مادة مرنة

في ميكانيكا الأوساط المتصلة ، تُعرَّف المادة المرنة الناقصة ^{[ 1 ]} بأنها مادة مرنة ذات نموذج بنيوي مستقل عن مقاييس الإجهاد المحدود، باستثناء الحالة الخطية. وتختلف نماذج المواد المرنة الناقصة عن نماذج المواد المرنة الفائقة (أو نماذج المرونة القياسية) في أنها، باستثناء ظروف خاصة، لا يمكن اشتقاقها من دالة كثافة طاقة الإجهاد .

يمكن تعريف المادة المرنة بشكل دقيق على أنها مادة يتم نمذجتها باستخدام معادلة تأسيسية تحقق المعيارين التاليين: ^{[ 2 ]}

1. إجهاد كوشي${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$في ذلك الوقت${\displaystyle t}$يعتمد ذلك فقط على ترتيب شغل الجسم لتكويناته السابقة، وليس على معدل الزمن الذي تم فيه اجتياز هذه التكوينات السابقة. وكحالة خاصة، يشمل هذا المعيار مادة كوشي المرنة ، حيث يعتمد الإجهاد الحالي فقط على التكوين الحالي وليس على تاريخ التكوينات السابقة.
2. توجد دالة ذات قيم موترية${\displaystyle G}$بحيث$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}=G({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {L}})\,,}$$في أي${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}}$يمثل معدل المادة لموتر إجهاد كوشي، و${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$هو موتر تدرج السرعة المكانية .

إذا اقتصر تعريف المرونة المنخفضة على هذين المعيارين الأصليين، فسيتم إدراج المرونة العالية كحالة خاصة، مما يدفع بعض واضعي النماذج التكوينية إلى إضافة معيار ثالث يشترط تحديدًا ألا يكون النموذج المرن المنخفض مرنًا عاليًا (أي أن المرونة المنخفضة تعني أن الإجهاد لا يمكن اشتقاقه من طاقة كامنة). وإذا تم اعتماد هذا المعيار الثالث، فإنه يترتب على ذلك أن المادة المرنة المنخفضة قد تسمح بمسارات تحميل أديباتية غير محافظة تبدأ وتنتهي بنفس تدرج التشوه، ولكنها لا تبدأ وتنتهي عند نفس الطاقة الداخلية .

لاحظ أن المعيار الثاني يتطلب فقط أن تكون الدالة${\displaystyle G}$موجود . وكما هو موضح أدناه، تستخدم الصيغ المحددة للنماذج المرنة عادةً ما يسمى بمعدل الإجهاد الموضوعي بحيث${\displaystyle G}$توجد هذه الوظيفة ضمنيًا فقط.

غالباً ما تتخذ نماذج المواد المرنة شكل $${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {\tau }}}={\mathsf {M}}:{\boldsymbol {d}}}$$ أين${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {\tau }}}}$هو معدل موضوعي لإجهاد كيرشوف (${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}:=J{\boldsymbol {\sigma }}}$)${\textstyle {\boldsymbol {d}}:=\left[{\frac {1}{2}}({\boldsymbol {L}}+{\boldsymbol {L}}^{T})\right]}$هو موتر معدل التشوه ، و${\displaystyle {\mathsf {M}}}$يُعرف هذا باسم موتر الصلابة المماسية المرنة، والذي يتغير بتغير الإجهاد نفسه، ويُعتبر موترًا لخواص المادة. في المرونة الفائقة، يجب أن تعتمد الصلابة المماسية عمومًا على تدرج التشوه من أجل مراعاة تشوه ودوران اتجاهات ألياف المادة غير المتجانسة بشكل صحيح. ^{[ 3 ]}

في العديد من المسائل العملية في ميكانيكا المواد الصلبة ، يكفي وصف تشوه المادة بواسطة موتر الإجهاد الصغير (أو الخطي). $${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{i,j}+u_{j,i})}$$ أين${\displaystyle u_{i}}$تمثل هذه القيم مكونات إزاحات نقاط الوسط المتصل، وتشير الرموز السفلية إلى الإحداثيات الديكارتية.${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle (i=1,2,3)}$وتشير الرموز السفلية التي تسبقها فاصلة إلى المشتقات الجزئية (على سبيل المثال، ${\displaystyle u_{i,j}=\partial u_{i}/\partial x_{j}}$لكن هناك أيضاً العديد من المشاكل التي يجب فيها مراعاة محدودية الإجهاد. وهذه المشاكل نوعان:

1. تشوهات مرنة غير خطية كبيرة تمتلك طاقة كامنة،${\displaystyle W({\boldsymbol {F}})}$(كما هو موضح، على سبيل المثال، في المطاط)، حيث يتم الحصول على مكونات موتر الإجهاد كمشتقات جزئية لـ${\displaystyle W}$فيما يتعلق بمكونات موتر الإجهاد المحدود؛ و
2. التشوهات غير المرنة التي لا تمتلك أي طاقة كامنة، والتي يتم فيها تحديد علاقة الإجهاد والانفعال بشكل تدريجي.

في النوع الأول، يكون نموذج الإجهاد الكلي الموصوف في مقال نظرية الإجهاد المحدود مناسبًا. أما في النوع الثاني، فيلزم استخدام نموذج تزايدي (أو نموذج معدل) في كل خطوة تحميل أو زمنية لبرنامج حاسوبي للعناصر المحدودة باستخدام إجراء لاغرانجي مُحدَّث. ويثير غياب الجهد الكامن تساؤلات معقدة نظرًا لحرية اختيار مقياس الإجهاد المحدود وتوصيف معدل الإجهاد.

بالنسبة لخطوة تحميل صغيرة بما فيه الكفاية (أو زيادة)، يمكن استخدام موتر معدل التشوه (أو إجهاد السرعة). $${\displaystyle d_{ij}={\dot {\varepsilon}}_ {ij}={\frac {1}{2}}(v_{i,j}+v_{j,i})}$$ أو زيادة $${\displaystyle \Delta \varepsilon _{ij}={\dot {\varepsilon }}_ {ij}\Delta t=d_{ij}\Delta t}$$ يمثل هذا الشكل الزيادة الخطية في الانفعال من الحالة الأولية (المجهدة والمشوهة) في الخطوة. وتمثل النقطة العلوية هنا مشتقة الزمن للمادة (${\displaystyle \partial /\partial t}$(بعد جسيم مادي معين)،${\displaystyle \Delta }$يشير إلى زيادة طفيفة عن الخطوة،${\displaystyle t}$= الوقت، و${\displaystyle v_{i}={\dot {u}}_{i}}$= سرعة النقطة المادية أو معدل الإزاحة.

ومع ذلك، لن يكون من الموضوعية استخدام المشتق الزمني للإجهاد الكوشي (أو الحقيقي)${\displaystyle \sigma _{ij}}$هذا الإجهاد، الذي يصف القوى المؤثرة على عنصر مادي صغير يُفترض أنه مقطوع من المادة المشوهة حاليًا، ليس موضوعيًا لأنه يتغير بتغير دوران المادة كجسم صلب. يجب تحديد نقاط المادة بإحداثياتها الأولية.${\displaystyle X_{i}}$(تسمى لاغرانجية) لأن جزيئات مادية مختلفة موجودة في العنصر الذي يتم قطعه (في نفس الموقع) قبل وبعد التشوه التدريجي.

وبالتالي، من الضروري إدخال ما يسمى بمعدل الإجهاد الموضوعي${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{ij}}$أو الزيادة المقابلة${\displaystyle \Delta \sigma _{ij}={\hat {\sigma }}_{ij}\Delta t}$الموضوعية ضرورية لـ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{ij}}$أن تكون مرتبطة وظيفيًا بتشوه العنصر. وهذا يعني أن${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{ij}}$يجب أن يكون ثابتًا فيما يتعلق بتحويلات الإحداثيات (وخاصة الدورانات) ويجب أن يصف حالة نفس عنصر المادة أثناء تشوهه.

• تدابير الإجهاد
• مادة فائقة المرونة
• معدلات الإجهاد الموضوعية
• مبدأ الموضوعية المادية
• نظرية الإجهاد المحدود
• نظرية الإجهاد المتناهي الصغر

• تروسديل، كليفورد (1963)، "ملاحظات حول المرونة المنخفضة"، مجلة البحوث التابعة للمكتب الوطني للمعايير، القسم ب ، 67 ب (3): 141-143