إنتروبيا فون نيومان

إذا كانت ρ _A و ρ _B مصفوفات الكثافة المختزلة للحالة العامة ρ _AB ، فإن $${\displaystyle \left|S(\rho _{A})-S(\rho _{B})\right|\leq S(\rho _{AB})\leq S(\rho _{A})+S(\rho _{B}).}$$

تُعرف المتباينة اليمنى باسم "الجمعية الجزئية" ، بينما تُعرف اليسرى أحيانًا باسم " متباينة المثلث" . ^{[ 17 ]} _في حين أن إنتروبيا النظام المركب في نظرية شانون لا يمكن أن تكون أقل من إنتروبيا أي من أجزائه، فإن هذا ليس هو الحال في نظرية الكم؛ أي أنه من الممكن أن تكون S ( ρAB ) = 0 ، بينما S ( ρA ₎ = S ( ρB ) > 0. يُعبَّر عن ذلك بالقول إن إنتروبيا شانون رتيبة _، بينما إنتروبيا فون نيومان ليست كذلك. ^{[ 18 ]} على سبيل المثال، لنأخذ حالة بيل لجسيمين ذوي لف مغزلي 1/2 : $${\displaystyle \left|\psi \right\rangle =\left|\uparrow \downarrow \right\rangle +\left|\downarrow \uparrow \right\rangle .}$$ هذه حالة نقية ذات إنتروبيا صفرية، لكن لكل دورة إنتروبيا قصوى عند النظر إليها بشكل منفرد، لأن مصفوفة الكثافة المختزلة الخاصة بها هي الحالة المختلطة القصوى. يشير هذا إلى أنها حالة متشابكة ؛ ^{[ 19 ]} وسيتم مناقشة استخدام الإنتروبيا كمقياس للتشابك بمزيد من التفصيل لاحقًا.

إن إنتروبيا فون نيومان هي أيضًا شبه جمعية بقوة . ^{[ 20 ]} بالنظر إلى ثلاثة فضاءات هيلبرت ، A و B و C ، $${\displaystyle S(\rho _{ABC})+S(\rho _{B})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC}).}$$ باستخدام أسلوب البرهان الذي يثبت الجانب الأيسر من متباينة المثلث أعلاه، يمكن للمرء أن يوضح أن متباينة الجمع الفرعي القوي تعادل المتباينة التالية: $${\displaystyle S(\rho _{A})+S(\rho _{C})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC})}$$ حيث ρ _AB ، إلخ، هي مصفوفات الكثافة المختزلة لمصفوفة الكثافة ρ _ABC . ^{[ 21 ]} إذا طبقنا خاصية الجمع الجزئي العادية على الطرف الأيسر من هذه المتباينة، فسنجد $${\displaystyle S(\rho _{AC})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC}).}$$ بسبب التناظر، بالنسبة لأي حالة ثلاثية الأجزاء ρ _ABC ، يكون كل من الأعداد الثلاثة S ( ρ _AB )، S ( ρ _BC )، S ( ρ _AC ) أقل من أو يساوي مجموع العددين الآخرين. ^{[ 22 ]}

بمعرفة حالة كمومية وتحديد قياس كمومي، يمكننا حساب احتمالات النتائج المختلفة الممكنة لهذا القياس، وبالتالي يمكننا إيجاد إنتروبيا شانون لتوزيع الاحتمالات هذا. يمكن تحديد القياس الكمومي رياضيًا كمقياس ذي قيمة مؤثر موجبة ، أو POVM. ^{[ 23 ]} في أبسط الحالات، نظام ذو فضاء هيلبرت محدود الأبعاد وقياس ذي عدد محدود من النتائج، يكون POVM عبارة عن مجموعة من المصفوفات شبه الموجبة المحددة.${\displaystyle \{F_{i}\}}$على فضاء هيلبرت الذي مجموعه يساوي مصفوفة الوحدة ، ^{[ 24 ]}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$$ عنصر POVM${\displaystyle F_{i}}$يرتبط بنتيجة القياس${\displaystyle i}$، بحيث يكون احتمال الحصول عليه عند إجراء قياس على الحالة الكمومية${\displaystyle \rho }$يُعطى بواسطة $${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i}).}$$ تكون آلة POVM من الرتبة 1 إذا كانت جميع عناصرها متناسبة مع عوامل الإسقاط من الرتبة 1. إنتروبيا فون نيومان هي الحد الأدنى الممكن تحقيقه لإنتروبيا شانون، حيث يتم إجراء عملية التصغير على جميع آلات POVM من الرتبة 1. ^{[ 25 ]}

إذا كانت ρ _i هي معاملات الكثافة و λ _i هي مجموعة من الأعداد الموجبة التي مجموعها يساوي واحدًا (${\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}=1}$) ، ثم $${\displaystyle \rho =\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\rho _{i}}$$ هو عامل كثافة صالح، والفرق بين إنتروبيا فون نيومان الخاصة به والمتوسط ​​المرجح لإنتروبيات ρ _i محدود بإنتروبيا شانون الخاصة بـ λ _i : $${\displaystyle S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\rho _{i}{\bigg )}-\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}S(\rho _{i})\leq -\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\log \lambda _{i}.}$$ تتحقق المساواة عندما تكون حوامل ρ _i - أي الفضاءات التي تشكلها متجهاتها الذاتية المقابلة للقيم الذاتية غير الصفرية - متعامدة. يُعرف الفرق في الطرف الأيسر من هذه المتباينة بكمية هوليفو χ، ويظهر أيضًا في نظرية هوليفو ، وهي نتيجة مهمة في نظرية المعلومات الكمومية . ^{[ 26 ]}

يتم وصف التطور الزمني لنظام معزول بواسطة مؤثر وحدوي: $${\displaystyle \rho \to U\rho U^{\dagger }.}$$ يُحوّل التطور الوحدوي الحالات النقية إلى حالات نقية أخرى، ^{[ 27 ]} ولا يُغيّر إنتروبيا فون نيومان. وينتج هذا عن حقيقة أن إنتروبيا${\displaystyle \rho }$هي دالة للقيم الذاتية لـ${\displaystyle \rho }$[ ^{28 ]​}

يؤدي إجراء قياس على نظام كمومي عمومًا إلى تغيير في حالته الكمومية. ولا يوفر كتابة نموذج POVM المعلومات الكاملة اللازمة لوصف عملية تغيير الحالة هذه. ^{[ 29 ]} ولتدارك هذا النقص، تُحدد معلومات إضافية بتحليل كل عنصر من عناصر نموذج POVM إلى ناتج ضربي. $${\displaystyle E_{i}=A_{i}^{\dagger }A_{i}.}$$مشغلو كراوس${\displaystyle A_{i}}$تُقدّم هذه المعادلات، التي سُمّيت نسبةً إلى كارل كراوس ، مواصفاتٍ لعملية تغيير الحالة. وهي ليست بالضرورة ذاتية الترافق، ولكن نواتجها${\displaystyle A_{i}^{\dagger }A_{i}}$هي. إذا كانت نتيجة القياس${\displaystyle E_{i}}$إذا تم الحصول على الحالة الأولية${\displaystyle \rho }$تم تحديثه إلى $${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\mathrm {Prob} (i)}}={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (\rho E_{i})}}.}$$ تُعد قاعدة لودرز حالة خاصة مهمة، وقد سُميت نسبةً إلى جيرهارت لودرز . ^{[ 30 ] [ 31 ]} إذا كانت عناصر POVM عبارة عن عوامل إسقاط ، فيمكن اعتبار عوامل كراوس بمثابة عوامل الإسقاط نفسها: $${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {\Pi _{i}\rho \Pi _{i}}{\operatorname {tr} (\rho \Pi _{i})}}.}$$ إذا كانت الحالة الأولية${\displaystyle \rho }$نقي، وأجهزة العرض${\displaystyle \Pi _{i}}$إذا كانت رتبتها 1، فيمكن كتابتها كمساقط على المتجهات${\displaystyle |\psi \rangle }$و${\displaystyle |i\rangle }$على التوالي. وبذلك، تُبسط الصيغة إلى $${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |\to \rho '={\frac {|i\rangle \langle i|\psi \rangle \langle \psi |i\rangle \langle i|}{|\langle i|\psi \rangle |^{2}}}=|i\rangle \langle i|.}$$ يمكننا تعريف خريطة خطية، تحافظ على الأثر، وموجبة تمامًا ، عن طريق الجمع على جميع حالات ما بعد القياس الممكنة لـ POVM بدون التطبيع: $${\displaystyle \rho \to \sum _{i}A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }.}$$ يُعدّ هذا مثالًا على قناة كمومية ، ^{[ 32 ]} ويمكن تفسيره على أنه يُعبّر عن كيفية تغيّر الحالة الكمومية عند إجراء قياسٍ ما، ولكن فُقدت نتيجة هذا القياس. ^{[ 33 ]} لا يُمكن للقنوات المُعرّفة بالقياسات الإسقاطية أن تُقلّل من إنتروبيا فون نيومان؛ فهي تُبقي الإنتروبيا ثابتةً فقط إذا لم تُغيّر مصفوفة الكثافة. ^{[ 34 ]} ستزيد القناة الكمومية من إنتروبيا فون نيومان لكل حالة إدخال أو تُبقيها ثابتةً إذا وفقط إذا كانت القناة أحادية ، أي إذا أبقت الحالة المختلطة القصوى ثابتة. ومن الأمثلة على القنوات التي تُقلّل من إنتروبيا فون نيومان قناة تخميد السعة للكيوبت، والتي تُوجّه جميع الحالات المختلطة نحو حالة نقية. ^{[ 35 ]}

يترك${\displaystyle \rho _{AB}}$ليكن حالة مشتركة للنظام الكمومي الثنائي AB. عندئذٍ، تكون إنتروبيا فون نيومان الشرطية${\displaystyle S(A|B)}$الفرق بين إنتروبيا${\displaystyle \rho _{AB}}$والإنتروبيا للحالة الحدية للنظام الفرعي B وحده: $${\displaystyle S(A|B)=S(\rho _{AB})-S(\rho _{B}).}$$ هذا محصور من الأعلى بـ${\displaystyle S(\rho _{A})}$بمعنى آخر، لا يمكن أن يؤدي ربط وصف النظام الفرعي A بالنظام الفرعي B إلى زيادة الإنتروبيا المرتبطة بـ A. ^{[ 39 ]}

يمكن تعريف المعلومات المتبادلة الكمومية بأنها الفرق بين إنتروبيا الحالة المشتركة والإنتروبيا الكلية للحالات الهامشية: $${\displaystyle S(A:B)=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})-S(\rho _{AB}),}$$ والتي يمكن التعبير عنها أيضًا من حيث الإنتروبيا الشرطية: ^{[ 40 ]}$${\displaystyle S(A:B)=S(A)-S(A|B)=S(B)-S(B|A).}$$

يترك${\displaystyle \rho }$و${\displaystyle \sigma }$ليكن لدينا مؤثران للكثافة في نفس فضاء الحالة. تُعرَّف الإنتروبيا النسبية على النحو التالي: $${\displaystyle S(\rho ||\sigma )=\operatorname {tr} [\rho (\log \rho -\log \sigma )].}$$ تكون الإنتروبيا النسبية دائمًا أكبر من أو تساوي الصفر؛ وتساوي الصفر إذا وفقط إذا${\displaystyle \rho =\sigma }$[ ^{41 ] على عكس إنتروبيا فون نيومان نفسها، فإن} الإنتروبيا النسبية رتيبة، بمعنى أنها تتناقص (أو تظل ثابتة) عند تتبع جزء من النظام: ^{[ 42 ]}$${\displaystyle S(\rho _{A}||\sigma _{A})\leq S(\rho _{AB}||\sigma _{AB}).}$$

كما أن الطاقة مورد يُسهّل العمليات الميكانيكية، فإن التشابك الكمومي مورد يُسهّل أداء المهام التي تتضمن التواصل والحساب. ^{[ 43 ]} يمكن إعادة صياغة التعريف الرياضي للتشابك الكمومي بالقول إن المعرفة القصوى حول النظام ككل لا تعني بالضرورة المعرفة القصوى حول أجزائه الفردية. ^{[ 44 ]} إذا كانت الحالة الكمومية التي تصف زوجًا من الجسيمات متشابكة، فإن نتائج القياسات على أحد نصفي الزوج يمكن أن تكون مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بنتائج القياسات على النصف الآخر. مع ذلك، فإن التشابك الكمومي ليس هو نفسه "الارتباط" كما هو مفهوم في نظرية الاحتمالات الكلاسيكية وفي الحياة اليومية. بدلًا من ذلك، يمكن اعتبار التشابك الكمومي ارتباطًا كامنًا يمكن استخدامه لتوليد ارتباط فعلي في تجربة مناسبة. ^{[ 45 ]} يمكن دائمًا التعبير عن حالة النظام المركب كمجموع، أو تراكب ، لحاصل ضرب حالات المكونات المحلية؛ ويكون متشابكًا إذا لم يكن بالإمكان كتابة هذا المجموع كحاصل ضرب واحد. ^{[ 46 ]} يُعدّ الإنتروبيا أداةً تُستخدم لقياس التشابك الكمّي. ^{[ 47 ] [ 48 ]} إذا وُصِف النظام الكلي بحالة نقية، يُمكن استخدام إنتروبيا أحد الأنظمة الفرعية لقياس درجة تشابكه مع الأنظمة الفرعية الأخرى. بالنسبة للحالات النقية الثنائية، تُعتبر إنتروبيا فون نيومان للحالات المُختزلة المقياس الوحيد للتشابك، بمعنى أنها الدالة الوحيدة على عائلة الحالات التي تُحقق بديهيات مُعينة مطلوبة لمقياس التشابك. ^{[ 49 ] [ 50 ]} ولذلك تُعرف باسم إنتروبيا التشابك. ^{[ 51 ]}

من النتائج الكلاسيكية أن إنتروبيا شانون تصل إلى أقصى قيمة لها عند توزيع الاحتمال المنتظم {1/ n , ..., 1/ n } فقط . ^{[ 52 ]} لذلك، يُقال إن الحالة النقية الثنائية ρ ∈ H _A ⊗ H _B هي حالة متشابكة إلى أقصى حد إذا كانت الحالة المختزلة لكل نظام فرعي من ρ هي المصفوفة القطرية. ^{[ 53 ]}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{n}}&&\\&\ddots &\\&&{\frac {1}{n}}\end{pmatrix}}.}$$

بالنسبة للحالات المختلطة، لا يُعدّ إنتروبيا فون نيومان المُختزل المقياس الوحيد المعقول للتشابك. ^{[ 54 ]} بعض المقاييس الأخرى ذات طبيعة إنتروبية أيضًا. على سبيل المثال، يُعطى الإنتروبيا النسبية للتشابك بتقليل الإنتروبيا النسبية بين حالة معينة.${\displaystyle \rho }$ومجموعة الحالات غير المتشابكة، أو القابلة للفصل . ^{[ 55 ]} يُعرَّف تشابك التكوين بتقليل، على جميع الطرق الممكنة لكتابة${\displaystyle \rho }$باعتبارها توليفة محدبة من حالات نقية، فإن متوسط ​​إنتروبيا التشابك لتلك الحالات النقية. ^{[ 56 ]} يعتمد التشابك المضغوط على فكرة توسيع حالة ثنائية الأجزاء${\displaystyle \rho _{AB}}$إلى حالة تصف نظامًا أكبر،${\displaystyle \rho _{ABE}}$، بحيث يكون الأثر الجزئي لـ${\displaystyle \rho _{ABE}}$ينتج عن E${\displaystyle \rho _{AB}}$ثم يجد المرء الحد الأدنى للكمية $${\displaystyle {\frac {1}{2}}[S(\rho _{AE})+S(\rho _{BE})-S(\rho _{E})-S(\rho _{ABE})],}$$ من بين جميع الخيارات الممكنة لـ${\displaystyle \rho _{ABE}}$[ ^{57 ]​}

وكما أن دالة إنتروبيا شانون هي أحد أعضاء عائلة إنتروبيا ريني الكلاسيكية الأوسع ، فإنه يمكن أيضاً تعميم إنتروبيا فون نيومان لتشمل إنتروبيا ريني الكمومية: $${\displaystyle S_{\alpha }(\rho )={\frac {1}{1-\alpha }}\ln[\operatorname {tr} \rho ^{\alpha }]={\frac {1}{1-\alpha }}\ln \sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}^{\alpha }.}$$ في حدود ذلك${\displaystyle \alpha \to 1}$وهذا يستعيد إنتروبيا فون نيومان. جميع إنتروبيات ريني الكمومية قابلة للجمع بالنسبة لحالات الضرب، ولأي${\displaystyle \alpha }$إنتروبيا ريني${\displaystyle S_{\alpha }}$تتلاشى هذه القيمة في الحالات النقية، وتكون قيمتها القصوى في الحالة المختلطة القصوى. لأي حالة معينة${\displaystyle \rho }$،${\displaystyle S_{\alpha }(\rho )}$هي دالة مستمرة وغير متزايدة للمعامل${\displaystyle \alpha }$يمكن إثبات نسخة ضعيفة من خاصية الجمع الجزئي: $${\displaystyle S_{\alpha }(\rho _{A})-S_{0}(\rho _{B})\leq S_{\alpha }(\rho _{AB})\leq S_{\alpha }(\rho _{A})+S_{0}(\rho _{B}).}$$ هنا،${\displaystyle S_{0}}$هي النسخة الكمومية من إنتروبيا هارتلي ، أي لوغاريتم رتبة مصفوفة الكثافة. ^{[ 58 ]}