نظرية موستو للصلابة

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 21 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تنص نظرية موستو للصلابة ، أو نظرية الصلابة القوية ، أو نظرية موستو-براساد للصلابة ، على أن هندسة أي فضاء زائدي كامل ذي حجم محدود وبُعد أكبر من اثنين تُحددها المجموعة الأساسية ، وبالتالي فهي فريدة. وقد برهن موستو (1968) على هذه النظرية للفضاءات المغلقة ، ثم وسّعها ماردن (1974) لتشمل الفضاءات ذات الحجم المحدود في ثلاثة أبعاد، وبراساد ( 1973 ) في جميع الأبعاد التي لا تقل عن ثلاثة. وقدّم غروموف (1981) برهانًا بديلًا باستخدام معيار غروموف . أما بيسون وكورتوا وغالوت (1996) فقد قدّموا أبسط برهان متاح.  

بينما تُظهر النظرية أن فضاء التشوه للهياكل الزائدية (الكاملة) على حجم زائدي محدودن{\displaystyle n}-متعدد الشعب (لـن>2{\displaystyle n>2}) هي نقطة، لسطح زائدي من النوعز>1{\displaystyle g>1}يوجد فضاء معياري ذو بُعد6ز-6{\displaystyle 6g-6}تُحدد هذه النظرية جميع المقاييس ذات الانحناء الثابت (حتى التماثل التفاضلي )، وهي حقيقة أساسية لنظرية تايخمولر . كما توجد نظرية غنية لفضاءات التشوه للهياكل الزائدية على مشعبات ذات حجم لانهائي في ثلاثة أبعاد.

النظرية

يمكن صياغة النظرية في صيغة هندسية (تتعلق بالمتشعبات الكاملة ذات الحجم المحدود)، وفي صيغة جبرية (تتعلق بالشبكات في مجموعات لي ).

شكل هندسي

يتركحن{\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}كنن{\displaystyle n}الفضاء الزائدي ذو الأبعاد n . يمكن تعريف مشعب زائدي كامل على أنه خارج قسمةحن{\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}بواسطة مجموعة من التماثلات التي تعمل بحرية وبشكل غير متصل تمامًا (يكافئ تعريفها على أنها مشعب ريماني ذو انحناء مقطعي -1 وهو كامل ). يكون حجمها محدودًا إذا كان تكامل شكل الحجم محدودًا (وهو الحال، على سبيل المثال، إذا كانت متراصة). يمكن صياغة نظرية موستو للصلابة على النحو التالي:

يفترضم{\displaystyle M}وشمال{\displaystyle N}هي مشعبات زائدية كاملة ذات حجم محدود من البعدن≥3{\displaystyle n\geq 3}إذا وُجد تماثلو:π1(م)→π1(شمال){\displaystyle f\colon \pi _{1}(M)\to \pi _{1}(N)}ثم يتم استحداثه بواسطة قياس متساوي فريد منم{\displaystyle M}لشمال{\displaystyle N}.

هناπ1(X){\displaystyle \pi _{1}(X)}هي المجموعة الأساسية لمتشعبX{\displaystyle X}. لوX{\displaystyle X}هو فضاء زائدي يتم الحصول عليه كحاصل قسمةحن{\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}بواسطة مجموعةΓ{\displaystyle \Gamma }ثمπ1(X)≅Γ{\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \Gamma }.

العبارة المكافئة هي أن أي تكافؤ تماثلي منم{\displaystyle M}لشمال{\displaystyle N}يمكن تحويلها إلى شكل متساوي القياس فريد. يُظهر البرهان في الواقع أنه إذاشمال{\displaystyle N}له أبعاد أكبر منم{\displaystyle M}إذن لا يمكن أن يكون هناك تكافؤ تماثلي بينهما.

الشكل الجبري

مجموعة التماثلات في الفضاء الزائديحن{\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}يمكن ربطها بمجموعة لايPيا(ن،1){\displaystyle \mathrm {PO} (n,1)}( المجموعة المتعامدة الإسقاطية لشكل تربيعي للتوقيع)(ن،1){\displaystyle (n,1)}إذن، العبارة التالية تعادل العبارة السابقة.

يتركن≥3{\displaystyle n\geq 3}وΓ{\displaystyle \Gamma }وΛ{\displaystyle \Lambda }لنكن شبكتين فيPيا(ن،1){\displaystyle \mathrm {PO} (n,1)}ولنفترض أن هناك تماثلًا بين المجموعاتو:Γ→Λ{\displaystyle f\colon \Gamma \to \Lambda }. ثمΓ{\displaystyle \Gamma }وΛ{\displaystyle \Lambda }مترافقة فيPيا(ن،1){\displaystyle \mathrm {PO} (n,1)}أي أن هناكز∈Pيا(ن،1){\displaystyle g\in \mathrm {PO} (n,1)}بحيثΛ=زΓز-1{\displaystyle \Lambda =g\Gamma g^{-1}}.

بشكل عام

تتحقق صلابة موستو (في صياغتها الهندسية) بشكل أعم بالنسبة للمجموعات الأساسية لجميع الفضاءات الكاملة، ذات الحجم المحدود، والمنحنية بشكل غير موجب (بدون عوامل إقليدية)، والمتناظرة محليًا، والتي لا يقل بُعدها عن ثلاثة، أو في صياغتها الجبرية لجميع الشبكات في مجموعات لي البسيطة غير المتماثلة محليًا معSL2(R){\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}.

التطبيقات

يستنتج من نظرية موستو للصلابة أن مجموعة التماثلات لسطح زائدي ذي حجم محدودن{\displaystyle n}-متعدد المنافذم{\displaystyle M}(لن>2{\displaystyle n>2}) محدود ومتماثل معخارج⁡(π1(م)){\displaystyle \operatorname {Out} (\pi _{1}(M))}.

كما استخدم ثورستون صلابة موستو لإثبات تفرد تمثيلات تعبئة الدوائر للرسوم البيانية المستوية المثلثة . [ 1 ]

من نتائج صلابة موستو ذات الأهمية في نظرية المجموعة الهندسية وجود مجموعات زائدية شبه متساوية القياس ولكنها غير قابلة للقياس مع بعضها البعض.

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع