المسألة العشرون لهيلبرت

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

المسألة العشرون لهيلبرت هي واحدة من مسائل هيلبرت الـ 23 الواردة في قائمة شهيرة جمعها ديفيد هيلبرت عام 1900. وتطرح هذه المسألة سؤالاً حول ما إذا كان من الممكن حل جميع مسائل القيم الحدية (أي، هل للمسائل التباينية ذات الشروط الحدية المحددة حلول).

مقدمة

أشار هيلبرت إلى وجود طرق لحل المعادلات التفاضلية الجزئية حيث يتم إعطاء قيم الدالة عند الحدود، لكن المشكلة تطلبت طرقًا لحل المعادلات التفاضلية الجزئية بشروط أكثر تعقيدًا على الحدود (على سبيل المثال، تتضمن مشتقات الدالة)، أو لحل مسائل حساب التفاضل والتكامل في أكثر من بُعد واحد (على سبيل المثال، مسائل السطح الأدنى أو مسائل الانحناء الأدنى).

بيان المشكلة

نص المسألة الأصلي بكامله هو كما يلي:

تُعدّ مسألة وجود حلول للمعادلات التفاضلية الجزئية عندما تكون القيم على حدود المنطقة مُحددة مسبقًا، مشكلةً هامةً ترتبط ارتباطًا وثيقًا بما سبق [في إشارة إلى مسألة هيلبرت التاسعة عشرة ]. وقد حُلّت هذه المسألة في الغالب باستخدام الطرق المُتقنة التي وضعها كلٌّ من هـ. أ. شوارتز، و ك. نيومان، وبوانكاريه لمعادلة الجهد التفاضلية. إلا أن هذه الطرق تبدو عمومًا غير قابلة للتطبيق المباشر على الحالة التي تُحدد فيها على طول الحدود إما المعاملات التفاضلية أو أي علاقات بينها وبين قيم الدالة. كما لا يُمكن تطبيقها مباشرةً على الحالة التي لا يكون فيها البحث عن أسطح الجهد، بل على سبيل المثال، عن أسطح أصغر مساحة، أو أسطح ذات انحناء غاوسي موجب ثابت، والتي تمر عبر منحنى ملتوي مُحدد أو تمتد فوق سطح حلقي مُعطى. وأنا على يقين من أنه سيكون من الممكن إثبات نظريات الوجود هذه باستخدام مبدأ عام يُشير إليه مبدأ ديريشليه . قد يُمكّننا هذا المبدأ العام من معالجة السؤال التالي: أليس لكل مسألة تغير منتظم حل، شريطة استيفاء افتراضات معينة تتعلق بالشروط الحدية المعطاة (كأن تكون الدوال المعنية في هذه الشروط الحدية متصلة ولها في المقاطع مشتقة واحدة أو أكثر)، وشريطة أيضاً، إذا لزم الأمر، توسيع مفهوم الحل بشكل مناسب؟ [ 1 ]

مسائل القيم الحدية

في مجال المعادلات التفاضلية ، تُعرَّف مسألة القيمة الحدية بأنها معادلة تفاضلية مصحوبة بمجموعة من القيود الإضافية، تُسمى الشروط الحدية . ويُعرَّف حل مسألة القيمة الحدية بأنه حل للمعادلة التفاضلية يحقق الشروط الحدية.

لكي تكون مسألة القيمة الحدية مفيدة في التطبيقات، يجب أن تكون محددة جيدًا . وهذا يعني أنه عند إعطاء مدخلات المسألة، يوجد حل وحيد يعتمد بشكل مستمر على المدخلات. وقد كُرِّست الكثير من الدراسات النظرية في مجال المعادلات التفاضلية الجزئية لإثبات أن مسائل القيمة الحدية الناشئة عن التطبيقات العلمية والهندسية هي في الواقع محددة جيدًا.

مراجع

  1. ^ هيلبرت، ديفيد، “مشكلة الرياضيات” Göttinger Nachrichten ، (1900)، الصفحات من 253 إلى 297، وفي أرشيف دير الرياضيات والفيزياء ، (3) 1 (1901)، 44-63 و213-237. نشر بالترجمة الإنجليزية للدكتور مابي وينتون نيوسون، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية 8 (1902)، 437-479دوى : 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 . [العنوان الكامل لمجلة Göttinger Nachrichten هو Nachrichten von der Königl. جيزيلشافت دير فيس. زو غوتنغن.]
  • Krzywicki، Andrzej (1997)، “مشكلة هيلبرت العشرين”، مشاكل هيلبرت (Mi\polhk edzyzdroje، 1993) (بالبولندية)، Polsk. أكاد. ناوك، وارسو، الصفحات 237-245 ، السيد 1632452  .
  • سيرين، جيمس (1976)، "قابلية حل مسائل القيم الحدية"، التطورات الرياضية الناشئة عن مسائل هيلبرت (جامعة شمال إلينوي، دي كالب، إلينوي، مايو 1974) ، وقائع الندوات في الرياضيات البحتة، المجلد  الثامن والعشرون، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية، الصفحات 507-524 ، MR 0427784  .
  • سيغالوف، أ. ج. (1969)، "حول مشكلتي هيلبرت التاسعة عشرة والعشرين"، مشاكل هيلبرت (باللغة الروسية)، موسكو: دار نشر "ناوكا"، ص 204-215 ، MR 0251611  .