معادلة صاروخ تسيولكوفسكي

جزء من سلسلة عن
ديناميكا الفضاء
ميكانيكا المدارات
العناصر المدارية أبسيس حجة الحضيض غرابة الميل متوسط ​​الشذوذ العقد المدارية المحور شبه الرئيسي شذوذ حقيقي
Types of two-body orbits by eccentricity Circular orbit Elliptic orbit Transfer orbit (Hohmann transfer orbit Bi-elliptic transfer orbit) Parabolic orbit Hyperbolic orbit Radial orbit Decaying orbit
Equations Dynamical friction Escape velocity Kepler's equation Kepler's laws of planetary motion Orbital period Orbital velocity Surface gravity Specific orbital energy Vis-viva equation
Celestial mechanics
Gravitational influences Barycenter Hill sphere Perturbations Sphere of influence
N-body orbits Lagrangian points (Halo orbits) Lissajous orbits Lyapunov orbits
Engineering and efficiency
Preflight engineering Mass ratio Payload fraction Propellant mass fraction Tsiolkovsky rocket equation
Efficiency measures Gravity assist Oberth effect
Propulsive maneuvers Orbital maneuver Orbit insertion
v t e

معادلة الصاروخ الكلاسيكية ، أو معادلة الصاروخ المثالية هي معادلة رياضية تصف حركة المركبات التي تتبع المبدأ الأساسي للصاروخ : جهاز يمكنه تطبيق التسارع على نفسه باستخدام الدفع عن طريق طرد جزء من كتلته بسرعة عالية وبالتالي يمكنه التحرك بسبب الحفاظ على الزخم . تنسب إلى كونستانتين تسيولكوفسكي ، الذي اشتقها بشكل مستقل ونشرها في عام 1903، ^{[1] [2]} على الرغم من أنه تم اشتقاقها ونشرها بشكل مستقل بواسطة ويليام مور في عام 1810، ^[3] ونشرت لاحقًا في كتاب منفصل في عام 1813. ^[4] طورها روبرت جودارد أيضًا بشكل مستقل في عام 1912، واشتقها هيرمان أوبرث بشكل مستقل حوالي عام 1920.

الحد الأقصى للتغير في سرعة المركبة (بدون تأثير أي قوى خارجية) هو: ${\displaystyle \Delta v}$

$${\displaystyle \Delta v=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}=I_{\text{sp}}g_{0}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}},}$$ أين:

• ${\displaystyle v_{\text{e}}=I_{\text{sp}}g_{0}}$هي سرعة العادم الفعالة ؛
  • ${\displaystyle I_{\text{sp}}}$هو الدافع المحدد في البعد الزمني؛
  • ${\displaystyle g_{0}}$هي الجاذبية القياسية ؛
• ${\displaystyle \ln }$هي دالة اللوغاريتم الطبيعي ؛
• ${\displaystyle m_{0}}$هي الكتلة الكلية الأولية، بما في ذلك الوقود ، والمعروفة أيضًا باسم الكتلة الرطبة؛
• ${\displaystyle m_{f}}$هي الكتلة الكلية النهائية بدون الوقود، والمعروفة أيضًا باسم الكتلة الجافة.

بالنظر إلى سرعة العادم الفعالة التي يحددها تصميم محرك الصاروخ، والدلتا المطلوبة (على سبيل المثال، السرعة المدارية أو سرعة الهروب )، وكتلة جافة معينة ، يمكن حل المعادلة للحصول على كتلة الوقود المطلوبة : ${\displaystyle m_{f}}$${\displaystyle m_{0}-m_{f}}$$${\displaystyle m_{0}=m_{f}e^{\Delta v/v_{\text{e}}}.}$$

تنمو الكتلة الرطبة اللازمة بشكل كبير مع دلتا v المطلوبة.

تمت تسمية المعادلة على اسم العالم الروسي كونستانتين تسيولكوفسكي الذي استنتجها بشكل مستقل ونشرها في عمله عام 1903. ^{[5] [2]}

تم استنباط المعادلة في وقت سابق من قبل عالم الرياضيات البريطاني ويليام مور في عام 1810، ^[3] ونشرت لاحقًا في كتاب منفصل في عام 1813. ^[4]

قام الأمريكي روبرت جودارد بتطوير المعادلة بشكل مستقل في عام 1912 عندما بدأ أبحاثه لتحسين محركات الصواريخ من أجل رحلات الفضاء المحتملة. استنتج المهندس الألماني هيرمان أوبيرث المعادلة بشكل مستقل حوالي عام 1920 عندما درس إمكانية السفر إلى الفضاء.

في حين أن اشتقاق معادلة الصاروخ هو تمرين حسابي بسيط ، إلا أن تسيولكوفسكي يحظى بالتقدير لكونه أول من طبقها على مسألة ما إذا كانت الصواريخ قادرة على تحقيق السرعات اللازمة للسفر إلى الفضاء .

من أجل فهم مبدأ الدفع الصاروخي، اقترح كونستانتين تسيولكوفسكي التجربة الشهيرة "القارب". يوجد شخص في قارب بعيدًا عن الشاطئ بدون مجاديف. يريد الوصول إلى هذا الشاطئ. يلاحظ أن القارب محمل بكمية معينة من الحجارة ولديه فكرة رمي هذه الحجارة واحدة تلو الأخرى وبأسرع ما يمكن في الاتجاه المعاكس للضفة. في الواقع، تتوافق كمية حركة الحجارة التي يتم رميها في اتجاه واحد مع كمية مساوية من حركة القارب في الاتجاه الآخر (تجاهل الاحتكاك / السحب).

خذ بعين الاعتبار النظام التالي:

في الاشتقاق التالي، يتم فهم "الصاروخ" بمعنى "الصاروخ وكل الوقود غير المنفق".

يربط قانون نيوتن الثاني للحركة القوى الخارجية ( ) بالتغير في الزخم الخطي للنظام بأكمله (بما في ذلك الصاروخ والعادم) على النحو التالي: حيث هو زخم الصاروخ في الوقت : و هو زخم الصاروخ والكتلة المستنفدة في الوقت : وحيث، بالنسبة للمراقب: ${\displaystyle {\vec {F}}_{i}}$$${\displaystyle \sum _{i}{\vec {F}}_{i}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\vec {P}}_{\Delta t}-{\vec {P}}_{0}}{\Delta t}}}$$${\displaystyle {\vec {P}}_{0}}$${\displaystyle t=0}$$${\displaystyle {\vec {P}}_{0}=m{\vec {V}}}$$${\displaystyle {\vec {P}}_{\Delta t}}$${\displaystyle t=\Delta t}$$${\displaystyle {\vec {P}}_{\Delta t}=\left(m-\Delta m\right)\left({\vec {V}}+\Delta {\vec {V}}\right)+\Delta m{\vec {V}}_{\text{e}}}$$

• ${\displaystyle {\vec {V}}}$هي سرعة الصاروخ في الوقت${\displaystyle t=0}$
• ${\displaystyle {\vec {V}}+\Delta {\vec {V}}}$هي سرعة الصاروخ في الوقت${\displaystyle t=\Delta t}$
• ${\displaystyle {\vec {V}}_{\text{e}}}$هي سرعة الكتلة المضافة إلى العادم (والتي فقدها الصاروخ) خلال الزمن${\displaystyle \Delta t}$
• ${\displaystyle m}$هي كتلة الصاروخ في الوقت${\displaystyle t=0}$
• ${\displaystyle \left(m-\Delta m\right)}$هي كتلة الصاروخ في الوقت${\displaystyle t=\Delta t}$

ترتبط سرعة العادم في إطار المراقب بسرعة العادم في إطار الصاروخ بالمعادلة التالية: وبالتالي، فإن حل هذه المعادلة يعطي: إذا كانت و متعاكستين، ولهما نفس الاتجاه مثل ، يمكن إهمالهما (لأن )، وباستخدام (لأن قذف موجب يؤدي إلى انخفاض كتلة الصاروخ بمرور الوقت)، ${\displaystyle {\vec {V}}_{\text{e}}}$${\displaystyle v_{\text{e}}}$$${\displaystyle {\vec {v}}_{\text{e}}={\vec {V}}_{\text{e}}-{\vec {V}}}$$$${\displaystyle {\vec {V}}_{\text{e}}={\vec {V}}+{\vec {v}}_{\text{e}}}$$$${\displaystyle {\vec {P}}_{\Delta t}-{\vec {P}}_{0}=m\Delta {\vec {V}}+{\vec {v}}_{\text{e}}\Delta m-\Delta m\Delta {\vec {V}}}$$${\displaystyle {\vec {V}}}$${\displaystyle {\vec {v}}_{\text{e}}}$${\displaystyle {\vec {F}}_{\text{i}}}$${\displaystyle {\vec {V}}}$${\displaystyle \Delta m\Delta {\vec {V}}}$${\displaystyle dm\,d{\vec {v}}\to 0}$${\displaystyle dm=-\Delta m}$${\displaystyle \Delta m}$$${\displaystyle \sum _{i}F_{i}=m{\frac {dV}{dt}}+v_{\text{e}}{\frac {dm}{dt}}}$$

إذا لم تكن هناك قوى خارجية فإن ( حفظ الزخم الخطي ) و ${\textstyle \sum _{i}F_{i}=0}$$${\displaystyle -m{\frac {dV}{dt}}=v_{\text{e}}{\frac {dm}{dt}}}$$

بافتراض أن ثابت (يُعرف بفرضية تسيولكوفسكي ^[2] )، وبالتالي فهو غير قابل للتكامل، فيمكن تكامل المعادلة أعلاه على النحو التالي: ${\displaystyle v_{\text{e}}}$$${\displaystyle -\int _{V}^{V+\Delta V}\,dV={v_{e}}\int _{m_{0}}^{m_{f}}{\frac {dm}{m}}}$$

وهذا يعطي أو ما يعادله أو أو حيث تكون الكتلة الكلية الأولية بما في ذلك الوقود والكتلة النهائية وسرعة عادم الصاروخ بالنسبة للصاروخ ( الدفع النوعي أو، إذا تم قياسه بالوقت، مضروبًا في تسارع الجاذبية على الأرض). إذا لم يكن ثابتًا، فقد لا يكون لدينا معادلات صاروخية بسيطة مثل الأشكال المذكورة أعلاه. استندت العديد من أبحاث ديناميكا الصواريخ إلى فرضية ثابت تسيولكوفسكي . $${\displaystyle \Delta V=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}}$$$${\displaystyle m_{f}=m_{0}e^{-\Delta V\ /v_{\text{e}}}}$$$${\displaystyle m_{0}=m_{f}e^{\Delta V/v_{\text{e}}}}$$$${\displaystyle m_{0}-m_{f}=m_{f}\left(e^{\Delta V/v_{\text{e}}}-1\right)}$$${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle m_{f}}$${\displaystyle v_{\text{e}}}$${\displaystyle v_{\text{e}}}$${\displaystyle v_{\text{e}}}$

القيمة هي إجمالي كتلة العمل للوقود المستهلك. ${\displaystyle m_{0}-m_{f}}$

${\displaystyle \Delta V}$( دلتا في ) هو التكامل بمرور الوقت لحجم التسارع الناتج عن استخدام محرك الصاروخ (ما سيكون التسارع الفعلي إذا كانت القوى الخارجية غائبة). في الفضاء الحر، في حالة التسارع في اتجاه السرعة، يكون هذا هو زيادة السرعة. في حالة التسارع في الاتجاه المعاكس (التباطؤ) يكون هو انخفاض السرعة. بالطبع تعمل الجاذبية والسحب أيضًا على تسريع المركبة، ويمكنهما إضافة أو طرح التغيير في السرعة التي تتعرض لها المركبة. وبالتالي، قد لا تكون دلتا في دائمًا التغيير الفعلي في السرعة أو سرعة المركبة.

يمكن أيضًا استنباط المعادلة من التكامل الأساسي للتسارع في شكل قوة (دفع) على الكتلة. من خلال تمثيل معادلة دلتا-في على النحو التالي: $${\displaystyle \Delta v=\int _{t_{0}}^{t_{f}}{\frac {|T|}{{m_{0}}-{t}\Delta {m}}}~dt}$$

حيث T هو الدفع، هي الكتلة الأولية (الرطبة) و هي الكتلة الأولية مطروحًا منها الكتلة النهائية (الجافة)، ${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle \Delta m}$

وإدراكًا أن تكامل القوة المحصلة على مدار الزمن هو الدفع الكلي، على افتراض أن الدفع هو القوة الوحيدة المشاركة، $${\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}F~dt=J}$$

وجد التكامل ليكون: $${\displaystyle J~{\frac {\ln({m_{0}})-\ln({m_{f}})}{\Delta m}}}$$

وبإدراك أن الدافع على التغير في الكتلة يعادل القوة على معدل تدفق كتلة الوقود (p)، والذي يعادل في حد ذاته سرعة العادم، يمكن معادلة التكامل بـ $${\displaystyle {\frac {J}{\Delta m}}={\frac {F}{p}}=V_{\text{exh}}}$$$${\displaystyle \Delta v=V_{\text{exh}}~\ln \left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right)}$$

تخيل صاروخًا ساكنًا في الفضاء بدون أي قوى تؤثر عليه ( قانون نيوتن الأول للحركة ). من لحظة بدء تشغيل محركه (ضبط الساعة على 0) يطرد الصاروخ كتلة غازية بمعدل تدفق كتلة ثابت R (كجم / ثانية) وبسرعة عادم بالنسبة للصاروخ v _e (م / ث). هذا يخلق قوة ثابتة F تدفع الصاروخ تساوي R × v _e . يخضع الصاروخ لقوة ثابتة، لكن كتلته الكلية تتناقص باطراد لأنه يطرد الغاز. وفقًا لقانون نيوتن الثاني للحركة ، فإن تسارعه في أي وقت t هو قوة الدفع F مقسومة على كتلته الحالية m : $${\displaystyle ~a={\frac {dv}{dt}}=-{\frac {F}{m(t)}}=-{\frac {Rv_{\text{e}}}{m(t)}}}$$

الآن، كتلة الوقود التي يحملها الصاروخ في البداية تساوي m ₀ – m _f . وبالتالي، بالنسبة لمعدل تدفق الكتلة الثابت R ، سيستغرق الأمر وقتًا T = ( m ₀ – m _f )/ R لحرق كل هذا الوقود. وبدمج كلا جانبي المعادلة فيما يتعلق بالوقت من 0 إلى T (مع ملاحظة أن R = dm/dt يسمح بالاستبدال على اليمين) نحصل على: $${\displaystyle ~\Delta v=v_{f}-v_{0}=-v_{\text{e}}\left[\ln m_{f}-\ln m_{0}\right]=~v_{\text{e}}\ln \left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right).}$$

يمكن أيضًا اشتقاق معادلة الصاروخ كحالة حدية لتغير السرعة لصاروخ يطرد وقوده في شكل حبيبات متتالية، كما هو الحال مع سرعة عادم فعالة بحيث يتم إعطاء الطاقة الميكانيكية المكتسبة لكل وحدة كتلة وقود بواسطة . ${\displaystyle N}$${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle v_{\text{eff}}}$${\textstyle {\tfrac {1}{2}}v_{\text{eff}}^{2}}$

في إطار مركز كتلة الصاروخ، إذا تم قذف حبيبة كتلة بسرعة وكانت الكتلة المتبقية من الصاروخ هي ، فإن كمية الطاقة المحولة لزيادة الطاقة الحركية للصاروخ والحبيبة هي ${\displaystyle m_{p}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m_{p}v_{\text{eff}}^{2}={\tfrac {1}{2}}m_{p}u^{2}+{\tfrac {1}{2}}m(\Delta v)^{2}.}$$

باستخدام قانون الحفاظ على الزخم في إطار الصاروخ قبل القذف مباشرة، نجد أن ${\textstyle u=\Delta v{\tfrac {m}{m_{p}}}}$$${\displaystyle \Delta v=v_{\text{eff}}{\frac {m_{p}}{\sqrt {m(m+m_{p})}}}.}$$

ليكن كسر كتلة الوقود الأولية على متن الصاروخ والكتلة المملوءة بالوقود الأولية للصاروخ. قسّم الكتلة الكلية للوقود إلى حبيبات منفصلة كل منها كتلة . الكتلة المتبقية للصاروخ بعد إخراج الحبيبات هي . التغير الكلي في السرعة بعد إخراج الحبيبات هو المجموع ^[6]${\displaystyle \phi }$${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle \phi m_{0}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle m_{p}=\phi m_{0}/N}$${\displaystyle j}$${\displaystyle m=m_{0}(1-j\phi /N)}$${\displaystyle j}$ $${\displaystyle \Delta v=v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\phi /N}{\sqrt {(1-j\phi /N)(1-j\phi /N+\phi /N)}}}}$$

لاحظ أنه بالنسبة للعدد الكبير، يمكن إهمال الحد الأخير في المقام و لإعطاء حيث و . ${\displaystyle N}$${\displaystyle \phi /N\ll 1}$$${\displaystyle \Delta v\approx v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\phi /N}{1-j\phi /N}}=v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\Delta x}{1-x_{j}}}}$$${\textstyle \Delta x={\frac {\phi }{N}}}$${\textstyle x_{j}={\frac {j\phi }{N}}}$

وبما أن مجموع ريمان هذا يصبح التكامل المحدد لأن الكتلة النهائية المتبقية للصاروخ هي . ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\Delta v=v_{\text{eff}}\int _{0}^{\phi }{\frac {dx}{1-x}}=v_{\text{eff}}\ln {\frac {1}{1-\phi }}=v_{\text{eff}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}},}$$${\displaystyle m_{f}=m_{0}(1-\phi )}$

إذا تم أخذ النسبية الخاصة في الاعتبار، يمكن استنباط المعادلة التالية لصاروخ نسبي ، ^[7] مع مرة أخرى تمثل السرعة النهائية للصاروخ (بعد طرد كل كتلة رد فعله وتقليصه إلى كتلة سكون ) في الإطار المرجعي بالقصور الذاتي حيث بدأ الصاروخ في حالة سكون (مع كتلة السكون بما في ذلك الوقود في البداية)، وتمثل سرعة الضوء في الفراغ: ${\displaystyle \Delta v}$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle c}$$${\displaystyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}=\left[{\frac {1+{\frac {\Delta v}{c}}}{1-{\frac {\Delta v}{c}}}}\right]^{\frac {c}{2v_{\text{e}}}}}$$

الكتابة على النحو التالي تسمح بإعادة ترتيب هذه المعادلة على النحو التالي ${\textstyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle {\frac {\Delta v}{c}}={\frac {R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}-1}{R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}+1}}}$$

ثم باستخدام الهوية (هنا يشير "exp" إلى الدالة الأسية ؛ انظر أيضًا اللوغاريتم الطبيعي بالإضافة إلى هوية "القوة" في الهويات اللوغاريتمية ) والهوية ( انظر الدالة الزائدية )، فإن هذا يعادل ${\textstyle R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}=\exp \left[{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}\ln R\right]}$ ${\textstyle \tanh x={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}$ $${\displaystyle \Delta v=c\tanh \left({\frac {v_{\text{e}}}{c}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}\right)}$$

دلتا- v (حرفيًا " التغير في السرعة ")، يرمز لها بـ Δv وتنطق دلتا-في ، كما تستخدم في ديناميكيات طيران المركبات الفضائية ، هي مقياس للدفعة اللازمة لأداء مناورة مثل الإطلاق من كوكب أو قمر أو الهبوط عليه، أو مناورة مدارية في الفضاء . إنها كمية قياسية لها وحدات السرعة . كما تستخدم في هذا السياق، فهي ليست نفس التغير الفيزيائي في سرعة المركبة.

يتم إنتاج دلتا- v بواسطة محركات رد الفعل، مثل محركات الصواريخ ، وهي تتناسب مع الدفع لكل وحدة كتلة ووقت الاحتراق، وتستخدم لتحديد كتلة الوقود المطلوبة للمناورة المحددة من خلال معادلة الصاروخ.

بالنسبة للمناورات المتعددة، مجموع دلتا- v خطي.

بالنسبة للمهام بين الكواكب، غالبًا ما يتم رسم دلتا- v على رسم بياني لشريحة لحم الخنزير والذي يعرض دلتا- v المطلوبة للمهمة كدالة لتاريخ الإطلاق.

في هندسة الطيران والفضاء ، يُعَد جزء كتلة الوقود جزءًا من كتلة المركبة الذي لا يصل إلى الوجهة، ويُستخدم عادةً كمقياس لأداء المركبة. بعبارة أخرى، يُعَد جزء كتلة الوقود هو النسبة بين كتلة الوقود والكتلة الأولية للمركبة. في المركبة الفضائية، عادةً ما تكون الوجهة هي المدار، بينما بالنسبة للطائرات، يكون موقع هبوطها. يمثل جزء الكتلة الأعلى وزنًا أقل في التصميم. مقياس آخر ذو صلة هو جزء الحمولة ، وهو جزء الوزن الأولي الذي يمثل الحمولة.

غالبًا ما يتم تحديد سرعة العادم الفعالة كنبضة محددة وترتبط ببعضها البعض من خلال: حيث $${\displaystyle v_{\text{e}}=g_{0}I_{\text{sp}},}$$

• ${\displaystyle I_{\text{sp}}}$هو الدافع النوعي بالثواني،
• ${\displaystyle v_{\text{e}}}$هو الدافع النوعي المقاس بوحدة متر/ثانية ، وهو نفس سرعة العادم الفعالة المقاسة بوحدة متر/ثانية (أو قدم/ثانية إذا كان g بوحدة قدم/ثانية ² )،
• ${\displaystyle g_{0}}$هي الجاذبية القياسية ، 9.80665  م/ث ² ( بالوحدات الإمبراطورية 32.174  قدم/ث ² ).

إن معادلة الصاروخ تلخص أساسيات فيزياء طيران الصواريخ في معادلة قصيرة واحدة. وهي تنطبق أيضًا على المركبات الصاروخية ذات التفاعلات عندما تكون سرعة العادم الفعالة ثابتة، ويمكن جمعها أو تكاملها عندما تتغير سرعة العادم الفعالة. لا تأخذ معادلة الصاروخ في الاعتبار سوى قوة رد الفعل من محرك الصاروخ؛ ولا تتضمن قوى أخرى قد تؤثر على الصاروخ، مثل القوى الديناميكية الهوائية أو الجاذبية . وعلى هذا النحو، عند استخدامها لحساب متطلبات الوقود للانطلاق من (أو الهبوط بالطاقة) إلى كوكب به غلاف جوي، يجب تضمين تأثيرات هذه القوى في متطلبات دلتا في (انظر الأمثلة أدناه). في ما يسمى "معادلة طغيان الصاروخ"، هناك حد لكمية الحمولة التي يمكن للصاروخ أن يحملها، حيث أن الكميات الأكبر من الوقود تزيد من الوزن الإجمالي، وبالتالي تزيد أيضًا من استهلاك الوقود. ^[8] لا تنطبق المعادلة على الأنظمة غير الصاروخية مثل الكبح الجوي ، وإطلاق المدافع ، والمصاعد الفضائية ، وحلقات الإطلاق ، والدفع بالربط أو الأشرعة الخفيفة .

يمكن تطبيق معادلة الصاروخ على المناورات المدارية لتحديد مقدار الوقود اللازم للتغيير إلى مدار جديد معين، أو لإيجاد المدار الجديد نتيجة لحرق وقود معين. عند التطبيق على المناورات المدارية، يفترض المرء مناورة اندفاعية ، حيث يتم تفريغ الوقود وتطبيق دلتا في على الفور. هذا الافتراض دقيق نسبيًا للحرق قصير المدة مثل تصحيحات منتصف المسار ومناورات الإدخال المداري. مع زيادة مدة الحرق، تكون النتيجة أقل دقة بسبب تأثير الجاذبية على المركبة طوال مدة المناورة. بالنسبة للدفع المنخفض والطويل الأمد، مثل الدفع الكهربائي ، يتم استخدام تحليل أكثر تعقيدًا يعتمد على انتشار متجه حالة المركبة الفضائية وتكامل الدفع للتنبؤ بالحركة المدارية.

افترض أن سرعة العادم تبلغ 4500 متر في الثانية (15000 قدم/ثانية) و 9700 متر في الثانية (32000 قدم/ثانية) (من الأرض إلى مدار أرضي منخفض ، بما في ذلك التغلب على الجاذبية والسحب الديناميكي الهوائي). ${\displaystyle \Delta v}$${\displaystyle \Delta v}$

• صاروخ أحادي المرحلة للوصول إلى المدار : = 0.884، وبالتالي فإن 88.4% من الكتلة الإجمالية الأولية يجب أن تكون وقودًا. أما النسبة المتبقية 11.6% فهي للمحركات والخزان والحمولة.${\displaystyle 1-e^{-9.7/4.5}}$
• مرحلتان إلى المدار : افترض أن المرحلة الأولى يجب أن توفر سرعة 5000 متر في الثانية (16000 قدم/ثانية)؛ = 0.671، وبالتالي يجب أن يكون 67.1٪ من الكتلة الإجمالية الأولية وقودًا للمرحلة الأولى. الكتلة المتبقية هي 32.9٪. بعد التخلص من المرحلة الأولى، تبقى كتلة تساوي هذه النسبة 32.9٪، مطروحًا منها كتلة الخزان ومحركات المرحلة الأولى. افترض أن هذا يمثل 8٪ من الكتلة الإجمالية الأولية، ثم تبقى 24.9٪. يجب أن توفر المرحلة الثانية سرعة 4700 متر في الثانية (15000 قدم/ثانية)؛ = 0.648، وبالتالي فإن 64.8% من الكتلة المتبقية يجب أن تكون وقودًا، وهو ما يمثل 16.2% من الكتلة الإجمالية الأصلية، ويبقى 8.7% للخزان ومحركات المرحلة الثانية والحمولة، وفي حالة المكوك الفضائي، أيضًا للمركبة المدارية. وبالتالي، فإن 16.7% من كتلة الإطلاق الأصلية متاحة لجميع المحركات والخزانات والحمولة.${\displaystyle \Delta v}$${\displaystyle 1-e^{-5.0/4.5}}$${\displaystyle \Delta v}$${\displaystyle 1-e^{-4.7/4.5}}$

في حالة الدفع المتتالي للمراحل الصاروخية ، تنطبق المعادلة على كل مرحلة، حيث تكون الكتلة الأولية في المعادلة لكل مرحلة هي الكتلة الكلية للصاروخ بعد التخلص من المرحلة السابقة، وتكون الكتلة النهائية في المعادلة هي الكتلة الكلية للصاروخ قبل التخلص من المرحلة المعنية. قد تكون الدفعة النوعية مختلفة لكل مرحلة.

على سبيل المثال، إذا كان 80% من كتلة الصاروخ هو وقود المرحلة الأولى، و10% هي الكتلة الجافة للمرحلة الأولى، و10% هي الصاروخ المتبقي، إذن

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta v\ &=v_{\text{e}}\ln {100 \over 100-80}\\&=v_{\text{e}}\ln 5\\&=1.61v_{\text{e}}.\\\end{aligned}}}$$

مع ثلاث مراحل متشابهة، أصغر حجمًا لاحقًا، مع نفس الشيء لكل مرحلة، نحصل على: ${\displaystyle v_{\text{e}}}$

$${\displaystyle \Delta v\ =3v_{\text{e}}\ln 5\ =4.83v_{\text{e}}}$$

والحمولة هي 10% × 10% × 10% = 0.1% من الكتلة الأولية.

يمكن لصاروخ SSTO مماثل ، أيضًا بحمولة 0.1%، أن يكون له كتلة 11.1% لخزانات الوقود والمحركات، و88.8% للوقود. وهذا من شأنه أن يعطي

$${\displaystyle \Delta v\ =v_{\text{e}}\ln(100/11.2)\ =2.19v_{\text{e}}.}$$

إذا تم إشعال محرك مرحلة جديدة قبل التخلص من المرحلة السابقة وكانت المحركات التي تعمل في نفس الوقت لها نبضة محددة مختلفة (كما هو الحال غالبًا مع معززات الصواريخ الصلبة ومرحلة الوقود السائل)، فإن الوضع يكون أكثر تعقيدًا.

• ميزانية دلتا-في
• مشكلة الجيب
• نسبة الكتلة
• تأثير أوبيرث - تطبيق دلتا-في في بئر الجاذبية يزيد من السرعة النهائية
• صاروخ نسبي
• قابلية عكس المدارات
• روبرت هـ. جودارد - أضاف مصطلحات للجاذبية والسحب في الطيران العمودي
• دفع المركبات الفضائية
• قانون ستيجلر للأسماء

• كيفية استنباط معادلة الصاروخ
• حاسبة النسبية – تعلم معادلات الصواريخ لتسيولكوفسكي
• رسم معادلات الصواريخ لتسيولكوفسكي وحاسبتها في برنامج WolframAlpha