مسألة القيمة الحدية

في دراسة المعادلات التفاضلية ، تُعرف مسألة القيمة الحدية بأنها معادلة تفاضلية تخضع لقيود تُسمى الشروط الحدية . ^{[ 1 ]} حل مسألة القيمة الحدية هو حل للمعادلة التفاضلية يحقق الشروط الحدية.

تظهر مسائل القيم الحدية في العديد من فروع الفيزياء، إذ تتضمنها أي معادلة تفاضلية فيزيائية. غالبًا ما تُصاغ المسائل المتعلقة بمعادلة الموجة ، مثل تحديد الأنماط الطبيعية ، على شكل مسائل قيم حدية. ومن أهم فئات مسائل القيم الحدية مسائل ستورم-ليوفيل . يتضمن تحليل هذه المسائل، في الحالة الخطية، الدوال الذاتية لمؤثر تفاضلي .

لكي تكون مسألة القيمة الحدية مفيدة في التطبيقات، يجب أن تكون محددة جيدًا . وهذا يعني أنه عند إعطاء مدخلات المسألة، يوجد حل وحيد يعتمد بشكل مستمر على المدخلات. وقد كُرِّست الكثير من الدراسات النظرية في مجال المعادلات التفاضلية الجزئية لإثبات أن مسائل القيمة الحدية الناشئة عن التطبيقات العلمية والهندسية هي في الواقع محددة جيدًا.

من بين أقدم مسائل القيم الحدية التي تمت دراستها مسألة ديريشليه ، وهي إيجاد الدوال التوافقية (حلول معادلة لابلاس )؛ وقد تم إعطاء الحل بواسطة مبدأ ديريشليه .

تتشابه مسائل القيم الحدية مع مسائل القيم الابتدائية . في مسألة القيم الحدية، تُحدد الشروط عند القيم القصوى ("الحدود") للمتغير المستقل في المعادلة، بينما في مسألة القيم الابتدائية، تُحدد جميع الشروط عند القيمة نفسها للمتغير المستقل (وتقع هذه القيمة عند الحد الأدنى للمجال، ومن هنا جاء مصطلح "القيمة الابتدائية"). القيمة الحدية هي قيمة بيانات تُقابل قيمة دنيا أو قصوى للمدخلات أو القيم الداخلية أو قيم المخرجات المحددة لنظام أو مكون. ^{[ 2 ]}

على سبيل المثال، إذا كان المتغير المستقل هو الزمن على المجال [0،1]، فإن مسألة القيمة الحدية ستحدد قيمًا لـ${\displaystyle y(t)}$في كليهما${\displaystyle t=0}$و${\displaystyle t=1}$بينما تحدد مسألة القيمة الابتدائية قيمة لـ${\displaystyle y(t)}$و${\displaystyle y'(t)}$في ذلك الوقت${\displaystyle t=0}$.

إن إيجاد درجة الحرارة عند جميع نقاط قضيب حديدي مع الحفاظ على أحد طرفيه عند الصفر المطلق والطرف الآخر عند نقطة تجمد الماء سيكون مسألة قيمة حدية.

إذا كانت المشكلة تعتمد على كل من المكان والزمان، فيمكن للمرء تحديد قيمة المشكلة عند نقطة معينة لجميع الأوقات أو عند وقت معين لجميع الأماكن.

بشكل ملموس، مثال على مسألة القيمة الحدية (في بُعد مكاني واحد) هو

${\displaystyle y''(x)+y(x)=0}$

المطلوب حله لإيجاد الدالة المجهولة${\displaystyle y(x)}$مع الشروط الحدية

${\displaystyle y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.}$

بدون الشروط الحدية، يكون الحل العام لهذه المعادلة هو

${\displaystyle y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).}$

من شرط الحدود${\displaystyle y(0)=0}$يحصل المرء

${\displaystyle 0=A\cdot 0+B\cdot 1}$

مما يعني أن${\displaystyle B=0.}$من شرط الحدود${\displaystyle y(\pi /2)=2}$يجد المرء

${\displaystyle 2=A\cdot 1}$

وهكذا${\displaystyle A=2.}$يتضح أن فرض الشروط الحدية سمح بتحديد حل فريد، وهو في هذه الحالة

${\displaystyle y(x)=2\sin(x).}$

الفئات الثلاث القياسية ^{[ 3 ]} للشروط هي ديريشليه، ونيومان، وكوشي ^{[ 4 ]} أو روبن ^{[ 3 ]} ، مع وجود شروط مختلطة أيضًا ^{[ 5 ]،} وحدودها هي اللانهاية. ^{[ 6 ]}

ملخص الشروط الحدية للدالة المجهولة،${\displaystyle y}$، الثوابت${\displaystyle c_{0}}$و${\displaystyle c_{1}}$محددة بشروط الحدود، ودوال قياسية معروفة${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$محددة بشروط الحدود.

اسم	النموذج على الجزء الأول من الحدود	النموذج على الجزء الثاني من الحدود
ديريشليه	${\displaystyle y=f}$
نيومان	${\displaystyle {\partial y \over \partial n}=f}$
روبن	${\displaystyle c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=f}$
كوشي	كلاهما${\displaystyle y=f}$و${\displaystyle {\partial y \over \partial n}=g}$
مختلط	${\displaystyle y=f}$	${\displaystyle c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=g}$

شروط القيمة الحدية

يُحدد شرط الحدود من النوع الأول، شرط حدود ديريشليه ^{[ 7 ]} ، قيمة الدالة نفسها. على سبيل المثال، إذا تم تثبيت أحد طرفي قضيب حديدي عند الصفر المطلق، فإن قيمة المسألة ستكون معروفة عند تلك النقطة في الفضاء.

يُحدد شرط نيومان الحدودي من النوع الثاني [ ^{7 ]} قيمة المشتقة العمودية للدالة. على سبيل المثال، إذا وُضع مُسخّن عند أحد طرفي قضيب حديدي، فسيتم إضافة الطاقة بمعدل ثابت، ولكن درجة الحرارة الفعلية لن تكون معروفة ^.

يُعد شرط روبن أحد شروط الحدود من النوع 3. ^{[ 7 ]}

إذا كان للحدود شكل منحنى أو سطح يعطي قيمة للمشتقة العمودية والمتغير نفسه، فإنها تكون شرط حدود كوشي .

لا يوجد حد مادي لشرط الحدود من النوع 0. ^{[ 7 ]}

• أ. د. بوليانين وف. ف. زايتسيف، دليل الحلول الدقيقة للمعادلات التفاضلية العادية (الطبعة الثانية) ، تشابمان آند هول/سي آر سي برس، بوكا راتون، 2003. رقم ISBN 1-58488-297-2.
• إيه دي بوليانين، دليل المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية للمهندسين والعلماء ، تشابمان آند هول/سي آر سي برس، بوكا راتون، 2002. رقم ISBN 1-58488-299-9.

• "مسائل القيم الحدية في نظرية الكمون" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• "مسألة القيمة الحدية، طرق المتغيرات المركبة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية: الحلول الدقيقة ومسائل القيم الحدية في EqWorld: عالم المعادلات الرياضية.
• "مسألة القيمة الحدية" . موسوعة سكولاربيديا .