القناة الكمومية

لنفترض وجود قنوات كمومية تنقل المعلومات الكمومية فقط. هذه عملية كمومية تحديداً ، وسنلخص خصائصها الآن.

يترك${\displaystyle H_{A}}$و${\displaystyle H_{B}}$لتكن فضاءات الحالة ( فضاءات هيلبرت ذات الأبعاد المحدودة ) لنهايتي الإرسال والاستقبال، على التوالي، لقناة ما.${\displaystyle L(H_{A})}$سيشير إلى عائلة المؤثرات على${\displaystyle H_{A}.}$في صورة شرودنغر ، القناة الكمومية البحتة هي خريطة${\displaystyle \Phi }$بين مصفوفات الكثافة المؤثرة على${\displaystyle H_{A}}$و${\displaystyle H_{B}}$بالخصائص التالية: ^{[ 2 ]}

1. كما هو مطلوب بموجب مسلمات ميكانيكا الكم،${\displaystyle \Phi }$يجب أن يكون خطيًا.
2. بما أن مصفوفات الكثافة موجبة،${\displaystyle \Phi }$يجب الحفاظ على نطاق العناصر الإيجابية. بعبارة أخرى،${\displaystyle \Phi }$هي خريطة موجبة .
3. إذا تم ربط نظام مساعد ذي بُعد محدود عشوائي n بالنظام، فإن الخريطة المستحثة${\displaystyle I_{n}\otimes \Phi ,}$حيث أن I _{_n} هي دالة التطابق على المصفوفة المساعدة، ويجب أن تكون موجبة أيضًا. لذلك، من الضروري أن${\displaystyle I_{n}\otimes \Phi }$تكون موجبة لجميع قيم n . وتسمى هذه التطبيقات موجبة تمامًا .
4. يتم تحديد مصفوفات الكثافة بحيث يكون أثرها 1، لذلك${\displaystyle \Phi }$يجب الحفاظ على الأثر.

تُستخدم صفات "إيجابية تمامًا" و"حافظة على الأثر" لوصف الخريطة، ويُشار إليها أحيانًا بالاختصار CPTP . في الأدبيات، تُخفف الخاصية الرابعة أحيانًا بحيث${\displaystyle \Phi }$يكفي ألا يؤدي ذلك إلى زيادة التتبع. في هذه المقالة، سنفترض أن جميع القنوات من نوع CPTP.

لا تشكل مصفوفات الكثافة التي تؤثر على H _A سوى مجموعة فرعية مناسبة من المؤثرات على H _A ، وينطبق الشيء نفسه على النظام B. ومع ذلك، بمجرد أن يصبح التطبيق خطيًا${\displaystyle \Phi }$عند تحديد العلاقة بين مصفوفات الكثافة، تسمح لنا حجة الخطية القياسية، بالإضافة إلى افتراض الأبعاد المحدودة، بتوسيع نطاقها.${\displaystyle \Phi }$بشكل فريد بالنسبة للفضاء الكامل للمؤثرات. وهذا يؤدي إلى الخريطة المرافقة${\displaystyle \Phi ^{*}}$، وهو ما يصف فعل${\displaystyle \Phi }$في صورة هايزنبرغ : ^{[ 3 ]}

فضاءات المؤثرات L ( HA ₎ و L ( HB ) هي فضاءات هيلبرت ذات جداء هيلبرت-شميدت _{الداخلي} . لذلك، عند النظر إلى${\displaystyle \Phi :L(H_{A})\rightarrow L(H_{B})}$كدالة بين فضاءات هيلبرت، نحصل على مرافقها.${\displaystyle \Phi }$^* مقدم من

${\displaystyle \langle A,\Phi (\rho )\rangle =\langle \Phi ^{*}(A),\rho \rangle .}$

بينما${\displaystyle \Phi }$ينقل الحالات الموجودة على A إلى تلك الموجودة على B ،${\displaystyle \Phi ^{*}}$تُحوّل هذه العلاقة بين المتغيرات القابلة للرصد في النظام B إلى متغيرات قابلة للرصد في النظام A. وهي مماثلة للعلاقة بين وصفي شرودنغر وهايزنبرغ للديناميكيات. وتبقى إحصائيات القياس ثابتة سواءً اعتُبرت المتغيرات القابلة للرصد ثابتة أثناء خضوع الحالات للتشغيل أو العكس.

يمكن التحقق مباشرة من ذلك إذا${\displaystyle \Phi }$يُفترض أنه يحافظ على الآثار،${\displaystyle \Phi ^{*}}$هو أحادي ، أي${\displaystyle \Phi ^{*}(I)=I}$من الناحية الفيزيائية، هذا يعني أنه في صورة هايزنبرغ، يظل المتغير القابل للملاحظة التافه تافهاً بعد تطبيق القناة.

حتى الآن، لم نُعرّف سوى قناة كمومية تنقل المعلومات الكمومية فقط. وكما ذُكر في المقدمة، يمكن أن تتضمن مدخلات ومخرجات القناة معلومات كلاسيكية أيضًا. ولتوضيح ذلك، يلزم تعميم الصيغة المُقدمة حتى الآن. القناة الكمومية البحتة، في صورة هايزنبرغ، هي دالة خطية Ψ بين فضاءات المؤثرات:

${\displaystyle \Psi :L(H_{B})\rightarrow L(H_{A})}$

أي أنها أحادية وموجبة تمامًا ( CP ). يمكن اعتبار فضاءات المؤثرات بمثابة جبر C* محدود الأبعاد . لذلك، يمكننا القول إن القناة هي دالة أحادية موجبة تمامًا بين جبر C*.

${\displaystyle \Psi$ :{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {A}}.}

يمكن بعد ذلك تضمين المعلومات الكلاسيكية في هذه الصياغة. ويمكن افتراض أن المتغيرات القابلة للرصد في نظام كلاسيكي هي جبر C* تبادلي، أي فضاء الدوال المتصلة${\displaystyle C(X)}$في موقع تصوير ما${\displaystyle X}$نفترض${\displaystyle X}$محدود لذا${\displaystyle C(X)}$يمكن تحديدها بالفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$باستخدام الضرب عنصرًا عنصرًا.

لذلك، في صورة هايزنبرغ، إذا كانت المعلومات الكلاسيكية جزءًا من المدخلات، على سبيل المثال، فإننا سنعرّف${\displaystyle {\mathcal {B}}}$لتضمين الكميات الكلاسيكية القابلة للرصد ذات الصلة. ومن الأمثلة على ذلك القناة

${\displaystyle \Psi :L(H_{B})\otimes C(X)\rightarrow L(H_{A}).}$

يلاحظ${\displaystyle L(H_{B})\otimes C(X)}$لا يزال جبرًا من نوع C*. عنصر${\displaystyle a}$من جبر C*${\displaystyle {\mathcal {A}}}$يُطلق عليه اسم إيجابي إذا${\displaystyle a=x^{*}x}$بالنسبة للبعض${\displaystyle x}$تُعرَّف إيجابية الخريطة وفقًا لذلك. هذا التوصيف ليس مقبولًا عالميًا؛ إذ يُقدَّم الجهاز الكمومي أحيانًا على أنه الإطار الرياضي المعمم لنقل كلٍّ من المعلومات الكمومية والكلاسيكية. في بديهيات ميكانيكا الكم، تُحمل المعلومات الكلاسيكية في جبر فروبينيوس أو فئة فروبينيوس .

بالنسبة لنظام كمومي بحت، يُعطى التطور الزمني، عند زمن معين t ، بالصيغة التالية:

${\displaystyle \rho \rightarrow U\rho \;U^{*},}$

أين${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$و H هو الهاميلتوني و t هو الزمن. وهذا يُعطي خريطة CPTP في صورة شرودنغر، وبالتالي فهي قناة. ^{[ 4 ]} الخريطة الثنائية في صورة هايزنبرغ هي

${\displaystyle A\rightarrow U^{*}AU.}$

لنفترض نظامًا كميًا مركبًا مع فضاء حالة${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}.}$بالنسبة للدولة

${\displaystyle \rho \in H_{A}\otimes H_{B},}$

يتم الحصول على الحالة المختزلة لـ ρ على النظام A ، ρ ^A ، عن طريق أخذ الأثر الجزئي لـ ρ بالنسبة للنظام B :

${\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\;\rho .}$

عملية التتبع الجزئي هي خريطة CPTP، وبالتالي فهي قناة كمومية في صورة شرودنغر. ^{[ 5 ]} في صورة هايزنبرغ، الخريطة الثنائية لهذه القناة هي

${\displaystyle A\rightarrow A\otimes I_{B},}$

حيث A هو متغير قابل للملاحظة في النظام A.

يرتبط المتغير القابل للملاحظة بقيمة عددية${\displaystyle f_{i}\in \mathbb {C} }$إلى تأثير ميكانيكي كمي${\displaystyle F_{i}}$.${\displaystyle F_{i}}$يُفترض أن تكون هذه العوامل موجبة وتؤثر على فضاء الحالة المناسب و${\textstyle \sum _{i}F_{i}=I}$(تُسمى هذه المجموعة POVM . ^{[ 6 ] [ 7 ]} ) في صورة هايزنبرغ، الخريطة المرئية المقابلة${\displaystyle \Psi }$يرسم خريطة لمتغير كلاسيكي قابل للملاحظة

${\displaystyle f={\begin{bmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{bmatrix}}\in C(X)}$

إلى الميكانيكا الكمومية

${\displaystyle \;\Psi (f)=\sum _{i}f_{i}F_{i}.}$

بمعنى آخر، يتم إجراء التكامل لـ f مقابل POVM للحصول على الكمية القابلة للرصد في ميكانيكا الكم. ويمكن التحقق من ذلك بسهولة.${\displaystyle \Psi }$هو CP ووحدة.

خريطة شرودنغر المقابلة${\displaystyle \Psi ^{*}}$يأخذ مصفوفات الكثافة إلى الحالات الكلاسيكية: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \Psi (\rho )={\begin{bmatrix}\langle F_{1}،\rho \rangle \\\vdots \\\langle F_{n}،\rho \rangle \end{bmatrix}},}$

حيث يكون الضرب الداخلي هو الضرب الداخلي لهيلبرت-شميدت. علاوة على ذلك، بالنظر إلى الحالات كدوال معيارية ، واستنادًا إلى نظرية تمثيل ريز ، يمكننا وضع

${\displaystyle \Psi (\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}.}$

في صورة شرودنغر، يمتلك التطبيق القابل للملاحظة جبرًا كلاسيكيًا بحتًا للمخرجات، وبالتالي فهو يصف إحصاءات القياس فقط. ولمراعاة تغير الحالة أيضًا، نُعرّف ما يُسمى بالأداة الكمومية .${\displaystyle \{F_{1},\dots ,F_{n}\}}$لتكن التأثيرات (POVM) المرتبطة بشيء قابل للملاحظة. في نموذج شرودنغر، الأداة هي خريطة${\displaystyle \Phi }$مع مدخلات كمومية خالصة${\displaystyle \rho \in L(H)}$ومع مساحة الإخراج${\displaystyle C(X)\otimes L(H)}$:

${\displaystyle \Phi (\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\cdot F_{1}\\\vdots \\\rho (F_{n})\cdot F_{n}\end{bmatrix}}.}$

يترك

${\displaystyle f={\begin{bmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{bmatrix}}\in C(X).}$

الخريطة المزدوجة في صورة هايزنبرغ هي

${\displaystyle \Psi (f\otimes A)={\begin{bmatrix}f_{1}\Psi _{1}(A)\\\vdots \\f_{n}\Psi _{n}(A)\end{bmatrix}}}$

أين${\displaystyle \Psi _{i}}$يُعرَّف على النحو التالي: العامل${\displaystyle F_{i}=M_{i}^{2}}$(يمكن القيام بذلك دائمًا لأن عناصر نموذج وجهة النظر إيجابية)${\displaystyle \;\Psi _{i}(A)=M_{i}AM_{i}}$نرى ذلك${\displaystyle \Psi }$هو CP ووحدة.

لاحظ أن${\displaystyle \Psi (f\otimes I)}$تُعطي الخريطة المرئية بدقة.

${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(A)=\sum _{i}\Psi _{i}(A)=\sum _{i}M_{i}AM_{i}}$

يصف التغيير العام في الحالة.

لنفترض أن طرفين ، أ و ب، يرغبان في التواصل بالطريقة التالية: يقوم أ بقياس كمية قابلة للرصد، ثم يُبلغ ب نتيجة القياس بطريقة كلاسيكية . وبناءً على الرسالة التي يتلقاها، يُهيئ ب نظامه (الكمي) لحالة محددة. في نموذج شرودنغر، يُمثل الجزء الأول من القناة${\displaystyle \Phi }$₁ يتكون ببساطة من قيام A بإجراء قياس، أي أنه الخريطة القابلة للملاحظة:

${\displaystyle \;\Phi _{1}(\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}.}$

إذا قام B ، في حالة نتيجة القياس رقم i ، بإعداد نظامه في الحالة R _i ، فإن الجزء الثاني من القناة${\displaystyle \Phi }$_2- يأخذ الحالة الكلاسيكية المذكورة أعلاه إلى مصفوفة الكثافة

${\displaystyle \Phi _{2}\left({\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}\right)=\sum _{i}\rho (F_{i})R_{i}.}$

العملية الكاملة هي التركيب

${\displaystyle \Phi (\rho )=\Phi _{2}\circ \Phi _{1}(\rho )=\sum _{i}\rho (F_{i})R_{i}.}$

تُسمى القنوات من هذا النوع قنوات القياس والتحضير أو قنوات كسر التشابك. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

في صورة هايزنبرغ، الخريطة المزدوجة${\displaystyle \Phi ^{*}=\Phi _{1}^{*}\circ \Phi _{2}^{*}}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle \;\Phi ^{*}(A)=\sum _{i}R_{i}(A)F_{i}.}$

لا يمكن أن تكون قناة القياس والتحضير هي دالة التطابق. هذا هو تحديدًا نص نظرية انعدام النقل الآني ، التي تنص على أن النقل الآني الكلاسيكي (لا يُخلط بينه وبين النقل الآني بمساعدة التشابك ) مستحيل. بعبارة أخرى، لا يمكن قياس الحالة الكمومية بدقة.

في ثنائية القناة والحالة ، تُعتبر القناة قابلة للقياس والتحضير إذا وفقط إذا كانت الحالة المقابلة لها قابلة للفصل . في الواقع، جميع الحالات الناتجة عن التأثير الجزئي لقناة القياس والتحضير قابلة للفصل، ولهذا السبب تُعرف قنوات القياس والتحضير أيضًا باسم قنوات كسر التشابك.

لنفترض حالة قناة كمومية بحتة${\displaystyle \Psi }$في صورة هايزنبرغ. بافتراض أن كل شيء ذو أبعاد محدودة،${\displaystyle \Psi }$هي دالة CP أحادية بين فضاءات المصفوفات

${\displaystyle \Psi$ :\mathbb {C} ^{n\times n}\rightarrow \mathbb {C} ^{m\times m}.}

بحسب نظرية تشوي حول التطبيقات الموجبة تمامًا ،${\displaystyle \Psi }$يجب أن يتخذ الشكل

${\displaystyle \Psi (A)=\sum _{i=1}^{N}K_{i}AK_{i}^{*}}$

حيث N ≤ nm . تُسمى المصفوفات Ki بمؤثرات كراوس _لـ${\displaystyle \Psi }$(نسبةً إلى الفيزيائي الألماني كارل كراوس ، الذي قدمها). ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]} يُطلق على الحد الأدنى لعدد مُؤثرات كراوس اسم رتبة كراوس.${\displaystyle \Psi }$تُسمى القناة ذات رتبة كراوس 1 قناة نقية . يُعد التطور الزمني مثالًا على القناة النقية. هذا المصطلح مستمد من ازدواجية القناة والحالة. تكون القناة نقية إذا وفقط إذا كانت حالتها الثنائية حالة نقية.

في النقل الكمومي ، يرغب المرسل في نقل حالة كمومية عشوائية لجسيم إلى مستقبل قد يكون بعيدًا. وبالتالي، تُعد عملية النقل الكمومي قناة كمومية. ويتطلب جهاز هذه العملية قناة كمومية لنقل جسيم واحد في حالة متشابكة إلى المستقبل. ويحدث النقل الكمومي من خلال قياس مشترك للجسيم المرسل والجسيم المتشابك المتبقي. وينتج عن هذا القياس معلومات كلاسيكية يجب إرسالها إلى المستقبل لإتمام عملية النقل الكمومي. ومن المهم الإشارة إلى أنه يمكن إرسال المعلومات الكلاسيكية حتى بعد زوال القناة الكمومية.

قبل تقديم تعريف سعة القناة، يجب مناقشة المفهوم الأولي لمعيار التقييد الكامل ، أو معيار cb للقناة. عند النظر في سعة القناة${\displaystyle \Phi }$، نحتاج إلى مقارنتها بـ "قناة مثالية".${\displaystyle \Lambda }$على سبيل المثال، عندما تكون جبريات المدخلات والمخرجات متطابقة، يمكننا اختيار${\displaystyle \Lambda }$أن تكون خريطة التطابق. تتطلب هذه المقارنة مقياسًا بين القنوات. بما أن القناة يمكن اعتبارها عاملًا خطيًا، فمن المغري استخدام معيار العامل الطبيعي . بعبارة أخرى، مدى تقارب${\displaystyle \Phi }$إلى القناة المثالية${\displaystyle \Lambda }$يمكن تعريفها بواسطة

${\displaystyle \|\Phi -\Lambda \|=\sup\{\|(\Phi -\Lambda )(A)\|\;|\;\|A\|\leq 1\}.}$

ومع ذلك، قد يزداد معيار المؤثر عند استخدام الموترات.${\displaystyle \Phi }$مع خريطة الهوية على بعض الوحدات المساعدة.

ولجعل معيار المشغل خيارًا غير مرغوب فيه على الإطلاق، فإن الكمية

${\displaystyle \|\Phi \otimes I_{n}\|}$

قد يزداد بلا حدود حيث${\displaystyle n\rightarrow \infty .}$الحل هو إدخال، لأي تحويل خطي${\displaystyle \Phi }$بين جبر C*، معيار cb

${\displaystyle \|\Phi \|_{cb}=\sup _{n}\|\Phi \otimes I_{n}\|.}$

النموذج الرياضي للقناة المستخدم هنا هو نفسه النموذج الكلاسيكي .

يترك${\displaystyle \Psi$ :{\mathcal {B}}_{1}\rightarrow {\mathcal {A}}_{1}} قناة في صورة هايزنبرغ و${\displaystyle \Psi _{id}:{\mathcal {B}}_{2}\rightarrow {\mathcal {A}}_{2}}$لنفترض قناة مثالية مختارة. ولجعل المقارنة ممكنة، يجب ترميز وفك ترميز Φ عبر أجهزة مناسبة، أي أننا نأخذ في الاعتبار التركيب.

${\displaystyle {\hat {\Psi }}=D\circ \Phi \circ E:{\mathcal {B}}_{2}\rightarrow {\mathcal {A}}_{2}}$

حيث E هو مُشفِّر و D هو مُفكِّك. في هذا السياق، E و D عبارة عن خرائط CP أحادية ذات نطاقات مناسبة. الكمية محل الاهتمام هي أفضل سيناريو ممكن .

${\displaystyle \Delta ({\hat {\Psi }},\Psi _{id})=\inf _{E,D}\|{\hat {\Psi }}-\Psi _{id}\|_{cb}}$

مع أخذ الحد الأدنى على جميع أجهزة التشفير وفك التشفير الممكنة.

لنقل كلمات بطول n ، يجب تطبيق القناة المثالية n مرة، لذلك نأخذ في الاعتبار قوة الموتر

${\displaystyle \Psi _{id}^{\otimes n}=\Psi _{id}\otimes \cdots \otimes \Psi _{id}.}$

ال${\displaystyle \otimes }$تصف العملية المدخلات n التي تخضع للعملية${\displaystyle \Psi _{id}}$بشكل مستقل، وهو النظير الكمومي لعملية الربط . وبالمثل، فإن استدعاءات القناة m تتوافق مع${\displaystyle {\hat {\Psi }}^{\otimes m}}$.

الكمية

${\displaystyle \Delta ({\hat {\Psi }}^{\otimes m},\Psi _{id}^{\otimes n})}$

وبالتالي، فهو مقياس لقدرة القناة على نقل الكلمات ذات الطول n بأمانة من خلال استدعائها m مرة.

وهذا يؤدي إلى التعريف التالي:

العدد الحقيقي غير السالب r هو معدل قابل للتحقيق${\displaystyle \Psi }$بالنسبة إلى${\displaystyle \Psi _{id}}$لو

لجميع التسلسلات${\displaystyle \{n_{\alpha }\},\{m_{\alpha }\}\subset \mathbb {N} }$أين${\displaystyle m_{\alpha }\rightarrow \infty }$و${\displaystyle \lim \sup _{\alpha }(n_{\alpha }/m_{\alpha })<r}$لدينا

${\displaystyle \lim _{\alpha }\Delta ({\hat {\Psi }}^{\otimes m_{\alpha }},\Psi _{id}^{\otimes n_{\alpha }})=0.}$

تسلسل${\displaystyle \{n_{\alpha }\}}$يمكن اعتبارها تمثيلاً لرسالة تتكون من عدد لا نهائي من الكلمات. ينص شرط الحد الأقصى في التعريف على أنه في النهاية، يمكن تحقيق إرسال دقيق باستخدام القناة بما لا يزيد عن r ضعف طول الكلمة. ويمكن القول أيضًا أن r هو عدد الأحرف التي يمكن إرسالها دون خطأ في كل استخدام للقناة.

سعة القناة${\displaystyle \Psi }$بالنسبة إلى${\displaystyle \Psi _{id}}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle \;C(\Psi ,\Psi _{id})}$هو أعلى معدل يمكن تحقيقه.

من التعريف، من الواضح تماماً أن 0 هو معدل يمكن تحقيقه لأي قناة.

كما ذكرنا سابقاً، بالنسبة لنظام ذي جبر قابل للملاحظة${\displaystyle {\mathcal {B}}}$القناة المثالية${\displaystyle \Psi _{id}}$هي بحكم تعريفها خريطة الهوية${\displaystyle I_{\mathcal {B}}}$وبالتالي، بالنسبة لنظام كمومي ذي أبعاد n بحتة ، فإن القناة المثالية هي دالة التطابق على فضاء المصفوفات n  × n. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$. وكتجاوز طفيف للرموز، سيُشار إلى هذه القناة الكمومية المثالية أيضًا بـ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$وبالمثل، نظام كلاسيكي ذو جبر مخرجات${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$سيكون لها قناة مثالية يُرمز لها بنفس الرمز. يمكننا الآن تحديد بعض القدرات الأساسية للقناة.

سعة القناة المثالية الكلاسيكية${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$فيما يتعلق بقناة مثالية كمومية${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$يكون

${\displaystyle C(\mathbb {C} ^{m},\mathbb {C} ^{n\times n})=0.}$

وهذا يعادل نظرية عدم النقل الآني: من المستحيل نقل المعلومات الكمومية عبر قناة كلاسيكية.

علاوة على ذلك، تتحقق المساواة التالية:

${\displaystyle C(\mathbb {C} ^{m},\mathbb {C} ^{n})=C(\mathbb {C} ^{m\times m},\mathbb {C} ^{n\times n})=C(\mathbb {C} ^{m\times m},\mathbb {C} ^{n})={\frac {\log n}{\log m}}.}$

على سبيل المثال، تشير المعطيات السابقة إلى أن القناة الكمومية المثالية ليست أكثر كفاءة في نقل المعلومات الكلاسيكية من القناة الكلاسيكية المثالية. فعندما يكون n = m ، فإن أفضل ما يمكن تحقيقه هو بت واحد لكل كيوبت .

من الجدير بالذكر هنا أنه يمكن تجاوز كلا الحدين المذكورين أعلاه للسعات باستخدام التشابك الكمومي . تسمح آلية النقل الكمومي المدعومة بالتشابك بنقل المعلومات الكمومية عبر قناة كلاسيكية. ويحقق التشفير فائق الكثافة بتين لكل كيوبت. تشير هذه النتائج إلى الدور المحوري الذي يلعبه التشابك الكمومي في الاتصالات الكمومية.

باستخدام نفس الترميز المستخدم في القسم الفرعي السابق، فإن السعة الكلاسيكية للقناة Ψ هي

${\displaystyle C(\Psi ,\mathbb {C} ^{2}),}$

أي أنها سعة Ψ بالنسبة للقناة المثالية على نظام البت الواحد الكلاسيكي${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$.

وبالمثل، فإن السعة الكمومية لـ Ψ هي

${\displaystyle C(\Psi ,\mathbb {C} ^{2\times 2}),}$

حيث أصبح نظام المرجع الآن نظام الكيوبت الواحد${\displaystyle \mathbb {C} ^{2\times 2}}$.