نظرية التفرع الزائد

في الهندسة ، تنص نظرية ثورستون للهندسة أو نظرية القطع الزائد على أن مشعبات هاكن المغلقة ذات الشكل الحلقي هي قطع زائد، وعلى وجه الخصوص تحقق حدسية ثورستون .

تنص إحدى صيغ نظرية القطع الزائد على ما يلي: إذا كان M عبارة عن مشعب هاكن مضغوط غير قابل للاختزال ذو خصائص أويلر صفرية ، فإن الجزء الداخلي من M له بنية زائدية كاملة ذات حجم محدود.

تنص نظرية موستو للصلابة على أنه إذا كان للمتشعب ذي البعد 3 على الأقل بنية زائدية ذات حجم محدود، فإنه يكون فريدًا بشكل أساسي.

إن شرطي كون المتشعب M غير قابل للاختزال وحلقيًا ضروريان، إذ تتمتع المتشعبات الزائدية بهذه الخصائص. مع ذلك، فإن شرط كون المتشعب هاكن يُعدّ شرطًا قويًا بلا داعٍ. تنصّ حدسية ثورستون للزيادة على أن المتشعب الثلاثي المغلق غير القابل للاختزال والحلقي ذي المجموعة الأساسية اللانهائية هو متشعب زائدي، وهذا ما يستنتج من برهان بيرلمان لحدسية ثورستون الهندسية.

أظهر ثورستون (1982 ، 2.3) أنه إذا كان مشعب 3 مضغوط أوليًا، ومتجانسًا طوبولوجيًا، وله حدود غير فارغة، فإنه يمتلك بنية زائدية كاملة ما لم يكن متماثلًا مع مشعب معين ( T ² × [0,1]) / Z / 2 Z بحدود T ² .

يكون للبنية الزائدية على الجزء الداخلي من متعدد الشعب الموجه المضغوط حجم محدود إذا وفقط إذا كانت جميع مكونات الحدود عبارة عن حلقات، باستثناء متعدد الشعب T ² × [0,1] الذي يحتوي على بنية زائدية ولكن ليس له حجم محدود ( Thurston 1982 ، ص 359) . 

لم ينشر ثورستون برهانًا كاملًا لنظريته لأسباب أوضحها في ( ثورستون، 1994 ) ، مع أن أجزاءً من حجته موجودة في ( ثورستون ، 1986 ، 1998أ ، 1998ب ) . وقدّم كلٌّ من وول (1984) ومورغان (1984) ملخصاتٍ لبرهان ثورستون. وقدّم أوتال (1996) برهانًا في حالة المتشعبات التي تتداخل مع الدائرة، وقدّم كلٌّ من أوتال (1998) وكابوفيتش (2009) براهين للحالة العامة للمتشعبات التي لا تتداخل مع الدائرة. كما تنبثق نظرية ثورستون في الهندسة من برهان بيرلمان باستخدام تدفق ريتشي لتخمين ثورستون الأكثر عمومية في الهندسة . 

لخص سوليفان (1981) الحجة الأصلية لثورستون في هذه الحالة . وقدم أوتال (1996) برهاناً في حالة المشعبات التي تتداخل مع الدائرة.

تنص نظرية ثورستون الهندسية في هذه الحالة الخاصة على أنه إذا كان M متعدد الشعب ثلاثي الأبعاد يمتد فوق الدائرة ويكون أحادي التفرع الخاص به عبارة عن تماثل تبايني زائف من نوع أنوسوف ، فإن الجزء الداخلي من M له مقياس زائد كامل ذو حجم محدود.

قدم كل من أوتال (1998) وكابوفيتش (2009) براهين لنظرية ثورستون للحالة العامة للمشعبات التي لا تتشابك فوق الدائرة.

تتلخص فكرة البرهان في قطع مشعب هاكن M على طول سطح غير قابل للانضغاط، للحصول على مشعب جديد N. وبالاستقراء، يُفترض أن باطن N ذو بنية زائدية، وتكمن المشكلة في تعديله بحيث يمكن تمديده إلى حدود N ولصقه. أظهر ثورستون أن هذا يتبع من وجود نقطة ثابتة لخريطة في فضاء تايخمولر تُسمى خريطة التكسية . يكمن جوهر برهان نظرية الهندسة في إثبات أنه إذا لم يكن N حزمة فترات فوق سطح، وكان M مشعبًا حلقيًا، فإن خريطة التكسية لها نقطة ثابتة. (إذا كان N حزمة فترات، فإن خريطة التكسية ليس لها نقطة ثابتة، ولهذا السبب نحتاج إلى حجة منفصلة عندما يكون M ممتدًا على دائرة). قدم ماكمولين (1990) برهانًا جديدًا على وجود نقطة ثابتة لخريطة التكسية.

• كابوفيتش، مايكل (2009) [2001]، المشعبات الزائدية والمجموعات المنفصلة ، ​​كلاسيكيات بيركهاوزر الحديثة، بوسطن، ماساتشوستس: بيركهاوزر بوسطن، doi : 10.1007/978-0-8176-4913-5 ، ISBN 978-0-8176-4912-8MR 1792613​ 
• مكمولين، سي. (1990)، "التكرار في فضاء تايخمولر"، Inventiones Mathematicae ، 99 (2): 425-454 ، Bibcode : 1990InMat..99..425M ، CiteSeerX 10.1.1.39.2226 ، doi : 10.1007/BF01234427 ، MR 1031909 ، S2CID 122626150   
• مورغان، جون دبليو. (1984)، "حول نظرية ثورستون للتوحيد للمشعبات ثلاثية الأبعاد" ، في مورغان، جون دبليو.؛ باس، هايمان (محرران)، حدسية سميث (نيويورك، 1979) ، الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد  112، بوسطن، ماساتشوستس: أكاديميك برس ، الصفحات 37-125 ، ISBN  978-0-12-506980-9، MR 0758464 
• أوتال، جان بيير (1996)، “Le théorème d’hyperbolisation pour les variétés fibrées de Dimension 3”، Astérisque (235)، MR 1402300 تُرجمت إلى الإنجليزية بعنوان: Otal, Jean-Pierre (2001) [1996]، Kay, Leslie D. (ed.)، نظرية القطع الزائد للمشعبات ثلاثية الأبعاد الليفية ، نصوص ودراسات SMF/AMS، المجلد 7، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN  978-0-8218-2153-4MR 1855976​ 
• أوتال، جان بيير (1998)، "تضخيم ثورستون لمتشعبات هاكن" ، في هسيونغ، سي. سي.؛ ياو، شينغ تونغ (محرران)، دراسات في الهندسة التفاضلية، المجلد الثالث (كامبريدج، ماساتشوستس، 1996) ، دار النشر الدولية، بوسطن، ماساتشوستس، الصفحات 77-194 ، ISBN  978-1-57146-067-7، MR 1677888 ، مؤرشف من الأصل بتاريخ 2011-01-06 
• سوليفان، دينيس (1981)، “Travaux de Thurston sur les groupes quasi-fuchsiens et les variétés overboliques de Dimension 3 fibrées sur S ¹ ” ، ندوة بورباكي، المجلد. 1979/80 ، ملاحظات المحاضرات في الرياضيات، المجلد.  842، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، الصفحات من 196 إلى 214، دوى : 10.1007 / BFb0089935 ، ISBN  978-3-540-10292-2، MR 0636524 
• ثورستون، ويليام ب. (1982)، "المتشعبات ثلاثية الأبعاد، ومجموعات كلاين، والهندسة الزائدية"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، السلسلة الجديدة، 6 (3): 357-381 ، doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0 ، MR 0648524 وهذا يعطي البيان الأصلي للفرضية.
• ثورستون، ويليام ب. (1986)، "البنى الزائدية على المشعبات ثلاثية الأبعاد. الجزء الأول: تشوه المشعبات الأسطوانية"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 124 (2): 203-246 ، arXiv : math/9801019 ، doi : 10.2307/1971277 ، JSTOR 1971277 ، MR 0855294 ، S2CID 14114726   
• ثورستون، ويليام ب. (1994)، "حول البرهان والتقدم في الرياضيات"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، السلسلة الجديدة، 30 (2): 161-177 ، arXiv : math/9404236 ، doi : 10.1090/S0273-0979-1994-00502-6 ، MR 1249357 
• ثورستون، ويليام ب. (1998أ) [1986]، البنى الزائدية على المشعبات ثلاثية الأبعاد، الجزء الثاني: مجموعات السطح والمشعبات ثلاثية الأبعاد التي تتفرع فوق الدائرة ، arXiv : math/9801045 ، Bibcode : 1998math......1045T
• ثورستون، ويليام ب. (1998ب) [1986]، البنى الزائدية على المشعبات ثلاثية الأبعاد، الجزء الثالث: تشوهات المشعبات ثلاثية الأبعاد ذات الحدود غير القابلة للانضغاط ، arXiv : math/9801058 ، Bibcode : 1998math......1058T
• وال، سي تي سي (1984)، "حول أعمال دبليو ثورستون" ، في تشيسيلسكي، زبيغنيو؛ أوليتش، تشيسواف (محرران)، وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات، المجلد 1 (وارسو، 1983) ، وارسو: PWN، الصفحات 11-14 ، ISBN  978-83-01-05523-3، MR 0804672 

• كابوفيتش، م.، نظرية الهندسة (ملف PDF)