاثية الأبعاد". arXiv : math/0307245 .Zbl 1130.53003 

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ فسر مؤلفو مجلة نيويوركر إشارة بيرلمان إلى "شيء قبيح" على أنها "ضجة" من جانب بيرلمان بشأن الانتهاكات الأخلاقية التي لاحظها.

مراجع

  1. ↑ "ميداليات فيلدز 2006" . mathunion.org . الاتحاد الرياضي الدولي. مؤرشف من الأصل في 17 يونيو 2013. تم الاطلاع عليه في 30 أبريل 2006 .
  2. ↑ «حثّ عبقري الرياضيات الروسي بيرلمان على قبول جائزة المليون دولار» . بي بي سي نيوز . 24 مارس 2010.
  3. ↑ ماكنزي، دانا (2006). "إنجاز العام: إثبات حدسية بوانكاريه " . مجلة ساينس . 314 (5807): 1848-1849 . doi : 10.1126/science.314.5807.1848 . PMID 17185565 .  
  4. ↑ "تخمين بوانكاريه" . claymath.org . مؤرشف من الأصل في 5 يوليو 2014. تم الاطلاع عليه في 1 مايو 2014 .
  5. 1 2 "Последнее 'нет' доктора Пельмана" [ "لا" النهائية للدكتور بيرلمان ] (بالروسية). انترفاكس . 1 يوليو 2010 مؤرشفة من الأصلي في 2 يوليو 2010 . تم الاسترجاع 1 يوليو 2010 .
  6. 1 2 ريتر، مالكولم (1 يوليو 2010). "عالم رياضيات روسي يرفض جائزة مليون دولار" . أسوشيتد برس . مؤرشف من الأصل في 17 يناير 2012. تم الاطلاع عليه في 15 مايو 2011 - عبر PhysOrg .
  7. 1 2 3 "عبقري الرياضيات يرفض الجائزة الكبرى" . بي بي سي نيوز. 22 أغسطس 2006. مؤرشف من الأصل في 15 أغسطس 2010.
  8. 1 2 3 أوزبورن، أندرو؛ كريپشيفا، أولغا (27 مارس 2010). "عبقري الرياضيات الروسي قد يرفض جائزة مليون دولار" . صحيفة ديلي تلغراف . مؤرشف من الأصل في 30 مارس 2010. تم الاسترجاع في 2 يوليو 2010. لقد عانى من معاداة السامية (فهو يهودي).... غريغوري يهودي خالص ولم أمانع ذلك أبدًا، لكن رؤسائي اعترضوا .
  9. ↑ ماكي، روبن (27 مارس 2011). "الدقة المثالية: عبقرية والاختراق الرياضي للقرن بقلم ماشا جيسن - مراجعة" . صحيفة الغارديان . مؤرشف من الأصل في 4 أكتوبر 2013. تم الاطلاع عليه في 23 أغسطس 2013. بالنظر إلى أن والديه كانا يهوديين، فقد كان بيرلمان، المولود عام 1966 ، محظوظًا بمن تبنّوا قضيته.
  10. ↑ جيسن (2009 ، ص 48) 
  11. 1 2 باولوس، جون ألين (29 أبريل 2010). "لقد تغلب على التخمين" . مراجعة نيويورك للكتب . 57 (7).
  12. ↑ «ماثسبوتين غريب الأطوار يرفض جائزة المليون دولار» . فوكس نيوز . مؤرشف من الأصل في 15 يوليو 2014. تم الاطلاع عليه في 8 يوليو 2014 .
  13. ↑ "الأولمبياد الدولي للرياضيات" . imo-official.org . مؤرشف من الأصل في 2 نوفمبر 2012. تم الاطلاع عليه في 25 ديسمبر 2012 .
  14. ↑ جيسن (2009 ، ص 45) 
  15. ↑ "جائزة عالم الرياضيات الشاب من جمعية سانت بطرسبرغ الرياضية " . mathsoc.spb.ru
  16. ↑ إيفيموف، ن. ف. (1964). "توليد النقاط الشاذة على أسطح ذات انحناء سالب". مجموعة الرياضيات . السلسلة الجديدة. 64 (106): 286-320 .
  17. ↑ سميل، ستيفن (1961). "تخمين بوانكاريه المعمم في أبعاد أكبر من أربعة". حوليات الرياضيات : 391-406 .
  18. ↑ فريدمان، مايكل هارتلي (1982). "طوبولوجيا المشعبات رباعية الأبعاد". مجلة الهندسة التفاضلية . 17 (3): 357-453 .
  19. ↑ ثورستون، ويليام ب. (1982). "المشعبات ثلاثية الأبعاد، ومجموعات كلاين، والهندسة الزائدية". نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات، السلسلة الجديدة. 6 (3): 357-381 .
  20. ↑ مورغان، جون (2006). "تخمين بوانكاريه". محاضرة في المؤتمر الدولي للرياضيات لعام 2006.
  21. ↑ هاميلتون، ريتشارد س. (1982). "المتشعبات الثلاثية ذات انحناء ريتشي الموجب". مجلة الهندسة التفاضلية . 17 (2): 255-306 .
  22. ↑ هاميلتون، ريتشارد س. (1986). "المتشعبات الرباعية ذات عامل الانحناء الموجب". مجلة الهندسة التفاضلية . 24 (2): 153-179 .
  23. ↑ هاميلتون، ريتشارد س. (1988) [1986]. "تدفق ريتشي على الأسطح". الرياضيات المعاصرة . الرياضيات والنسبية العامة، سانتا كروز، كاليفورنيا. 71. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات: 237-262 .
  24. ↑ "سيرة ريتشارد إس هاميلتون الذاتية" . shawprize.org . جائزة شو. 2011.
  25. ↑ هاميلتون، ريتشارد س. (1995). "تكوين النقاط الشاذة في تدفق ريتشي". دراسات في الهندسة التفاضلية . الجزء الثاني : 7-136 .
  26. ↑ هاميلتون، ريتشارد س. (1997). "المتشعبات الرباعية ذات الانحناء المتساوي الموجب" . مجلة التحليل الهندسي . 5 (1): 1-92 . doi : 10.4310/CAG.1997.v5.n1.a1 .
  27. ↑ ياو، شينغ-تونغ (2006). "وجهات نظر حول التحليل الهندسي. دراسات في الهندسة التفاضلية". مجلة الهندسة التفاضلية ، المجلد العاشر (10). سومرفيل، ماساتشوستس: دار النشر الدولية: 275-379 .
  28. ↑ هاميلتون، ريتشارد س. (1999). "حلول غير شاذة لتدفق ريتشي على مشعبات ثلاثية الأبعاد". مجلة التحليل الهندسي 7 ( 4): 695-729 .
  29. ↑ لي، بيتر؛ ياو، شينغ تونغ (1986). "حول النواة المكافئة لمؤثر شرودنغر". أكتا ماث . 156 ( 3-4 ): 153-201 .
  30. ↑ شيويا، تاكاشي؛ ياماغوتشي، تاكاو (2005). "متعددات الشعب ثلاثية الأبعاد المنهارة الحجمية ذات حد أدنى للانحناء". حوليات الرياضيات 333 (1): 131-155 .
  31. ↑ مورغان، جون؛ تيان، غانغ (2014). حدسية الهندسة . سلسلة دراسات كلاي في الرياضيات. بروفيدنس، رود آيلاند؛ كامبريدج، ماساتشوستس: الجمعية الأمريكية للرياضيات، معهد كلاي للرياضيات. ص 5. ISBN  978-0-8218-5201-9.
  32. ↑ كاو، جيانغوو؛ جي، جيان (2011). "برهان بسيط لنظرية بيرلمان للانهيار في الفضاءات ثلاثية الأبعاد". مجلة الهندسة والتحليل 21 ( 4): 807-869 .
  33. ↑ كلاينر، بروس؛ لوت، جون (2014). "المتشعبات ثلاثية الأبعاد المنهارة محليًا". أستيريسك (365): 7-99 . ISBN 978-2-85629-795-7.
  34. ↑ كلاينر، بروس؛ لوت، جون (2008). "ملاحظات على أوراق بيرلمان". الهندسة والطوبولوجيا . 12 (5): 2587-2855 . arXiv : math/0605667 . doi : 10.2140/gt.2008.12.2587 . S2CID 119133773 . 
  35. 1 2 3 4 5 6 ناصر، سيلفيا ؛ غروبر، ديفيد (21 أغسطس 2006). "القدر المتعدد: مشكلة أسطورية والصراع حول من حلّها" . مجلة نيويوركر . مؤرشف من الأصل في 19 مارس 2011. تم الاطلاع عليه في 21 يناير 2011 .
  36. ↑ كاو، هواي دونغ؛ تشو، شي بينغ (2006). "تصحيح لـ "برهان كامل لتخمينات بوانكاريه والهندسة - تطبيق نظرية هاميلتون-بيرلمان لتدفق ريتشي"، المجلة الآسيوية للرياضيات ، المجلد 10، العدد 2، 165-492، 2006" . المجلة الآسيوية للرياضيات . 10 (4): 663-664 . doi : 10.4310/ajm.2006.v10.n2.a2 . MR 2282358 .  
  37. ↑ كاو، هواي دونغ؛ تشو، شي بينغ (3 ديسمبر 2006). "برهان هاميلتون-بيرلمان لتخمين بوانكاريه وتخمين الهندسة". arXiv : math.DG/0612069 .
  38. ↑ مورغان، جون دبليو؛ تيان، غانغ. تدفق ريتشي وتخمين بوانكاريه .arXiv : math/0607607
  39. ↑ "جدول البرنامج العلمي للمؤتمر الدولي للطب الباطني 2006" . icm2006.org . مؤرشف من الأصل بتاريخ 11 فبراير 2010. تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 مارس 2010 .
  40. ↑ بحري، عباس (2015). "خمس ثغرات في الرياضيات" . دراسات متقدمة في الرياضيات غير الخطية . 15 (2): 289-319 . doi : 10.1515/ans-2015-0202 . S2CID 125566270 . 
  41. ↑ مورغان، جون؛ تيان، غانغ (2015)، تصحيح للقسم 19.2 من تدفق ريتشي وتخمين بوانكاريه ، arXiv : 1512.00699 ، Bibcode : 2015arXiv151200699M
  42. ↑ مورغان، جون دبليو؛ تيان، غانغ. إكمال برهان تخمين الهندسة .arXiv : 0809.4040
  43. ↑ «حثّ عبقري الرياضيات على الفوز بالجائزة» . بي بي سي نيوز. ٢٤ مارس ٢٠١٠. مؤرشف من الأصل في ١٩ أبريل ٢٠١٠. تم الاطلاع عليه في ٢٥ مارس ٢٠١٠ .
  44. ↑ "ميدالية فيلدز - غريغوري بيرلمان" (ملف PDF) . المؤتمر الدولي للرياضيات 2006. 22 أغسطس 2006. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 3 نوفمبر 2012. تم الاطلاع عليه في 22 أغسطس 2006 . 
  45. ↑ مولينز، جاستن (22 أغسطس 2006). "منح ميداليات فيلدز المرموقة في الرياضيات" . مجلة نيو ساينتست .
  46. ↑ «جائزة حل حدسية بوانكاريه تُمنح للدكتور غريغوري بيرلمان» ( بيان صحفي). معهد كلاي للرياضيات . 18 مارس 2010. مؤرشف من الأصل (PDF) في 22 مارس 2010. تم الاطلاع عليه في 1 مايو 2014. أعلن معهد كلاي للرياضيات (CMI) اليوم أن الدكتور غريغوري بيرلمان من سانت بطرسبرغ، روسيا، هو الفائز بجائزة الألفية لحله حدسية بوانكاريه.
  47. ↑ "التقرير السنوي لمعهد كلاي للرياضيات لعام 2010" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 أبريل 2024 .
  48. ↑ "كرسي بوانكاريه" . claymath.org . معهد كلاي. 4 مارس 2014. مؤرشف من الأصل في 9 مايو 2023. تم الاطلاع عليه في 26 سبتمبر 2016 .
  49. ↑ جيسن (2009 ، ص 185 ) 
  50. ↑Главные новостиrbc.ru (باللغة الروسية). أنظمة معلومات آر بي سي . 22 أغسطس 2006. مؤرشف من الأصل في 16 يوليو 2011. تم الاطلاع عليه في 21 مارس 2010 .
  51. ↑ «العبقري الذي انزوى عن العالم » . لو بوان ( بالفرنسية). 30 سبتمبر 2010. ص 74-77 . مؤرشف من الأصل في 21 يوليو 2012. تم الاطلاع عليه في 15 أكتوبر 2010 . 
  52. 1 2 فيليغزانينا، آنا (23 يوليو 2014). "كشفت صحيفة "كومسومولسكايا برافدا" عن مكان اختفاء بيرلمان . Kp.ru
  53. ↑ "MATEMATICA GRIGORIA PERELMANA، уеhabsеgo в Швецию، видели в Купчинском سوپرماركت" [ غريغوري بيرلمان - عالم الرياضيات الذي غادر إلى السويد - شوهد في سوبر ماركت في منطقة كوبتشينو ] . Росбалт (بالروسية). 20 ديسمبر 2023 . تم الاسترجاع 20 ديسمبر 2023 .
  54. ^ جيراسيموف ، نيكولاي (27 مارس 2011).لشراء الملابس الروسية، سترة بيرلمان للسفر عبر جميع أنحاء نيويورك[ لشراء الخبز الروسي، سار بيرلمان عبر مدينة نيويورك بأكملها ] . كومسومولسكايا برافدا (باللغة الروسية). مؤرشف من الأصل في 17 سبتمبر 2012. تم الاطلاع عليه في 25 ديسمبر 2012 .
  55. ↑ هاردينغ، لوك (23 مارس 2010). "غريغوري بيرلمان، عبقري الرياضيات الذي رفض مليون دولار" . صحيفة الغارديان .
  56. ^ غريغوري بيرلمان وثائقي . رومان كونين. 2014 – عبر يوتيوب.
  57. 1 2 فيليغزانينا، آنا (28 أبريل 2011).مقابلة مع الرياضيات غريغورييم بيرلمان: لماذا مليون دولار؟ يمكنني إدارة Vsseleennoy[ مقابلة مع عالم الرياضيات غريغوري بيرلمان: لماذا أحتاج إلى مليون دولار؟ أستطيع السيطرة على العالم ] . كومسومولسكايا برافدا (باللغة الروسية). مؤرشفة من الأصل بتاريخ 27 ديسمبر 2012. تم الاطلاع عليها بتاريخ 25 ديسمبر 2012 .
  58. ^ جيسن ، ماشا (29 أبريل 2011). "6 قطع غريبة في مقابلة بيرلمانا"« [ ستة أخطاء غريبة في مقابلة بيرلمان] » . Snob.ru (باللغة الروسية). مؤرشف من الأصل بتاريخ 17 أكتوبر 2012. تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 مايو 2012 .
  59. ↑ "مقابلة بيرلمانا – هل من الممكن؟" [ مقابلة مع بيرلمان – مزيف؟ ] . versii.com . 5 أيار/مايو 2011 مؤرشفة من الأصلي في 26 ديسمبر 2012 . تم الاسترجاع 25 ديسمبر 2012 .
  60. ↑ "مقابلة غريغوري بيرلمان مليئة بالتناقضات" . برافدا.رو . 5 يونيو 2011. مؤرشف من الأصل في 22 يناير 2013. تم الاطلاع عليه في 25 ديسمبر 2012 .
  61. ↑ فورست، بريت. "العبقرية المحطمة" . brettforrest.com . بريت فورست . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 ديسمبر 2012 .
  62. ↑ «سبعة من أفضل قراءات الأسبوع» . بي بي سي نيوز. 1 سبتمبر 2012. مؤرشف من الأصل في 8 مارس 2013. تم الاطلاع عليه في 25 ديسمبر 2012 .

مصادر