نظرية الحقول الطبقية

في الرياضيات ، تُعد نظرية الحقول الصنفية ( CFT ) الفرع الأساسي لنظرية الأعداد الجبرية، والتي تهدف إلى وصف جميع امتدادات غالوا الأبيلية للحقول المحلية والعالمية باستخدام الكائنات المرتبطة بالحقل الأساسي. ^{[ 1 ]}

يُنسب إلى هيلبرت الفضل في كونه أحد رواد مفهوم حقل الفئات. مع ذلك، كان هذا المفهوم معروفًا بالفعل لدى كرونكر ، وفي الواقع، كان ويبر هو من صاغ المصطلح قبل ظهور أوراق هيلبرت الأساسية. ^{[ 2 ]} وقد تطورت الأفكار ذات الصلة على مدى عدة عقود، مما أدى إلى ظهور مجموعة من التخمينات لهيلبرت والتي أثبتها لاحقًا تاكاجي وأرتين (بمساعدة نظرية تشيبوتاريف ) .

إحدى النتائج الرئيسية هي: بالنظر إلى حقل عددي F ، ورمز K للامتداد الأبلي الأقصى غير المتفرع لـ F ، فإن زمرة غالوا لـ K على F متماثلة قانونيًا مع زمرة الفئات المثالية لـ F. وقد عُممت هذه العبارة إلى ما يُسمى بقانون التبادلية لآرتين ؛ في لغة المثاليات، برمز C _F لزمرة الفئات المثالية لـ F ، واعتبار L أي امتداد أبيلي محدود لـ F ، يُعطي هذا القانون تماثلًا قانونيًا

${\displaystyle \theta _{L/F}:C_{F}/{N_{L/F}(C_{L})}\to \operatorname {Gal} (L/F),}$

أين${\displaystyle N_{L/F}}$يشير إلى خريطة المعيار المثالي من L إلى F. ويسمى هذا التشاكل خريطة التبادل .

تنص نظرية الوجود على أنه يمكن استخدام خريطة التبادل لإعطاء تقابل بين مجموعة الامتدادات الأبيلية لـ F ومجموعة الزمر الفرعية المغلقة ذات الدليل المحدود لـ${\displaystyle C_{F}.}$

كانت إحدى الطرق الشائعة لتطوير نظرية الحقول الفئوية الشاملة منذ ثلاثينيات القرن العشرين هي بناء نظرية الحقول الفئوية المحلية ، التي تصف الامتدادات الأبيلية للحقول المحلية، ثم استخدامها لبناء نظرية الحقول الفئوية الشاملة. وقد قام بذلك أولًا آرتن وتيت باستخدام نظرية التماثل الجماعي ، وتحديدًا من خلال تطوير مفهوم تكوينات الفئات. لاحقًا، وجد نوكيرش برهانًا على العبارات الرئيسية لنظرية الحقول الفئوية الشاملة دون استخدام أفكار التماثل الجماعي. وكانت طريقته واضحة وخوارزمية.

داخل نظرية حقل الفئة، يمكن للمرء أن يميز ^{[ 3 ]} نظرية حقل الفئة الخاصة ونظرية حقل الفئة العامة.

توفر نظرية حقل الفئات الصريحة بناءً صريحًا للامتدادات الأبيلية القصوى لحقل عددي في حالات مختلفة. يتألف هذا الجزء من النظرية من نظرية كرونكر-ويبر ، والتي يمكن استخدامها لبناء الامتدادات الأبيلية لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ونظرية الضرب المركب لبناء امتدادات أبيلية لحقول CM .

هناك ثلاثة تعميمات رئيسية لنظرية حقل الفئات: نظرية حقل الفئات العليا، وبرنامج لانجلاندز (أو "مراسلات لانجلاندز")، والهندسة اللاأبيلية .

بلغة الرياضيات الحديثة، يمكن صياغة نظرية الحقول الفئوية (CFT) على النحو التالي. لنفترض الامتداد الأبلي الأقصى A لحقل محلي أو عالمي K. يتميز هذا الامتداد بدرجة لانهائية على K ؛ وزمرة غالوا G للامتداد A على K هي زمرة بروفينيت لانهائية ، وبالتالي فهي زمرة طوبولوجية متراصة ، وهي أبيلية. تتمثل الأهداف الرئيسية لنظرية الحقول الفئوية في: وصف G بدلالة كائنات طوبولوجية مناسبة مرتبطة بـ K ، ووصف الامتدادات الأبيلية المحدودة لـ K بدلالة الزمر الفرعية المفتوحة ذات الدليل المحدود في الكائن الطوبولوجي المرتبط بـ K. على وجه الخصوص، يُراد إيجاد تناظر أحادي بين الامتدادات الأبيلية المحدودة لـ K وزمرها المعيارية في هذا الكائن الطوبولوجي لـ K. هذا الكائن الطوبولوجي هو الزمرة الضربية في حالة الحقول المحلية ذات حقل البقايا المحدود، وزمرة الفئات المثالية في حالة الحقول العالمية. يُطلق على الامتداد الأبلي المحدود المقابل لمجموعة فرعية مفتوحة ذات دليل محدود اسم حقل الفئة لتلك المجموعة الفرعية، وهو ما أعطى الاسم للنظرية.

تنص النتيجة الأساسية لنظرية الحقول الفئوية العامة على أن المجموعة G متماثلة طبيعياً مع الإكمال المنتهي لـ C _K ، أو المجموعة الضربية لحقل محلي، أو مجموعة الفئات المثالية للحقل العالمي، وذلك بالنسبة للطوبولوجيا الطبيعية على C _K المرتبطة بالبنية المحددة للحقل K. وبصورة مكافئة، لأي امتداد غالوا منتهٍ L لـ K ، يوجد تماثل ( خريطة التبادلية لآرتين ).

${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)^{\operatorname {ab} }\to C_{K}/N_{L/K}(C_{L})}$

من عملية التبديل لمجموعة غالوا للامتداد مع خارج قسمة مجموعة فئة idele لـ K على صورة معيار مجموعة فئة idele لـ L.

بالنسبة لبعض الحقول الصغيرة، مثل حقل الأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$أو امتداداتها التخيليّة التربيعية، توجد نظرية أكثر تفصيلاً ووضوحًا ولكنها شديدة التحديد، تُقدّم معلومات أكثر. على سبيل المثال، زمرة غالوا المطلقة المُبدّلة G لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$هو (متماثل طبيعيًا مع) حاصل ضرب لانهائي لمجموعة وحدات الأعداد الصحيحة p-adic المأخوذة على جميع الأعداد الأولية p ، والامتداد الأبلي الأقصى المقابل للأعداد النسبية هو الحقل المُوَلَّد بواسطة جميع جذور الوحدة . يُعرف هذا بنظرية كرونكر-ويبر ، التي افترضها ليوبولد كرونكر في الأصل . في هذه الحالة، يسمح تماثل التبادل لنظرية حقل الأصناف (أو خريطة تبادل آرتين) أيضًا بوصف صريح بفضل نظرية كرونكر-ويبر. مع ذلك، فإن البنى الأساسية لمثل هذه النظريات الأكثر تفصيلًا لحقول الأعداد الجبرية الصغيرة لا يمكن تعميمها على الحالة العامة لحقول الأعداد الجبرية، وتُستخدم مبادئ مفاهيمية مختلفة في نظرية حقل الأصناف العامة.

تتمثل الطريقة القياسية لبناء تماثل التبادلية في بناء تماثل التبادلية المحلي أولاً من الزمرة الضربية لإتمام حقل شامل إلى زمرة غالوا لامتداده الأبلي الأقصى (يتم ذلك ضمن نظرية حقل الأصناف المحلية)، ثم إثبات أن حاصل ضرب جميع خرائط التبادلية المحلية هذه، عند تعريفها على زمرة الأيديل للحقل الشامل، يكون تافهاً على صورة الزمرة الضربية للحقل الشامل. تُسمى هذه الخاصية الأخيرة قانون التبادلية الشامل ، وهي تعميم واسع النطاق لقانون التبادلية التربيعي لغوس .

إحدى طرق بناء التشاكل التبادلي تستخدم تكوين الفئات، الذي يستمد نظرية حقل الفئات من بديهيات نظرية حقل الفئات. هذا الاشتقاق نظري طوبولوجي بحت، بينما يتطلب إثبات البديهيات استخدام بنية الحلقة للحقل الأساسي. ^{[ 4 ]}

هناك طرق تستخدم مجموعات التماثل، وخاصة مجموعة براور ، وهناك طرق لا تستخدم مجموعات التماثل وتكون واضحة للغاية ومثمرة للتطبيقات.

تكمن أصول نظرية حقل الأصناف في قانون التبادل التربيعي الذي أثبته غاوس. وقد تم تعميمها كمشروع تاريخي طويل الأمد، شمل الأشكال التربيعية و" نظرية الجنس " الخاصة بها، وعمل إرنست كومر وليوبولد كرونكر/ كورت هينسل على المُثُل والإكمالات، ونظرية الامتدادات الدائرية وامتدادات كومر .

كانت أول نظريتين لحقول الفئات نظريتين صريحتين للغاية لحقول الفئات الدائرية وحقول الفئات ذات الضرب المركب. وقد استخدمتا هياكل إضافية: ففي حالة حقل الأعداد النسبية، استخدمتا جذور الوحدة، وفي حالة الامتدادات التربيعية التخيلية لحقل الأعداد النسبية، استخدمتا منحنيات إهليلجية ذات ضرب مركب ونقاطها ذات رتبة منتهية. وفي وقت لاحق، قدمت نظرية شيمورا نظرية أخرى صريحة للغاية لحقول الفئات لفئة من حقول الأعداد الجبرية. في خاصية موجبة${\displaystyle p}$استخدم كل من كاودا وساتاك ازدواجية ويت للحصول على وصف سهل للغاية لـ${\displaystyle p}$-جزء من التماثل التبادلي.

مع ذلك، لم يكن بالإمكان تعميم هذه النظريات الواضحة لتشمل حقول الأعداد الأكثر عمومية. فقد استخدمت نظرية حقول الفئات العامة مفاهيم وبنى مختلفة تُطبّق على جميع الحقول الشاملة.

حفّزت مسائل ديفيد هيلبرت الشهيرة مزيدًا من التطوير، مما أدى إلى قوانين التبادلية ، وبراهين من قِبل تايجي تاكاغي ، وفيليب فورتفانغلر ، وإميل آرتين ، وهيلموت هاس، وغيرهم الكثير. كانت نظرية تاكاغي الحاسمة للوجود معروفة بحلول عام 1920، وجميع النتائج الرئيسية معروفة بحلول عام 1930 تقريبًا. وكانت خاصية التأسيس من آخر التخمينات الكلاسيكية التي تم إثباتها . استخدمت البراهين الأولى لنظرية حقل الفئات أساليب تحليلية جوهرية. شهدت ثلاثينيات القرن العشرين وما بعدها استخدامًا متزايدًا للامتدادات اللانهائية ونظرية فولفغانغ كرول لمجموعات غالوا الخاصة بها. وقد اقترن ذلك بازدواجية بونترياغين لإعطاء صياغة أوضح، وإن كانت أكثر تجريدًا، للنتيجة المركزية، وهي قانون آرتين للتبادلية . كانت إحدى الخطوات المهمة هي إدخال كلود شوفالي للمُثُل المثالية في ثلاثينيات القرن العشرين لاستبدال فئات المُثُل المثالية، مما أدى بشكل أساسي إلى توضيح وتبسيط وصف الامتدادات الأبيلية للحقول العالمية. تم إثبات معظم النتائج المركزية بحلول عام 1940.

لاحقًا، أُعيدت صياغة النتائج باستخدام علم التماثل الجماعي ، الذي أصبح منهجًا معياريًا لدراسة نظرية الحقول الفئوية لأجيال عديدة من علماء نظرية الأعداد. ومن عيوب المنهج التماثلي عدم وضوحه النسبي. ونتيجةً للمساهمات المحلية لكل من برنارد دورك ، وجون تيت ، وميشيل هازوينكل ، وإعادة تفسير محلية وعالمية من قِبل يورغن نوكيرش ، بالإضافة إلى أعمال العديد من علماء الرياضيات حول صيغ التبادل الصريحة، تم في تسعينيات القرن العشرين تقديم عرض واضح جدًا لنظرية الحقول الفئوية، خالٍ من علم التماثل الجماعي. (انظر، على سبيل المثال، كتاب " نظرية الحقول الفئوية " لنوكيرش).

تُستخدم نظرية حقل الأصناف لإثبات ازدواجية آرتين-فيردييه . ^{[ 5 ]} تُستخدم نظرية حقل الأصناف بشكل صريح للغاية في العديد من المجالات الفرعية لنظرية الأعداد الجبرية مثل نظرية إيواساوا ونظرية وحدات غالوا.

تعتمد معظم الإنجازات الرئيسية في مجال تناظر لانغلاندز لحقول الأعداد، وتخمين بي إس دي لحقول الأعداد، ونظرية إيواساوا لحقول الأعداد، على أساليب نظرية حقول الفئات المحددة بدقة، أو تعميماتها. ولذلك، يبقى السؤال المطروح هو استخدام تعميمات نظرية حقول الفئات العامة في هذه الاتجاهات الثلاثة.

هناك ثلاثة تعميمات رئيسية، كل منها ذو أهمية كبيرة. وهي: برنامج لانجلاندز ، والهندسة اللاأبيلية ، ونظرية الحقول من الرتبة العليا.

غالبًا ما يُنظر إلى تناظر لانجلاندز على أنه نظرية حقل فئوي غير تبديلية . إذا ما تم إثباتها بالكامل، فستتضمن نظرية معينة لامتدادات غالوا غير التبديلية للحقول الشاملة. مع ذلك، لا يتضمن تناظر لانجلاندز معلومات حسابية كافية حول امتدادات غالوا المحدودة كما هو الحال في نظرية الحقل الفئوي التبديلية. كما أنه لا يتضمن نظيرًا لنظرية الوجود في نظرية الحقل الفئوي: فمفهوم الحقول الفئوية غائب في تناظر لانجلاندز. توجد عدة نظريات غير تبديلية أخرى، محلية وشاملة، تُقدم بدائل لوجهة نظر تناظر لانجلاندز.

يُعدّ علم الهندسة اللاأبيلية تعميماً آخر لنظرية حقل الأصناف ، وهو يدرس الخوارزميات لاستعادة الكائن الأصلي (مثل حقل عددي أو منحنى زائدي فوقه) انطلاقاً من معرفة زمرة غالوا المطلقة الكاملة أو الزمرة الأساسية الجبرية . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

من التعميمات الطبيعية الأخرى نظرية الحقول من الأصناف العليا، والتي تنقسم إلى نظرية الحقول المحلية العليا ونظرية الحقول العالمية العليا . تصف هذه النظرية الامتدادات الأبيلية للحقول المحلية العليا والحقول العالمية العليا. وتأتي الأخيرة على شكل حقول دوال لمخططات من النوع المحدود على الأعداد الصحيحة، بالإضافة إلى توطيناتها وإكمالاتها المناسبة. وتستخدم هذه النظرية نظرية K الجبرية ، وتُعمم مجموعات ميلنور K المناسبة هذه النظرية.${\displaystyle K_{1}}$تُستخدم في نظرية المجال الفئوي أحادي البعد.

• فروبينيويد