المسافة من نقطة إلى مستوى

في الفضاء الإقليدي ، المسافة من نقطة إلى مستوى هي المسافة بين نقطة معينة وإسقاطها العمودي على المستوى، وهي المسافة العمودية إلى أقرب نقطة على المستوى.

يمكن إيجادها بالبدء بتغيير المتغيرات الذي ينقل نقطة الأصل لتتطابق مع النقطة المعطاة، ثم إيجاد النقطة على المستوى المُزاح.${\displaystyle ax+by+cz=d}$النقطة الأقرب إلى نقطة الأصل . إحداثيات النقطة الناتجة هي إحداثيات ديكارتية.${\displaystyle (x,y,z)}$:

${\displaystyle \displaystyle x={\frac {ad}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle y={\frac {bd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle z={\frac {cd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$.

المسافة بين نقطة الأصل والنقطة${\displaystyle (x,y,z)}$يكون${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$.

لنفترض أننا نرغب في إيجاد أقرب نقطة على مستوى إلى النقطة (${\displaystyle X_{0},Y_{0},Z_{0}}$حيث يُعطى المستوى بواسطة${\displaystyle aX+bY+cZ=D}$نُعرّف${\displaystyle x=X-X_{0}}$،${\displaystyle y=Y-Y_{0}}$،${\displaystyle z=Z-Z_{0}}$، و${\displaystyle d=D-aX_{0}-bY_{0}-cZ_{0}}$للحصول على${\displaystyle ax+by+cz=d}$باعتبارها المستوى المُعبَّر عنه بدلالة المتغيرات المُحوَّلة. الآن، أصبحت المشكلة هي إيجاد أقرب نقطة على هذا المستوى إلى نقطة الأصل، ومسافتها من نقطة الأصل. يمكن إيجاد النقطة على المستوى بدلالة الإحداثيات الأصلية انطلاقًا من هذه النقطة باستخدام العلاقات المذكورة أعلاه بين${\displaystyle x}$و${\displaystyle X}$، بين${\displaystyle y}$و${\displaystyle Y}$وبين${\displaystyle z}$و${\displaystyle Z}$; المسافة بدلالة الإحداثيات الأصلية هي نفسها المسافة بدلالة الإحداثيات المعدلة.

يمكن التعبير عن صيغة أقرب نقطة إلى نقطة الأصل بشكل أكثر إيجازًا باستخدام رموز من الجبر الخطي .${\displaystyle ax+by+cz}$في تعريف المستوى، يكون الضرب النقطي${\displaystyle (a,b,c)\cdot (x,y,z)}$والتعبير${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}}$المعيار التربيعي هو ما يظهر في الحل${\displaystyle |(a,b,c)|^{2}}$وبالتالي، إذا${\displaystyle \mathbf {v} =(a,b,c)}$إذا كان متجهًا معطى، فيمكن وصف المستوى بأنه مجموعة المتجهات${\displaystyle \mathbf {w} }$والتي${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =d}$وأقرب نقطة على هذا المستوى إلى نقطة الأصل هي المتجه

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\mathbf {v} d}{|\mathbf {v} |^{2}}}}$[ ^{1 ] [ 2 ]​}

المسافة الإقليدية من نقطة الأصل إلى المستوى هي معيار هذه النقطة.

${\displaystyle {\frac {|d|}{|\mathbf {v} |}}={\frac {|d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$.

في كلتا الصيغتين الإحداثية أو المتجهة، يمكن التحقق من أن النقطة المعطاة تقع على المستوى المعطى عن طريق إدخال النقطة في معادلة المستوى.

للتأكد من أنها أقرب نقطة إلى نقطة الأصل على المستوى، لاحظ أن${\displaystyle \mathbf {p} }$هو مضاعف قياسي للمتجه${\displaystyle \mathbf {v} }$يُحدد المستوى، وبالتالي فهو متعامد مع المستوى. لذا، إذا${\displaystyle \mathbf {q} }$أي نقطة على الطائرة بخلاف${\displaystyle \mathbf {p} }$ثم القطع المستقيمة من نقطة الأصل إلى${\displaystyle \mathbf {p} }$ومن${\displaystyle \mathbf {p} }$ل${\displaystyle \mathbf {q} }$يشكل مثلثًا قائم الزاوية ، وبحسب نظرية فيثاغورس، فإن المسافة من نقطة الأصل إلى${\displaystyle q}$يكون

${\displaystyle {\sqrt {|\mathbf {p} |^{2}+|\mathbf {p} -\mathbf {q} |^{2}}}}$.

منذ${\displaystyle |\mathbf {p} -\mathbf {q} |^{2}}$يجب أن يكون رقمًا موجبًا، هذه المسافة أكبر من${\displaystyle |\mathbf {p} |}$المسافة من نقطة الأصل إلى${\displaystyle \mathbf {p} }$[ ^{2 ]​}

بدلاً من ذلك، من الممكن إعادة كتابة معادلة المستوى باستخدام الضرب القياسي مع${\displaystyle \mathbf {p} }$بدلاً من حاصل الضرب النقطي الأصلي مع${\displaystyle \mathbf {v} }$(لأن هذين المتجهين هما مضاعفات قياسية لبعضهما البعض) وبعد ذلك حقيقة أن${\displaystyle \mathbf {p} }$تصبح أقرب نقطة نتيجة مباشرة لمتباينة كوشي-شفارتز . ^{[ 1 ]}

معادلة المتجهات للمستوى الفائق في${\displaystyle n}$فضاء إقليدي ذو أبعاد${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$من خلال نقطة${\displaystyle \mathbf {p} }$مع متجه عمودي${\displaystyle \mathbf {a} \neq \mathbf {0} }$يكون${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} =0}$أو${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {a} =d}$أين${\displaystyle d=\mathbf {p} \cdot \mathbf {a} }$[ ^{3 ]} الصيغة الديكارتية المقابلة ^هي${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=d}$أين${\displaystyle d=\mathbf {p} \cdot \mathbf {a} =a_{1}p_{1}+a_{2}p_{2}+\cdots a_{n}p_{n}}$[ ^{3 ]​}

أقرب نقطة على هذا المستوى الفائق إلى نقطة عشوائية${\displaystyle \mathbf {y} }$يكون

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {y} -\left[{\dfrac {(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} =\mathbf {y} -\left[{\dfrac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d}{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} }$

والمسافة من${\displaystyle \mathbf {y} }$إلى المستوى الفائق هو

${\displaystyle \left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|=\left\|\left[{\dfrac {(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} }{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} \right\|={\dfrac {\left|(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} \right|}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\dfrac {\left|\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d\right|}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}}$[ ^{3 ]​}

عند كتابتها بالصيغة الديكارتية، تُعطى أقرب نقطة بواسطة${\displaystyle x_{i}=y_{i}-ka_{i}}$ل${\displaystyle 1\leq i\leq n}$أين

${\displaystyle k={\dfrac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d}{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\dfrac {a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots a_{n}y_{n}-d}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots a_{n}^{2}}}}$،

والمسافة من${\displaystyle \mathbf {y} }$إلى المستوى الفائق هو

${\displaystyle {\dfrac {\left|a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots a_{n}y_{n}-d\right|}{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots a_{n}^{2}}}}}$.

وهكذا في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$النقطة على المستوى${\displaystyle ax+by+cz=d}$الأقرب إلى نقطة عشوائية${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$يكون${\displaystyle (x,y,z)}$مقدم من

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}x=x_{1}-ka\\y=y_{1}-kb\\z=z_{1}-kc\end{array}}\right\}}$

أين

${\displaystyle k={\dfrac {ax_{1}+by_{1}+cz_{1}-d}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$،

والمسافة من النقطة إلى المستوى هي

${\displaystyle {\dfrac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}-d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$.

• المسافة من نقطة إلى خط
• هيسه النموذج الطبيعي
• خطوط مائلة §  المسافة