مبدأ هاوسدورف الأقصى

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 86 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعد مبدأ هاوسدورف الأقصى صياغة بديلة وأقدم لفرضية زورن، وقد أثبتها فيليكس هاوسدورف عام 1914 [ 1 ] . وينص هذا المبدأ على أنه في أي مجموعة مرتبة جزئيًا ، فإن كل مجموعة جزئية مرتبة كليًا تقع ضمن مجموعة جزئية مرتبة كليًا قصوى، حيث تُشير كلمة "قصوى" إلى احتواء المجموعة.

في المجموعة المرتبة جزئياً، تُسمى المجموعة الفرعية المرتبة كلياً أيضاً سلسلة. وبالتالي، ينص مبدأ القيمة القصوى على أن كل سلسلة في المجموعة تمتد إلى سلسلة قصوى.

والنتيجة المباشرة لذلك هي ليمّة زورن ، وهي أنه إذا كان لكل سلسلة من مجموعة مرتبة جزئياً حد أعلى، فإن المجموعة المرتبة جزئياً تحتوي على عنصر أقصى، وهو الحد الأعلى لسلسلة قصوى.

يُعد مبدأ هاوسدورف الأقصى أحد العبارات العديدة المكافئة لبديهية الاختيار في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (ZF) ( بدون بديهية الاختيار). ويُعرف هذا المبدأ أيضًا باسم نظرية هاوسدورف القصوى أو مبرهنة كوراتوفسكي [ 2 ] .

إفادة

ينص مبدأ هاوسدورف الأقصى على أنه في أي مجموعة مرتبة جزئياًP{\displaystyle P}كل سلسلةج0{\displaystyle C_{0}}(أي، مجموعة جزئية مرتبة ترتيبًا كليًا ) موجودة في سلسلة قصوىج{\displaystyle C}(أي سلسلة غير موجودة ضمن سلسلة أكبر منها بكثير)P{\displaystyle P}). بشكل عام، قد يكون هناك العديد من السلاسل القصوى التي تحتوي على سلسلة معينة.

يُعرّف مبدأ هاوسدورف الأقصى بصورة مكافئة بأنه في كل مجموعة مرتبة جزئياً، توجد سلسلة قصوى. (لاحظ أنه إذا كانت المجموعة فارغة، فإن المجموعة الفرعية الفارغة تُشكّل سلسلة قصوى).

ينتج هذا الشكل من الشكل الأصلي لأن المجموعة الفارغة عبارة عن سلسلة. وعلى العكس من ذلك، لاستنتاج الشكل الأصلي من هذا الشكل، انظر إلى المجموعةP′{\displaystyle P'}من بين جميع السلاسل فيP{\displaystyle P}تحتوي على سلسلة معينةج0{\displaystyle C_{0}}فيP{\displaystyle P}. ثمP′{\displaystyle P'}يتم ترتيبها جزئياً حسب احتواء المجموعة. وبالتالي، وفقاً لمبدأ القيمة القصوى بالشكل المذكور أعلاه،P′{\displaystyle P'}يحتوي على سلسلة قصوىج′{\displaystyle C'}. يتركج{\displaystyle C}كن اتحادج′{\displaystyle C'}، وهي سلسلة فيP{\displaystyle P}لأن اتحاد مجموعة سلاسل مرتبة ترتيباً كاملاً هو سلسلة.ج{\displaystyle C}يتضمنج0{\displaystyle C_{0}}، وهو عنصر منP′{\displaystyle P'}أيضًا، نظرًا لأن أي سلسلة تحتوي علىج0{\displaystyle C_{0}}يحتوي علىج{\displaystyle C}مثلج{\displaystyle C}هو اتحاد،ج{\displaystyle C}هو في الواقع عنصر أقصى منP′{\displaystyle P'}أي، سلسلة قصوى فيP{\displaystyle P}.

إن برهان تكافؤ مبدأ هاوسدورف الأقصى مع مبرهنة زورن يشبه إلى حد ما هذا البرهان. في الواقع، لنفترض أولًا صحة مبرهنة زورن. بما أن اتحاد مجموعة سلاسل مرتبة ترتيبًا كليًا هو سلسلة، فإن فرضية مبرهنة زورن (لكل سلسلة حد أعلى) تتحقق لـP′{\displaystyle P'}وبالتاليP′{\displaystyle P'}يحتوي على عنصر أقصى أو سلسلة قصوى فيP{\displaystyle P}.

وعلى العكس من ذلك، إذا كان مبدأ القيمة القصوى صحيحًا، فإنP{\displaystyle P}يحتوي على سلسلة قصوىج{\displaystyle C}بناءً على فرضية معضلة زورن،ج{\displaystyle C}له حد أعلىx{\displaystyle x}فيP{\displaystyle P}. لوy≥x{\displaystyle y\geq x}، ثمج~=ج∪{y}{\displaystyle {\widetilde {C}}=C\cup \{y\}}هي سلسلة تحتويج{\displaystyle C}وبالتالي، من خلال مبدأ الأقصى،ج~=ج{\displaystyle {\widetilde {C}}=C}؛ أي،y∈ج{\displaystyle y\in C}وهكذاy=x{\displaystyle y=x}.◻{\displaystyle \square }

أمثلة

إذا كانت A أي مجموعة من المجموعات، فإن العلاقة "مجموعة جزئية فعلية من" هي ترتيب جزئي صارم على A. لنفترض أن A هي مجموعة جميع المناطق الدائرية (داخل الدوائر) في المستوى. تتكون إحدى المجموعات الفرعية المرتبة كليًا القصوى من A من جميع المناطق الدائرية التي مركزها نقطة الأصل. وتتكون مجموعة فرعية أخرى مرتبة كليًا قصوى من جميع المناطق الدائرية المحصورة بدوائر مماسة من اليمين لمحور الصادات عند نقطة الأصل.

إذا كانت (x 0 , y 0 ) و (x 1 , y 1 ) نقطتين في المستوىR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}نُعرّف (x₀ , y₀ ) < (x₁ , y₁ ) إذا كان y₀ = y₁ و x₀ < x₁ . هذا ترتيب جزئي لـR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}حيث تكون نقطتان قابلتين للمقارنة فقط إذا كانتا تقعان على نفس الخط الأفقي. المجموعات المرتبة كليًا القصوى هي خطوط أفقية فيR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}.

طلب

باستخدام مبدأ هاوسدورف الأقصى، يمكننا إثبات أن كل فضاء هيلبرتح{\displaystyle H}تحتوي على مجموعة فرعية متعامدة قصوىأ{\displaystyle A}كما يلي. [ 3 ] (يمكن التعبير عن هذه الحقيقة بالقول إنح≃ℓ2(أ){\displaystyle H\simeq \ell ^{2}(A)}(مثل فضاءات هيلبرت.)

يتركP{\displaystyle P}لتكن مجموعة جميع المجموعات الجزئية المتعامدة من فضاء هيلبرت المعطىح{\displaystyle H}وهي مرتبة جزئيًا وفقًا لمبدأ احتواء المجموعة. وهي غير فارغة لأنها تحتوي على المجموعة الفارغة، وبالتالي، وفقًا لمبدأ الحد الأقصى، فإنها تحتوي على سلسلة قصوى.سؤال{\displaystyle Q}. يتركأ{\displaystyle A}كن اتحادسؤال{\displaystyle Q}سنُبين أنها مجموعة جزئية متعامدة قصوى. أولاً، إذاS،تي{\displaystyle S,T}فيسؤال{\displaystyle Q}ثم إماS⊂تي{\displaystyle S\subset T}أوتي⊂S{\displaystyle T\subset S}أي أن أي عنصرين متميزين معطيين فيأ{\displaystyle A}يتم تضمينها في بعضS{\displaystyle S}فيسؤال{\displaystyle Q}وبالتالي فهما متعامدان مع بعضهما البعض (وبالطبع،أ{\displaystyle A}هي مجموعة جزئية من كرة الوحدة فيح{\displaystyle H}ثانيًا، إذاب⊋أ{\displaystyle B\supsetneq A}بالنسبة للبعضب{\displaystyle B}فيP{\displaystyle P}، ثمب{\displaystyle B}لا يمكن أن يكون فيسؤال{\displaystyle Q}وهكذاسؤال∪{ب}{\displaystyle Q\cup \{B\}}هل السلسلة أكبر منسؤال{\displaystyle Q}، وهو تناقض.◻{\displaystyle \square }

لغرض المقارنة، إليك برهان على نفس الحقيقة باستخدام ليمّة زورن. كما سبق، ليكنP{\displaystyle P}لتكن مجموعة جميع المجموعات الجزئية المتعامدة منح{\displaystyle H}. لوسؤال{\displaystyle Q}هي سلسلة فيP{\displaystyle P}ثم اتحادسؤال{\displaystyle Q}وهي أيضًا متعامدة معيارية بنفس الحجة المذكورة أعلاه، وبالتالي فهي حد أعلى لـسؤال{\displaystyle Q}وبالتالي، وفقًا لمبدأ زورن،P{\displaystyle P}يحتوي على عنصر أقصىأ{\displaystyle A}(إذن، الفرق هو أن المبدأ الأقصى يعطي سلسلة قصوى بينما تعطي ليمّة زورن عنصرًا أقصى بشكل مباشر.)

البراهين

الدليل 1

إن فكرة البرهان تعود أساساً إلى زيرميلو، وتتمثل في إثبات الشكل الضعيف التالي لفرضية زورن ، انطلاقاً من بديهية الاختيار . [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]

اللمة — دعF{\displaystyle F}لتكن مجموعة تتكون من مجموعات جزئية من مجموعة ثابتةP{\displaystyle P}بحيثF{\displaystyle F}يستوفي الخصائص التالية:

  1. F{\displaystyle F}غير فارغ.
  2. اتحاد كل مجموعة جزئية مرتبة ترتيبًا كليًا منF{\displaystyle F}هو فيF{\displaystyle F}، حيث يكون الترتيب متعلقًا باحتواء المجموعة.
  3. لكل مجموعةS{\displaystyle S}فيF{\displaystyle F}، كل مجموعة فرعية منS{\displaystyle S}هو فيF{\displaystyle F}.

ثمF{\displaystyle F}يحتوي على عنصر أقصى فيما يتعلق باحتواء المجموعة.

(تنبثق ليمّة زورن نفسها أيضًا من هذا الشكل الضعيف). وينتج مبدأ القيمة القصوى مما سبق، لأن مجموعة جميع السلاسل فيP{\displaystyle P}يستوفي الشروط المذكورة أعلاه.

بحسب بديهية الاختيار، لدينا دالةو:P(P)-{∅}→P{\displaystyle f:{\mathfrak {P}}(P)-\{\emptyset \}\to P}بحيثو(S)∈S{\displaystyle f(S)\in S}بالنسبة لمجموعة الطاقةP(P){\displaystyle {\mathfrak {P}}(P)}لP{\displaystyle P}.

لكلج∈F{\displaystyle C\in F}، يتركج*{\displaystyle C^{*}}ليكن مجموعة الكلx∈P-ج{\displaystyle x\in P-C}بحيثج∪{x}{\displaystyle C\cup \{x\}}هو فيF{\displaystyle F}. لوج*=∅{\displaystyle C^{*}=\emptyset }ثم دعج~=ج{\displaystyle {\widetilde {C}}=C}وإلا، فليكن

ج~=ج∪{و(ج*)}.{\displaystyle {\widetilde {C}}=C\cup \{f(C^{*})\}.}

ملحوظةج{\displaystyle C}يكون عنصرًا أقصى إذا وفقط إذاج~=ج{\displaystyle {\widetilde {C}}=C}وبالتالي، نكون قد انتهينا إذا استطعنا إيجادج{\displaystyle C}بحيثج~=ج{\displaystyle {\widetilde {C}}=C}.

إصلاحج0{\displaystyle C_{0}}فيF{\displaystyle F}نسميها مجموعة جزئيةتي⊂F{\displaystyle T\subset F}برج (فوق)ج0{\displaystyle C_{0}}) لو

  1. ج0{\displaystyle C_{0}}هو فيتي{\displaystyle T}.
  2. اتحاد كل مجموعة جزئية مرتبة ترتيبًا كليًاتي′⊂تي{\displaystyle T'\subset T}هو فيتي{\displaystyle T}، حيث يكون مصطلح "مرتب تمامًا" فيما يتعلق بتضمين المجموعة.
  3. لكلج{\displaystyle C}فيتي{\displaystyle T}،ج~{\displaystyle {\widetilde {C}}}هو فيتي{\displaystyle T}.

يوجد برج واحد على الأقل؛ في الواقع،F{\displaystyle F}هو نفسه برج. دعتي0{\displaystyle T_{0}}أن يكون تقاطع جميع الأبراج، وهو برج آخر.

والآن، سنعرضتي0{\displaystyle T_{0}}تم ترتيبها بالكامل. نقول مجموعةج{\displaystyle C}وهو قابل للمقارنة فيتي0{\displaystyle T_{0}}إذا كان لكلأ{\displaystyle A}فيتي0{\displaystyle T_{0}}، أيضاًأ⊂ج{\displaystyle A\subset C}أوج⊂أ{\displaystyle C\subset A}. يتركΓ{\displaystyle \Gamma }لتكن مجموعة جميع المجموعات فيتي0{\displaystyle T_{0}}والتي تتشابه فيتي0{\displaystyle T_{0}}نحن ندعيΓ{\displaystyle \Gamma }هو برج. من السهل التحقق من الشرطين 1 و2. أما بالنسبة للشرط 3، فلنفرضج{\displaystyle C}فيΓ{\displaystyle \Gamma }يُعطى ثم يُتركيو{\displaystyle U}ليكن مجموعة الكلأ{\displaystyle A}فيتي0{\displaystyle T_{0}}بحيث إماأ⊂ج{\displaystyle A\subset C}أوج~⊂أ{\displaystyle {\widetilde {C}}\subset A}.

نحن ندعييو{\displaystyle U}هو برج. الشرطان 1 و2 سهل التحقق منهما. بالنسبة للشرط 3، لنفترضأ{\displaystyle A}كن فييو{\displaystyle U}. لوأ⊂ج{\displaystyle A\subset C}ثم بما أنج{\displaystyle C}وهو قابل للمقارنة فيتي0{\displaystyle T_{0}}، أيضاًأ~⊂ج{\displaystyle {\widetilde {A}}\subset C}أوج⊂أ~{\displaystyle C\subset {\widetilde {A}}}في الحالة الأولى،أ~{\displaystyle {\widetilde {A}}}هو فييو{\displaystyle U}في الحالة الثانية، لديناأ⊂ج⊂أ~{\displaystyle A\subset C\subset {\widetilde {A}}}وهذا يعني إماأ=ج{\displaystyle A=C}أوج=أ~{\displaystyle C={\widetilde {A}}}(هذه هي اللحظة التي احتجنا فيها إلى اختزال مجموعة إلى عنصر واحد باستخدام بديهية الاختيار لتعريفأ~{\displaystyle {\widetilde {A}}}.) في كلتا الحالتين، لديناأ~{\displaystyle {\widetilde {A}}}هو فييو{\displaystyle U}وبالمثل، إذاج⊂أ{\displaystyle C\subset A}، نرىأ~{\displaystyle {\widetilde {A}}}هو فييو{\displaystyle U}. لذلك،يو{\displaystyle U}هو برج. الآن، بما أنيو⊂تي0{\displaystyle U\subset T_{0}}وتي0{\displaystyle T_{0}}هو نقطة تقاطع جميع الأبراج،يو=تي0{\displaystyle U=T_{0}}وهذا يعنيج~{\displaystyle {\widetilde {C}}}وهو قابل للمقارنة فيتي0{\displaystyle T_{0}}أي، موجود فيΓ{\displaystyle \Gamma }وبهذا يكتمل إثبات الادعاء بأنΓ{\displaystyle \Gamma }هو برج.

وأخيراً، بما أنΓ{\displaystyle \Gamma }هو برج يقع فيتي0{\displaystyle T_{0}}لديناتي0=Γ{\displaystyle T_{0}=\Gamma }وهذا يعنيتي0{\displaystyle T_{0}}تم ترتيبها بالكامل.

يتركج{\displaystyle C}كن اتحادتي0{\displaystyle T_{0}}بحلول الساعة الثانية،ج{\displaystyle C}هو فيتي0{\displaystyle T_{0}}ثم بحلول الساعة الثالثة،ج~{\displaystyle {\widetilde {C}}}هو فيتي0{\displaystyle T_{0}}. منذج{\displaystyle C}هو اتحادتي0{\displaystyle T_{0}}،ج~⊂ج{\displaystyle {\widetilde {C}}\subset C}وبالتاليج~=ج{\displaystyle {\widetilde {C}}=C}.◻{\displaystyle \square }

وجودج{\displaystyle C}فيF{\displaystyle F}بحيثج~=ج{\displaystyle {\widetilde {C}}=C}كما يُعطى ذلك مباشرةً من خلال نظرية بورباكي-ويت (انظر §  البرهان 2 )، والتي تنص على أنF→F،ج↦ج~{\displaystyle F\to F,\,C\mapsto {\widetilde {C}}}لها نقطة ثابتة. من ناحية أخرى، يثبت البرهان أعلاه في الواقع الحالة التالية كحالة خاصة، وهي ذات أهمية مستقلة إلى حد ما.

اللمة — دعP{\displaystyle P}كن مجموعة مرتبة وF{\displaystyle F}مجموعة جميع السلاسل فيP{\displaystyle P}إذن، لا توجد دالةز:F→P{\displaystyle g:F\to P}بحيث يكون لكلج∈F{\displaystyle C\in F}،ز(ج){\displaystyle g(C)}يمثل حدًا أعلى صارمًا لـج{\displaystyle C}.

في الواقع، إذا كان الأمر كذلكز{\displaystyle g}موجود، نحن نحددج~=ج∪{ز(ج)}{\displaystyle {\widetilde {C}}=C\cup \{g(C)\}}وما سبقج{\displaystyle C}يُعطي تناقضًا كما يلي:ج=ج~{\displaystyle C={\widetilde {C}}}. هذه اللمة بدورها تستلزم مباشرة نظرية بورباكي-ويت؛ انظر نظرية بورباكي-ويت#البرهان 3 .

للاطلاع على برهان بديل (لبرهان بورباكي-ويت)، انظر أيضًا برهان النظرية 3.1 (بورباكي-ويت) في مبرهنة زورن [ 7 ] . ما نسميه هنا برجًا هو نفسه مجموعة استقرائية-s هناك. هذا البرهان مطابق تمامًا لبرهان مبرهنة زورن في كتاب لانغ للجبر [ 8 ] .

الدليل الثاني

تنص نظرية بورباكي -ويت على

يتركX{\displaystyle X}ليكن مجموعة جزئية مرتبة غير فارغة حيث يكون لكل سلسلة حد أعلى أدنى (أي قيمة عليا ). عندئذٍ كل دالةو:X→X{\displaystyle f:X\to X}بحيثو(x)≥x{\displaystyle f(x)\geq x}لكلx{\displaystyle x}فيX{\displaystyle X}له نقطة ثابتة.

لا تعتمد النظرية المذكورة أعلاه في حد ذاتها على بديهية الاختيار . ومع ذلك، يمكن استخدامها مع بديهية الاختيار لإثبات مبدأ هاوسدورف الأقصى على النحو التالي. خذX{\displaystyle X}أن تكون مجموعة جميع السلاسل في مجموعة مرتبة جزئياًP{\displaystyle P}وهي نفسها مجموعة مرتبة جزئيًا بالنسبة لاحتواء المجموعات. وهي غير فارغة لأنها تتضمن المجموعة الفارغة. كذلك، اتحاد سلسلةج⊂X{\displaystyle {\mathcal {C}}\subset X}هو الحد الأعلى الأدنى: من الواضح أنه حد أعلى، وإذايو{\displaystyle U}يمثل الحد الأعلى لـج{\displaystyle {\mathcal {C}}}، ثم∪ج⊂يو{\displaystyle \cup {\mathcal {C}}\subset U}الآن، لكل سلسلةج{\displaystyle C}فيP{\displaystyle P}، يتركج*{\displaystyle C^{*}}لتكن مجموعة جميع الحدود العليا الصارمة لـج{\displaystyle C}. يترك

ز:P(P)-{∅}→P{\displaystyle g:{\mathfrak {P}}(P)-\{\emptyset \}\to P}

لتكن دالة اختيار يضمن وجودها بديهية الاختيار، ثم عرّفو:X→X{\displaystyle f:X\to X}بواسطة

و(ج):={ج،لو ج أقصى حدج∪{ز(ج*)}،لو ج ليس الحد الأقصى{\displaystyle f(C)\mathrel {\mathop {:} } ={\begin{cases}C,&{\text{if}}\ C\ {\text{is maximal}}\\C\cup \{g(C^{*})\},&{\text{if}}\ C\ {\text{is not maximal}}\end{cases}}}

بحسب نظرية بورباكي-ويت، يوجد عنصرج{\displaystyle C}فيX{\displaystyle X}بحيثو(ج)=ج{\displaystyle f(C)=C}وهذاج{\displaystyle C}هي سلسلة قصوى فيP{\displaystyle P}.◻{\displaystyle \square }

البرهان من نظرية الترتيب الجيد

يتركP′{\displaystyle P'}لتكن مجموعة جميع السلاسل فيP{\displaystyle P}باستخدام نظرية الترتيب الجيد ، نجد ترتيبًا جيدًا⪯{\displaystyle \preceq }علىP{\displaystyle P}سنقوم بإنشاء الدالة

و:P→P′{\displaystyle f:P\to P'}

بشكل متكرر فيما يتعلق بـ⪯{\displaystyle \preceq }كما يلي. [ 9 ] لعنصرx{\displaystyle x}فيP{\displaystyle P}لنفترض أننا أعطينا دالة عشوائية

ز:{y∈P|y≺x}→P′.{\displaystyle g:\{y\in P\mid y\prec x\}\to P'.}

ثم دع

و(x)=(∪أنا⁡(ز))∪{x}{\displaystyle f(x)=(\cup \operatorname {im} (g))\cup \{x\}}

إذا كانت المجموعة الموجودة على اليمين مرتبة ترتيبًا تامًا؛ أي عنصر منP′{\displaystyle P'}وو(x)=∅{\displaystyle f(x)=\emptyset }وإلا. إذاز{\displaystyle g}إذا كان مطلوبًا منها أيضًا أن تستوفي الشرط التكراري المذكور أعلاه، فإن نظرية التكرار المتسامي تضمن أن هذا يُعرّف الدالةو{\displaystyle f}بشكل فريد (باختصار، إذاx{\displaystyle x}هو⪯{\displaystyle \preceq }- أصغر عنصر، مجالز{\displaystyle g}المجموعة أعلاه هي المجموعة الفارغة، وبالتاليو(x){\displaystyle f(x)}يتم تحديدها بشكل فريد، وبشكل عام، يضمن شرط التكرار التفرد.ز{\displaystyle g}يُستخدم لتعريفو(x){\displaystyle f(x)}نلاحظ

  1. صورةو{\displaystyle f}مرتبة تمامًا، فيما يتعلق بتضمين المجموعة.
  2. لود{\displaystyle D}هي سلسلة تحتوي∪{و(y)|y≺x،x∈د}{\displaystyle \cup \{f(y)\mid y\prec x,\,x\in D\}}، ثمx∈و(x){\displaystyle x\in f(x)}لكلx∈د{\displaystyle x\in D}.

في الواقع، (1) صحيح لأنه إذاy≺x{\displaystyle y\prec x}، ثم

و(x)=(∪{و(y)|y≺x})∪{x}{\displaystyle f(x)=(\cup \{f(y)\mid y\prec x\})\cup \{x\}}

والذي يحتويو(y){\displaystyle f(y)}كمجموعة جزئية. (2) صحيح لأن

و({y|y≺x})∪{x}⊂د{\displaystyle f(\{y\mid y\prec x\})\cup \{x\}\subset D}

هي سلسلة لأنها مجموعة جزئية من سلسلة.

وأخيرًا، وفقًا لـ (1)، الاتحادج{\displaystyle C}صورةو{\displaystyle f}هي سلسلة وهي قصوى وفقًا للمعادلة (2)، لأنه إذاد⊃ج{\displaystyle D\supset C}سلسلة أخرى، إذنx∈و(x)⊂ج{\displaystyle x\in f(x)\subset C}لكلx∈د{\displaystyle x\in D}.◻{\displaystyle \square }

ملحوظات

  1. ↑ مور 1982 ، ص 168.
  2. ↑ كيلي 1955 ، ص 33.
  3. ↑ رودين 1986 ، النظرية 4.22.
  4. ↑ هالموس 1960 ، § 16.
  5. ↑ رودين 1986 ، الملحق
  6. ↑ براون، كين. "الرياضيات 6310: مبرهنة زورن" (ملف PDF) . قسم الرياضيات، جامعة كورنيل . تاريخ الاسترجاع: 25-06-2026 .
  7. ↑ "معضلة زورن في nLab" . ncatlab.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25-06-2026 .
  8. ↑ الملحق 2، النظرية 2.1، في سيرج، لانغ (2002). "الجبر" . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . doi : 10.1007/978-1-4613-0041-0 . ISSN 0072-5285 . 
  9. ↑ PlanetMath، برهان على تكافؤ ليمّة زورن، ونظرية الترتيب الجيد، ومبدأ هاوسدورف الأقصى

مراجع

  • هالموس ، بول (1960). نظرية المجموعة الساذجة . برينستون، نيوجيرسي: شركة د. فان نوستراند.أُعيد طبعه بواسطة دار نشر سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك، 1974. رقم الكتاب المعياري الدولي (ISBN) 0-387-90092-6(طبعة سبرينغر-فيرلاغ).
  • كيلي، جون (1955). الطوبولوجيا العامة . فون نوستراند.
  • مور، غريغوري (1982). بديهية زيرميلو للاختيار . سبرينغر.
  • مونكرز، جيمس (2000). الطوبولوجيا . بيرسون.
  • ملحق من كتاب رودين، والتر (1986). التحليل الحقيقي والمركب (سلسلة دولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية) . ماكجرو هيل. رقم ISBN 978-0-07-054234-1.

للمزيد من القراءة