قسمة الجبر

في الجبر المجرد ، يُعرَّف جبر القسمة ، بشكل عام، بأنه جبر على حقل تكون فيه القسمة ممكنة دائمًا، باستثناء القسمة على الصفر. ولا يُفترض بالضرورة أن تكون عملية الضرب في جبر القسمة تبديلية أو تجميعية.

بصورة رسمية، لنفترض أن D جبر غير صفري على حقل . عندئذٍ يكون D جبر قسمة إذا كان، لكل عنصر a في D ولكل عنصر غير صفري b في D ، يوجد عنصر واحد فقط x في D بحيث a = bx وعنصر واحد فقط y في D بحيث a = yb .

بالنسبة للجبر الترابطي ، يمكن تبسيط التعريف على النحو التالي: الجبر الترابطي غير الصفري على حقل ما هو جبر قسمة إذا وفقط إذا كان له عنصر محايد ضربي 1 وكل عنصر غير صفري a له معكوس ضربي، أي عنصر x بحيث يكون ax = xa = 1 .

أشهر الأمثلة على جبر القسمة الترابطي هي الجبر الحقيقي ذو الأبعاد المحدودة (أي الجبر على حقل الأعداد الحقيقية R الذي يكون ذا أبعاد محدودة كفضاء متجهي على R ) . تنص نظرية فروبينيوس على أنه حتى التشاكل، توجد ثلاثة أنواع من هذا الجبر: الأعداد الحقيقية نفسها (بعد 1)، وحقل الأعداد المركبة (بعد 2)، والأعداد الرباعية (بعد 4).

تنص نظرية ويدربورن الصغيرة على أنه إذا كان D جبر قسمة منتهيًا، فإن D حقل منتهٍ . ^{[ 1 ]}

على حقل مغلق جبريًا K (مثل الأعداد المركبة C )، لا توجد جبريات قسمة ترابطية ذات أبعاد منتهية بخلاف K نفسه. ^{[ 2 ]}

لا تحتوي جبريات القسمة الترابطية على قواسم صفرية غير صفرية. الجبر الترابطي الأحادي ذو الأبعاد المحدودة (على أي حقل) هو جبر قسمة إذا وفقط إذا لم يكن له قواسم صفرية غير صفرية. في الواقع، إذا${\displaystyle a}$هو عضو في جبر ترابطي محدود الأبعاد${\displaystyle A}$إذاً، فإن عدم وجود قواسم صفرية يعني أن المؤثر الخطي${\displaystyle L_{a}=x\mapsto ax:A\to A}$هي دالة حقنية، وبالتالي دالة شاملة، أي${\displaystyle L_{a}x=1}$يوجد حل. ^{[ 3 ]}

عندما يكون A جبرًا ترابطيًا أحاديًا على الحقل F ويكون S وحدة نمطية بسيطة على A ، فإن حلقة التشكل الداخلي لـ S هي جبر قسمة على F ؛ كل جبر قسمة ترابطي على F ينشأ بهذه الطريقة.

مركز جبر القسمة الترابطي D على الحقل K هو حقل يحتوي على K. بُعد هذا الجبر فوق مركزه، إذا كان محدودًا، هو مربع كامل : أي أنه يساوي مربع بُعد حقل جزئي أقصى من D فوق المركز. وبالنظر إلى حقل F ، يمكن تحويل فئات تكافؤ براور لجبر القسمة الترابطي البسيط (الذي يحتوي فقط على مثاليات ثنائية الجانب تافهة) والذي مركزه F وله بُعد محدود فوق F إلى زمرة، وهي زمرة براور للحقل F.

إحدى طرق بناء جبر القسمة الترابطي ذي الأبعاد المحدودة على الحقول العشوائية هي جبر الكواترنيون (انظر أيضًا الكواترنيون ).

بالنسبة لجبر القسمة الترابطي ذي الأبعاد اللانهائية، فإن أهم الحالات هي تلك التي يمتلك فيها الفضاء طوبولوجيا معقولة . انظر على سبيل المثال جبر القسمة المعياري وجبر باناخ .

إذا لم يُفترض أن جبر القسمة تجميعي، فعادةً ما يُفرض شرط أضعف (مثل التبادلية أو التجميعية الأسية ). راجع قسم الجبر على حقل للاطلاع على قائمة بهذه الشروط.

يوجد في مجموعة الأعداد الحقيقية (حتى التشاكل) جبران قسمة تبادليان وحدويان محدودا الأبعاد: الأعداد الحقيقية نفسها، والأعداد المركبة. وهما بالطبع جبران تجميعيان. كمثال غير تجميعي، لننظر إلى الأعداد المركبة التي يُعرَّف ضربها بأخذ المرافق المركب لعملية الضرب العادية.

a ∗ b = ab .

هذا جبر قسمة تبديلي غير تجميعي ذو بُعد 2 على الأعداد الحقيقية، ولا يحتوي على عنصر محايد. توجد أعداد لا نهائية من جبر القسمة الحقيقية غير المتماثلة التبديلية غير التجميعية ذات الأبعاد المحدودة، ولكن جميعها ذات بُعد 2.

في الواقع، كل جبر قسمة تبديلي حقيقي ذي أبعاد منتهية يكون إما أحادي البعد أو ثنائي البعد. تُعرف هذه النظرية بنظرية هوبف ، وقد تم إثباتها عام ١٩٤٠. يعتمد البرهان على أساليب من علم الطوبولوجيا . مع أن برهانًا لاحقًا وُجد باستخدام الهندسة الجبرية ، إلا أنه لا يوجد برهان جبري مباشر معروف. تُعدّ النظرية الأساسية للجبر نتيجةً منطقيةً لنظرية هوبف.

وبإسقاط شرط التبادلية، عمم هوبف نتيجته: يجب أن يكون لأي جبر قسمة حقيقي محدود الأبعاد بُعد قوة من 2.

أظهرت دراسات لاحقة أن أي جبر قسمة حقيقي ذي أبعاد منتهية يجب أن يكون في الواقع من الأبعاد 1 أو 2 أو 4 أو 8. وقد أثبت ذلك بشكل مستقل ميشيل كيرفير وجون ميلنور عام 1958، باستخدام تقنيات الطوبولوجيا الجبرية ، وتحديدًا نظرية K. وكان أدولف هورويتز قد بيّن عام 1898 أن المتطابقة q = مجموع المربعات صحيحة فقط للأبعاد 1 و2 و4 و8. ^{[ 4 ]} (انظر نظرية هورويتز ) . وقد تصدى العديد من علماء الرياضيات الأوائل لتحدي بناء جبر قسمة ثلاثي الأبعاد. وقد استعرض كينيث أو. ماي هذه المحاولات عام 1966. ^{[ 5 ]}

أي جبر قسمة حقيقي محدود الأبعاد على الأعداد الحقيقية يجب أن يكون

• متماثل مع R أو C إذا كان وحدويًا وتبديليًا (بصورة مكافئة: تجميعي وتبديلي)
• متماثل مع الكواترنيونات إذا كانت غير تبادلية ولكنها تجميعية
• متماثل مع الأوكتونيونات إذا كانت غير ترابطية ولكنها بديلة .

المعلومات التالية معروفة حول بُعد جبر القسمة ذي الأبعاد المحدودة A على حقل K :

• dim A = 1 إذا كانت K مغلقة جبريًا ،
• يكون بُعد A مساويًا لـ 1 أو 2 أو 4 أو 8 إذا كانت K مجموعة حقيقية مغلقة ، و
• إذا لم يكن K مغلقًا جبريًا ولا حقيقيًا، فإن هناك عددًا لا نهائيًا من الأبعاد التي توجد فيها جبر القسمة على K.

نقول إن الجبر ^A يمتلك معكوسات ضربية إذا كان لكل عدد غير صفري ^a ∈ A يوجد عنصر a⁻¹ ∈ A بحيث يكون aa⁻¹ = a⁻¹a ⁼ 1. يمتلك الجبر التجميعي معكوسات ضربية إذا وفقط إذا كان جبر قسمة. مع ذلك، لا ينطبق هذا على الجبر غير التجميعي. تُعدّ السدينيونات جبرًا غير تجميعي على الأعداد الحقيقية يمتلك معكوسات ضربية، ولكنه ليس جبر قسمة. من جهة أخرى، يمكننا بناء جبر قسمة بدون معكوسات ضربية بأخذ الكواترنيونات وتعديل حاصل الضرب، بوضع i² = -1 + εj لعدد حقيقي صغير غير صفري ε مع ترك باقي جدول الضرب دون تغيير. يمتلك العنصر i حينها معكوسين ^، أيمن وأيسر، لكنهما غير متساويين.

• القسمة المعيارية في الجبر
• القسمة (الرياضيات)
• حلقة التقسيم
• شبه ميدان
• شركة كايلي-ديكسون للإنشاءات

• كوهن، بول موريتز (2003). الجبر الأساسي: الزمر، والحلقات، والحقول . لندن: سبرينغر-فيرلاغ. doi : 10.1007/978-0-85729-428-9 . ISBN 978-1-85233-587-8MR 1935285 .​ 
• لام، تسيت-يوين (2001). مدخل إلى الحلقات غير التبادلية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  131 (  الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 0-387-95183-0.
• ماي، كينيث أو. (1966). "استحالة وجود جبر قسمة للمتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 73 (3): 289-291 . doi : 10.2307/2315349 .
• بينروز، روجر (2005). الطريق إلى الواقع . دار فينتج للنشر. رقم ISBN 0-09-944068-7.

• "الجبر القسمي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]