الدفع (في الفيزياء)

في حالة الزمن المستمر، يتم تعريف الدفعة التي يتم توصيلها بكتلة ثابتة بواسطة قوة متغيرة تعمل من الزمن t ₁ إلى t ₂ على أنها تكامل القوة F بالنسبة للزمن ^{[ 5 ]} : $${\displaystyle \mathbf {J} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} t.}$$بحسب قانون نيوتن الثاني ، ترتبط القوة بالزخم p بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}.}$$لذلك، $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} &=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t\\&=\int _{\mathbf {p} _{1}}^{\mathbf {p} _{2}}\mathrm {d} \mathbf {p} \\&=\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{1}=\Delta \mathbf {p} ,\end{aligned}}}$$ حيث Δ p هو التغير في الزخم الخطي من الزمن t ₁ إلى t _2. وهذا ما يسمى غالبًا بنظرية الدفع والزخم (على غرار نظرية الشغل والطاقة ).

نتيجةً لما سبق، يمكن اعتبار الدفعة أيضاً بمثابة التغير في كمية حركة الجسم الذي تُطبَّق عليه قوة محصلة. ويمكن التعبير عن الدفعة بصيغة أبسط عندما تكون الكتلة ثابتة. $${\displaystyle \mathbf {J} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} t=\Delta \mathbf {p} =m\mathbf {v_{2}} -m\mathbf {v_{1}} ,}$$ أين

• F هي القوة المحصلة المطبقة،
• يمثل t1 _و t2 وقتي بدء وانتهاء النبضة، على _{التوالي} .
• m هي كتلة الجسم،
• v2 هي السرعة النهائية للجسم في نهاية الفترة الزمنية، _و
• v ₁ هي السرعة الابتدائية للجسم عندما تبدأ الفترة الزمنية.

يُكتب قانون نيوتن الثاني غالبًا على النحو التالي:$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}.}$$ لكن هذا ينطبق فقط عندما لا يكون هناك انتقال للكتلة من أو إلى النقطة p . عندما تتغير كتلة جسم ما عن طريق فقدان أو تراكم كتلة، فإن الزخم يعتمد على الزمن في كل من كتلته وسرعته. إذا طُبِّق قانون نيوتن الثاني بشكل ساذج، فإن الاستنتاج الخاطئ هو $${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}\ \ \mathrm {(incorrect)} .}$$ بدلاً من ذلك، لنفترض أن حدوث خروج أو دخول الكتلة يحدث بعد كل دورة زمنية Δt ، وعند هذه النقطة تُنتزع كتلة Δm من الكتلة الأصلية m وتتحرك بسرعة u . وبحسب قانون نيوتن الثالث ، فإن الدفع (أي نقل الزخم) بين الكتلتين الثابتتين متساوٍ ومتعاكس. $${\displaystyle \mathbf {J} _{m}=-\mathbf {J} _{\Delta m}.}$$ وبالتالي، فإن الدفعة المؤثرة على m بواسطة Δ m هي $${\displaystyle \mathbf {J} _{m}=\Delta m(\mathbf {v} -\mathbf {u} ).}$$ لنفترض أن قوة خارجية F _ext تؤثر على الجسم الأول. عندئذٍ، في وحدة زمنية Δ t ، يكتسب الجسم دفعة J _ext = F _ext Δ t ثم يفقد كتلة Δ m ، مما ينتج عنه الدفعة الكلية. $${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {J} _{m}=\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }\Delta t+\Delta m(\mathbf {v} -\mathbf {u} ).}$$ وبالتالي، نجد أنه في الحد المتناهي الصغر، فإن $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }=m\mathbf {a} -{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}(\mathbf {u} -\mathbf {v} ).}$$ بالرجوع إلى قانون نيوتن الثاني، نجد أن هذا القانون ينطبق فقط على الزخم الكلي P للنظام. باستخدام هذا، وتسمية الكتلة التي غادرت النظام بـ ex ، $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }&={\frac {\mathrm {d} \mathbf {P} }{\mathrm {d} t}}\\&={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{\mathrm {ex} }}{\mathrm {d} t}}\\&=m\mathbf {a} +\mathbf {v} {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} _{\mathrm {ex} }{\frac {\mathrm {d} m_{\mathrm {ex} }}{\mathrm {d} t}}\\&=m\mathbf {a} -{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}(\mathbf {u} -\mathbf {v} ),\end{aligned}}}$$مما يؤدي إلى نفس النتيجة. وبالتالي، فإن استخدام طريقة الدفع التدريجي أو طريقة القوة النيوتونية المتناهية الصغر ينجح في هذه الحالة.

لنفترض أن مثالنا السابق كان لصاروخ. عندئذٍ، باستخدام معادلة J ، نجد أن الدفع النوعي I_{_sp} هو $${\displaystyle I_{\mathrm {sp} }=\mathbf {v} -\mathbf {u} .}$$ في هذه الحالة، نسمي هذه الكمية سرعة العادم لأنها تساوي السرعة التي تغادر بها المادة الصاروخ بالنسبة لهيكل الصاروخ. وبالتالي، فإن قوة الدفع T هي ${\textstyle \mathbf {T} =-{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}I_{\mathrm {sp} }={\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}(\mathbf {v} -\mathbf {u} ).}$