المقدار (الرياضيات)

يتم تعريف القيمة المطلقة للعدد الحقيقي r على النحو التالي: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \left|r\right|=r,{\text{ إذا }}r{\text{ ≥ }}0}$

${\displaystyle \left|r\right|=-r,{\text{ إذا كان }}r<0.}$

يمكن أيضاً اعتبار القيمة المطلقة بمثابة بُعد العدد عن الصفر على خط الأعداد الحقيقية . على سبيل المثال، القيمة المطلقة لكل من 70 و -70 هي 70.

يمكن اعتبار العدد المركب z بمثابة موضع النقطة P في فضاء ثنائي الأبعاد يُسمى المستوى المركب . ويمكن اعتبار القيمة المطلقة (أو المعيار ) لـ z بمثابة المسافة بين P ونقطة الأصل في ذلك الفضاء. صيغة القيمة المطلقة لـ z = a + bi مشابهة لصيغة المعيار الإقليدي لمتجه في فضاء إقليدي ثنائي الأبعاد : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

حيث يمثل العددان الحقيقيان a و b الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من z على التوالي. على سبيل المثال، معيار −3 + 4i هو${\displaystyle {\sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}}=5}$أو بدلاً من ذلك، يمكن تعريف مقدار العدد المركب z على أنه الجذر التربيعي لحاصل ضرب نفسه في مرافقه المركب .${\displaystyle {\bar {z}}}$، حيث يكون لأي عدد مركب${\displaystyle z=a+bi}$، ومركبه المرافق هو${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}$.

${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {z{\bar {z}}}}={\sqrt {(a+bi)(a-bi)}}={\sqrt {a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

(أين${\displaystyle i^{2}=-1}$).

يمثل المتجه الإقليدي موضع نقطة P في الفضاء الإقليدي . هندسيًا، يمكن وصفه بأنه سهم من نقطة الأصل في الفضاء (ذيل المتجه) إلى تلك النقطة (رأس المتجه). رياضيًا، يمكن تعريف المتجه x في فضاء إقليدي ذي n بُعد على أنه قائمة مرتبة من n عددًا حقيقيًا ( الإحداثيات الديكارتية للنقطة P ): x = [ _x₁ , x₂ , _... , xₙ _] . ويُرمز إلى مقداره أو طوله بـ${\displaystyle \|x\|}$[ ^{6 ]} يتم تعريفها بشكل شائع على أنها معيارها الإقليدي (أو طولها الإقليدي) ^{: [ 7 ]}

$\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

على سبيل المثال، في فضاء ثلاثي الأبعاد، يكون مقدار [3،  4، 12] هو 13 لأن${\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}+12^{2}}}={\sqrt {169}}=13.}$ وهذا يعادل الجذر التربيعي للجداء النقطي للمتجه مع نفسه:

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}.}$

المعيار الإقليدي للمتجه هو حالة خاصة من المسافة الإقليدية : المسافة بين ذيله ورأسه. تُستخدم رموز متشابهة للمعيار الإقليدي للمتجه x :

1. ${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|,}$
2. ${\displaystyle \left|\mathbf {x} \right|.}$

من عيوب الترميز الثاني أنه يمكن استخدامه أيضًا للدلالة على القيمة المطلقة للكميات العددية ومحددات المصفوفات ، مما يُدخل عنصرًا من الغموض.

بحسب التعريف، جميع المتجهات الإقليدية لها مقدار (انظر أعلاه). مع ذلك، فإن المتجه في فضاء متجهي مجرد لا يمتلك مقدارًا.

يُطلق على الفضاء المتجهي المزود بمعيار ، مثل الفضاء الإقليدي، اسم الفضاء المتجهي المعياري . ^{[ 8 ]} ويمكن اعتبار معيار المتجه v في الفضاء المتجهي المعياري بمثابة مقدار المتجه v .

في الفضاء شبه الإقليدي ، يكون مقدار المتجه هو قيمة الشكل التربيعي لهذا المتجه.