ثابت هاس للجبر

في الرياضيات ، يُعرف ثابت هاس للجبر بأنه ثابت مرتبط بفئة براور من الجبر على حقل ما . سُمّي هذا المفهوم نسبةً إلى هيلموت هاس . ويلعب هذا الثابت دورًا في نظرية الحقول المحلية .

ليكن K حقلاً محلياً بتقييم v، وليكن D جبراً على K. يمكننا افتراض أن D جبر قسمة مركزه K من الدرجة n . يمكن تمديد التقييم v إلى D ، على سبيل المثال بتمديده بشكل متوافق إلى كل حقل فرعي تبديلي من D : زمرة القيم لهذا التقييم هي (1/ n ) Z . ^{[ 1 ]}

يوجد حقل فرعي تبديلي L من D غير متفرع فوق K ، وينقسم D فوق L. [ ^{2 ]} الحقل L ليس فريدًا، ولكن جميع هذه الامتدادات مترافقة وفقًا ^لنظرية سكوليم-نوثر ، مما يُبين أيضًا أن أي تشاكل ذاتي لـ L ناتج عن اقتران في D. لنأخذ γ في D بحيث يُنتج الاقتران بواسطة γ تشاكل فروبينيوس الذاتي لـ L / K ، ولنفرض أن v (γ) = k / n . عندئذٍ، يكون k / n modulo 1 هو ثابت هاس لـ D. وهو يعتمد فقط على فئة براور لـ D. ^{[ 3 ]}

وبالتالي، فإن ثابت هاس هو دالة معرفة على زمرة براور لحقل محلي K إلى الزمرة القابلة للقسمة Q / Z . ^{[ 3 ] [ 4 ]} يُمثَّل كل صنف في زمرة براور بصنف في زمرة براور لامتداد غير متفرع لـ L / K من الدرجة n ، ^{[ 5 ]} والذي يمكننا، وفقًا لنظرية غرونوالد-وانغ ونظرية ألبرت-براور-هاس-نوثر، اعتباره جبرًا دوريًا ( L , φ, πk ⁾ لبعض k mod n ، حيث φ هي دالة فروبينيوس وπ هي دالة توحيد. ^{[ 6 ]} تربط الدالة الثابتة العنصر k / n mod 1 بالصنف. وهذا يُظهر الدالة الثابتة كتشاكل.

${\displaystyle {\underset {L/K}{\operatorname {inv} }}:\operatorname {Br} (L/K)\rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

تمتد الخريطة الثابتة إلى Br( K ) من خلال تمثيل كل فئة بعنصر ما من Br( L / K ) كما هو موضح أعلاه. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

بالنسبة للحقل المحلي غير الأرخميدي، فإن الخريطة الثابتة هي تماثل زمر . ^{[ 3 ] [ 7 ]}

في حالة حقل الأعداد الحقيقية R ، توجد فئتان من فئات براور، ممثلة بالجبر R نفسه وجبر الكواترنيون H. [ ^{8 ] من} الملائم تعيين الثابت الصفري لفئة R والثابت 1/2 modulo 1 لفئة الكواترنيون.

في حالة حقل الأعداد المركبة C ، فإن فئة براور الوحيدة هي الفئة التافهة، ذات الصفر الثابت. ^{[ 9 ]}

بالنسبة لحقل عالمي K ، إذا كانت لدينا جبر بسيط مركزي D على K، فإنه لكل قيمة v في K، يمكننا اعتبار امتداد الكميات القياسية D _v = D ⊗ K _v. ينقسم الامتداد D _v لجميع قيم v باستثناء عدد محدود منها ، بحيث يكون الثابت المحلي لـ D _v صفرًا في أغلب الأحيان. تتناسب زمرة براور Br( K ) مع متتالية تامة ^{[ 8 ] [ 9 ].}

${\displaystyle 0\rightarrow {\textrm {Br}}(K)\rightarrow \bigoplus _{v\in S}{\textrm {Br}}(K_{v})\rightarrow \mathbf {Q} /\mathbf {Z} \rightarrow 0,}$

حيث S هي مجموعة جميع قيم K، والسهم الأيمن هو مجموع الثوابت المحلية. إن حقنية السهم الأيسر هي مضمون نظرية ألبرت-براور-هاس-نوثر . أما الدقة في الحد الأوسط فهي حقيقة راسخة في نظرية حقل الفئات العالمية .

• جيل، فيليب؛ زامويلي، تاماس (2006). الجبر المركزي البسيط وتماثل غالوا . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد  101. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001 . 
• لورنز، فالكو (2008). الجبر. المجلد الثاني: الحقول ذات البنية، والجبر، والمواضيع المتقدمة . سبرينغر. الصفحات 231-238 . ISBN  978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001 . 
• سير، جان بيير (1967). "السادس. نظرية حقل الأصناف المحلية". في: كاسيلز، جيه دبليو إس ؛ فروليش، أ. (محرران). نظرية الأعداد الجبرية. وقائع مؤتمر تعليمي نظمته جمعية لندن الرياضية (معهد دراسات متقدمة تابع لحلف الناتو) بدعم من الاتحاد الرياضي الدولي . لندن: أكاديميك برس. ص 128-161 . Zbl 0153.07403 .  
• سير، جان بيير (1979). الحقول المحلية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  67. ترجمة مارفن جاي غرينبيرغ . دار نشر سبرينغر . ISBN 0-387-90424-7. Zbl 0423.12016 . 

• شاتز، ستيفن س. (1972). الزمر المنتهية، والحساب، والهندسة . حوليات دراسات الرياضيات. المجلد  67. برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون . ISBN 0-691-08017-8. السيد 0347778 . زبل 0236.12002 .