نظرية هوليفو

نظرية هوليفو هي إحدى نتائج نظرية المعلومات الكمومية . تُعرف أحيانًا باسم حد هوليفو ، لأنها تُعطي حدًا أعلى للمعلومات المتاحة، أي كمية المعلومات التي يمكن معرفتها عن حالة كمومية . نُشرت لأول مرة على يد ألكسندر هوليفو عام ١٩٧٣.

ضع في اعتبارك النظام المركب الذي يصف عملية الاتصال بأكملها، والتي تتضمن مدخلات أليس الكلاسيكية${\displaystyle X}$، النظام الكمومي${\displaystyle Q}$، وإنتاج بوب الكلاسيكي${\displaystyle Y}$المدخل الكلاسيكي${\displaystyle X}$يمكن كتابتها كسجل كلاسيكي${\displaystyle \rho ^{X}:=\sum \nolimits _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|}$بالنسبة إلى أساس متعامد معياري${\displaystyle \{|x\rangle \}_{x=1}^{n}}$عن طريق الكتابة${\displaystyle X}$وبهذه الطريقة، إنتروبيا فون نيومان${\displaystyle S(X)}$من الدولة${\displaystyle \rho ^{X}}$يتوافق مع إنتروبيا شانون${\displaystyle H(X)}$توزيع الاحتمالات${\displaystyle \{p_{x}\}_{x=1}^{n}}$:

${\displaystyle S(X)=-\operatorname {tr} \left(\rho ^{X}\log \rho ^{X}\right)=-\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\right)=-\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}=H(X).}$

الحالة الأولية للنظام، حيث تقوم أليس بإعداد الحالة${\displaystyle \rho _{x}}$باحتمال${\displaystyle p_{x}}$، موصوفة بواسطة

${\displaystyle \rho ^{XQ}:=\sum _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}.}$

بعد ذلك، ترسل أليس الحالة الكمومية إلى بوب. وبما أن بوب هو الوحيد الذي يمكنه الوصول إلى النظام الكمومي${\displaystyle Q}$لكن ليس المدخلات${\displaystyle X}$، ويتلقى حالة مختلطة من الشكل${\displaystyle \rho$ :=\operatorname {tr} _{X}\left(\rho ^{XQ}\right)=\sum \nolimits _{x=1}^{n}p_{x}\rho _{x}} . يقيس بوب هذه الحالة بالنسبةلعناصر POVM${\displaystyle \{E_{y}\}_{y=1}^{m}}$والاحتمالات${\displaystyle \{q_{y}\}_{y=1}^{m}}$قياس النتائج${\displaystyle y=1,2,\dots ,m}$شكل الناتج الكلاسيكي${\displaystyle Y}$يمكن وصف عملية القياس هذه بأنها أداة كمومية

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{Q}(\rho _{x})=\sum _{y=1}^{m}q_{y|x}\rho _{y|x}\otimes |y\rangle \langle y|,}$

أين${\displaystyle q_{y|x}=\operatorname {tr} \left(E_{y}\rho _{x}\right)}$احتمالية النتيجة${\displaystyle y}$بالنظر إلى الحالة${\displaystyle \rho _{x}}$، بينما${\displaystyle \rho _{y|x}=W{\sqrt {E_{y}}}\rho _{x}{\sqrt {E_{y}}}W^{\dagger }/q_{y|x}}$بالنسبة لبعض الوحدات${\displaystyle W}$هي حالة ما بعد القياس المعيارية . ومن ثم، فإن حالة النظام بأكمله بعد عملية القياس هي

${\displaystyle \rho ^{XQ'Y}:=\left[{\mathcal {I}}^{X}\otimes {\mathcal {E}}^{Q}\right]\!\left(\rho ^{XQ}\right)=\sum _{x=1}^{n}\sum _{y=1}^{m}p_{x}q_{y|x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{y|x}\otimes |y\rangle \langle y|.}$

هنا${\displaystyle {\mathcal {I}}^{X}}$هي قناة الهوية على النظام${\displaystyle X}$. منذ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{Q}}$هي قناة كمومية ، والمعلومات المتبادلة الكمومية رتيبة في ظل الخرائط الموجبة تمامًا التي تحافظ على الأثر، ^{[ 1 ]}${\displaystyle S(X:Q'Y)\leq S(X:Q)}$بالإضافة إلى ذلك، فإن التتبع الجزئي على${\displaystyle Q'}$كما أنه إيجابي تمامًا ويحافظ على الآثار،${\displaystyle S(X:Y)\leq S(X:Q'Y)}$هاتان المتباينتان تعطيان

${\displaystyle S(X:Y)\leq S(X:Q).}$

على الجانب الأيسر، تعتمد الكميات ذات الأهمية فقط على

${\displaystyle \rho ^{XY}:=\operatorname {tr} _{Q'}\left(\rho ^{XQ'Y}\right)=\sum _{x=1}^{n}\sum _{y=1}^{m}p_{x}q_{y|x}|x\rangle \langle x|\otimes |y\rangle \langle y|=\sum _{x=1}^{n}\sum _{y=1}^{m}p_{x,y}|x,y\rangle \langle x,y|,}$

باحتمالات مشتركة${\displaystyle p_{x,y}=p_{x}q_{y|x}}$من الواضح،${\displaystyle \rho ^{XY}}$و${\displaystyle \rho ^{Y}:=\operatorname {tr} _{X}(\rho ^{XY})}$والتي تكون بنفس شكل${\displaystyle \rho ^{X}}$، تصف السجلات الكلاسيكية. ومن ثم،

${\displaystyle S(X:Y)=S(X)+S(Y)-S(XY)=H(X)+H(Y)-H(XY)=I(X:Y).}$

في أثناء،${\displaystyle S(X:Q)}$يعتمد على المصطلح

${\displaystyle \log \rho ^{XQ}=\log \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\right)=\sum _{x=1}^{n}|x\rangle \langle x|\otimes \log \left(p_{x}\rho _{x}\right)=\sum _{x=1}^{n}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes I^{Q}+\sum _{x=1}^{n}|x\rangle \langle x|\otimes \log \rho _{x},}$

أين${\displaystyle I^{Q}}$هو عامل الهوية على النظام الكمومي${\displaystyle Q}$ثم، الجانب الأيمن هو

${\displaystyle {\begin{aligned}S(X:Q)&=S(X)+S(Q)-S(XQ)\\&=S(X)+S(\rho )+\operatorname {tr} \left(\rho ^{XQ}\log \rho ^{XQ}\right)\\&=S(X)+S(\rho )+\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\right)+\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\log \rho _{x}\right)\\&=S(X)+S(\rho )+\underbrace {\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\right)} _{-S(X)}+\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\rho _{x}\log \rho _{x}\right)\\&=S(\rho )+\sum _{x=1}^{n}p_{x}\underbrace {\operatorname {tr} \left(\rho _{x}\log \rho _{x}\right)} _{-S(\rho _{x})}\\&=S(\rho )-\sum _{x=1}^{n}p_{x}S(\rho _{x}),\end{aligned}}}$

وهذا يكمل البرهان.

باختصار، يُثبت حد هوليفو أنه بالنظر إلى n كيوبت ، فعلى الرغم من قدرتها على "حمل" كمية أكبر من المعلومات (الكلاسيكية) (بفضل التراكب الكمومي)، فإن كمية المعلومات الكلاسيكية التي يمكن استرجاعها ، أي الوصول إليها ، لا تتجاوز n بت كلاسيكي (غير مُشفّر كموميًا) . وقد ثبت أيضًا، نظريًا وتجريبيًا، وجود عمليات حسابية تحمل فيها البتات الكمومية معلومات أكثر مما هو ممكن كلاسيكيًا. ^{[ 2 ]}

• القدرة الكلاسيكية
• الترميز فائق الكثافة

• هوليفو، ألكسندر س. (1973). "حدود كمية المعلومات المنقولة عبر قناة اتصال كمومية". مشاكل نقل المعلومات . 9 : 177-183 .
• نيلسن، مايكل أ .؛ تشوانغ، إسحاق ل. (2000). الحوسبة الكمومية والمعلومات الكمومية . كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-63235-5. OCLC 43641333 .  (انظر الصفحة 531، القسم الفرعي 12.1.1 - المعادلة (12.6))
• وايلد، مارك م. (2011). "من نظرية شانون الكلاسيكية إلى نظرية شانون الكمومية". arXiv : 1106.1445v2 [ quant-ph ].انظر تحديدًا القسم 11.6 وما يليه. تُعرض نظرية هوليفو كتمرين 11.9.1 في الصفحة 288.