تركيبات لا نهائية من الدوال التحليلية

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 100 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات، تُقدّم التركيبات اللانهائية للدوال التحليلية (ICAF) صياغات بديلة للكسور المستمرة التحليلية ، والمتسلسلات ، والمنتجات، وغيرها من التوسعات اللانهائية، وقد تُسهم النظرية المُنبثقة من هذه التركيبات في فهم تقارب/تباعد هذه التوسعات. ويمكن توسيع بعض الدوال مباشرةً كتركيبات لانهائية. إضافةً إلى ذلك، يُمكن استخدام التركيبات اللانهائية للدوال التحليلية (ICAF) لتقييم حلول معادلات النقطة الثابتة التي تتضمن توسعات لانهائية. وتُوفّر الديناميكيات المعقدة مجالًا آخر لتكرار أنظمة الدوال بدلًا من دالة واحدة. للاطلاع على التركيبات اللانهائية لدالة واحدة، انظر: الدالة المُكرّرة . للاطلاع على تركيبات عدد محدود من الدوال، المفيدة في نظرية الفراكتلات ، انظر: نظام الدوال المُكرّرة .

على الرغم من أن عنوان هذه المقالة يحدد الدوال التحليلية، إلا أن هناك نتائج لدوال أكثر عمومية لمتغير مركب أيضًا.

الترميز

توجد عدة رموز تصف التركيبات اللانهائية، بما في ذلك ما يلي:

التأليفات الأمامية:Fك،ن(z)=وك∘وك+1∘⋯∘ون-1∘ون(z).{\displaystyle F_{k,n}(z)=f_{k}\circ f_{k+1}\circ \dots \circ f_{n-1}\circ f_{n}(z).}

التركيبات العكسية:جيك،ن(z)=ون∘ون-1∘⋯∘وك+1∘وك(z).{\displaystyle G_{k,n}(z)=f_{n}\circ f_{n-1}\circ \dots \circ f_{k+1}\circ f_{k}(z).}

في كل حالة، يُفسر التقارب على أنه وجود النهايات التالية:

ليمن→∞F1،ن(z)،ليمن→∞جي1،ن(z).{\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{1,n}(z),\qquad \lim _{n\to \infty }G_{1,n}(z).}

للتسهيل، ضع F n ( z ) = F 1, n ( z ) و G n ( z ) = G 1, n ( z ) .

ويمكن للمرء أن يكتب أيضاًFن(z)=Rنك=1وك(z)=و1∘و2∘⋯∘ون(z){\displaystyle F_{n}(z)={\underset {k=1}{\overset {n}{\mathop {R} }}}\,f_{k}(z)=f_{1}\circ f_{2}\circ \cdots \circ f_{n}(z)} و جين(z)=لنك=1زك(z)=زن∘زن-1∘⋯∘ز1(z){\displaystyle G_{n}(z)={\underset {k=1}{\overset {n}{\mathop {L} }}}\,g_{k}(z)=g_{n}\circ g_{n-1}\circ \cdots \circ g_{1}(z)}

تعليق : ليس من الواضح متى بدأت أولى الاستكشافات للتركيبات اللانهائية للدوال التحليلية غير المقيدة بمتتاليات الدوال من نوع معين. ربما في ثمانينيات القرن العشرين. [ 1 ]

نظرية الانكماش

يمكن اعتبار العديد من النتائج امتداداً للنتيجة التالية:

نظرية الانكماش للدوال التحليلية [ 2 ] - لتكن f دالة تحليلية في منطقة بسيطة الاتصال S ومتصلة على إغلاق S لـ S. لنفترض أن f ( S ) مجموعة محدودة محتواة في S. عندئذٍ، لكل z في S، توجد نقطة ثابتة جاذبة α لـ f في S بحيث: Fن(z)=(و∘و∘⋯∘و)(z)→α.{\displaystyle F_{n}(z)=(f\circ f\circ \cdots \circ f)(z)\to \alpha .}

تركيبات لا نهائية من الدوال الانكماشية

ليكن { f n } متتالية من الدوال التحليلية على مجال S بسيط الاتصال . لنفترض أن هناك مجموعة مضغوطة Ω ⊂ S بحيث يكون لكل n ، f n ( S ) ⊂ Ω.

نظرية التركيب الأمامي (الداخلي أو الأيمن) — { F n } تتقارب بشكل منتظم على المجموعات الفرعية المدمجة من S إلى دالة ثابتة F ( z ) = λ . [ 3 ]

نظرية التركيب العكسي (الخارجي أو الأيسر) — تتقارب المجموعة { Gn } بشكل منتظم على المجموعات الجزئية المدمجة من S إلى γ ∈ Ω إذا وفقط إذا تقاربت متتالية النقاط الثابتة { γn } للمجموعة { fn } إلى γ . [ 4 ]

تتضمن النظريات الإضافية الناتجة عن الدراسات القائمة على هاتين النظريتين، ولا سيما نظرية التركيب الأمامي، تحليل الموقع للنهايات المُستنتجة في المرجع التالي. [ 5 ] وللاطلاع على منهج مختلف لنظرية التركيب العكسي، انظر المرجع التالي. [ 6 ]

فيما يتعلق بنظرية التركيب العكسي، يوضح المثال f 2 n ( z ) = 1/2 و f 2 n −1 ( z ) = −1/2 لـ S = { z  : | z | < 1} عدم كفاية اشتراط الانكماش إلى مجموعة فرعية مضغوطة، مثل نظرية التركيب الأمامي.

بالنسبة للدوال غير التحليلية بالضرورة، يكفي شرط ليبشيتز :

النظرية [ 7 ] — لنفترضS{\displaystyle S}هي مجموعة فرعية مدمجة متصلة ببساطة منج{\displaystyle \mathbb {C} }ودعتن:S→S{\displaystyle t_{n}:S\to S}أن تكون مجموعة من الدوال التي تحقق ∀ن،∀z1،z2∈S،∃ρ:|تن(z1)-تن(z2)|≤ρ|z1-z2|،ρ<1.{\displaystyle \forall n,\forall z_{1},z_{2}\in S,\exists \rho :\quad \left|t_{n}(z_{1})-t_{n}(z_{2})\right|\leq \rho |z_{1}-z_{2}|,\quad \rho <1.} عرّف: جين(z)=(تن∘تن-1∘⋯∘ت1)(z)Fن(z)=(ت1∘ت2∘⋯∘تن)(z){\displaystyle {\begin{aligned}G_{n}(z)&=\left(t_{n}\circ t_{n-1}\circ \cdots \circ t_{1}\right)(z)\\F_{n}(z)&=\left(t_{1}\circ t_{2}\circ \cdots \circ t_{n}\right)(z)\end{aligned}}} ثمFن(z)→β∈S{\displaystyle F_{n}(z)\to \beta \in S}بشكل موحدS.{\displaystyle S.}لوαن{\displaystyle \alpha _{n}}هي النقطة الثابتة الفريدة لـتن{\displaystyle t_{n}}ثمجين(z)→α{\displaystyle G_{n}(z)\to \alpha }بشكل موحدS{\displaystyle S}إذا وفقط إذا|αن-α|=εن→0{\displaystyle |\alpha _{n}-\alpha |=\varepsilon _{n}\to 0}.

تركيبات لا نهائية من الدوال الأخرى

الوظائف المعقدة غير الانقباضية

تتضمن النتائج التي تتضمن دوالًا كاملة ما يلي، على سبيل المثال. مجموعة

ون(z)=أنz+جن،2z2+جن،3z3+⋯ρن=رشفةر{|جن،ر|1ر-1}{\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}(z)&=a_{n}z+c_{n,2}z^{2}+c_{n,3}z^{3}+\cdots \\\rho _{n}&=\sup _{r}\left\{\left|c_{n,r}\right|^{\frac {1}{r-1}}\right\}\end{aligned}}}

وبناءً على ذلك، تتحقق النتائج التالية:

النظرية E1 [ 8 ] — إذا كان a n ≡ 1، ∑ن=1∞ρن<∞{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\rho _{n}<\infty } إذن، F n → F كاملة.

النظرية E2 [ 9 ] — ضع ε n = | a n −1 | افترض وجود قيم غير سالبة δ n ، M 1 ، M 2 ، R بحيث يتحقق ما يلي: ∑ن=1∞εن<∞،∑ن=1∞دلتان<∞،∏ن=1∞(1+دلتان)<م1،∏ن=1∞(1+εن)<م2،ρن<دلتانRم1م2.{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}&<\infty ,\\\sum _{n=1}^{\infty }\delta _{n}&<\infty ,\\\prod _{n=1}^{\infty }(1+\delta _{n})&<M_{1},\\\prod _{n=1}^{\infty }(1+\varepsilon _{n})&<M_{2},\\\rho _{n}&<{\frac {\delta _{n}}{RM_{1}M_{2}}}.\end{aligned}}} إذن، فإن G n ( z ) → G ( z ) تحليلية لـ | z | < R. التقارب منتظم على المجموعات الجزئية المدمجة من { z  : | z | < R }.

وتشمل النتائج الأولية الإضافية ما يلي:

النظرية GF3 [ 7 ] — لنفترضوك(z)=z+ρكφك(z){\displaystyle f_{k}(z)=z+\rho _{k}\varphi _{k}(z)}حيث توجدR،م>0{\displaystyle R,M>0}بحيث|z|<R{\displaystyle |z|<R}يشير إلى|φك(z)|<م،∀ك، {\displaystyle |\varphi _{k}(z)|<M,\forall k,\ }علاوة على ذلك، لنفترضρك≥0،∑ك=1∞ρك<∞{\textstyle \rho _{k}\geq 0,\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}<\infty }و R>م∑ك=1∞ρك.{\textstyle R>M\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}.}ثم لـR*<R-م∑ك=1∞ρك{\textstyle R*<R-M\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}}جين(z)≡(ون∘ون-1∘⋯∘و1)(z)→جي(z) ل {z:|z|<R*}{\displaystyle G_{n}(z)\equiv \left(f_{n}\circ f_{n-1}\circ \cdots \circ f_{1}\right)(z)\to G(z)\qquad {\text{ for }}\{z:|z|<R*\}}

النظرية GF4 [ 7 ] — لنفترضوك(z)=z+ρكφك(z){\displaystyle f_{k}(z)=z+\rho _{k}\varphi _{k}(z)}حيث توجدR،م>0{\displaystyle R,M>0}بحيث|z|<R{\displaystyle |z|<R}و|ζ|<R{\displaystyle |\zeta |<R}يشير إلى|φك(z)|<م{\displaystyle |\varphi _{k}(z)|<M}و|φك(z)-φك(ζ)|≤ر|z-ζ|،∀ك. {\displaystyle |\varphi _{k}(z)-\varphi _{k}(\zeta )|\leq r|z-\zeta |,\forall k.\ }علاوة على ذلك، لنفترضρك≥0،∑ك=1∞ρك<∞{\textstyle \rho _{k}\geq 0,\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}<\infty }وR>م∑ك=1∞ρك.{\textstyle R>M\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}.}ثم لـR*<R-م∑ك=1∞ρك{\textstyle R*<R-M\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}}Fن(z)≡(و1∘و2∘⋯∘ون)(z)→F(z) ل {z:|z|<R*}{\displaystyle F_{n}(z)\equiv \left(f_{1}\circ f_{2}\circ \cdots \circ f_{n}\right)(z)\to F(z)\qquad {\text{ for }}\{z:|z|<R*\}}

التحويلات الكسرية الخطية

تتضمن النتائج [ 9 ] لتركيبات التحويلات الخطية الكسرية (موبيوس) ما يلي، على سبيل المثال:

النظرية LFT1 — على مجموعة تقارب متتالية { F n } من تحويلات المجال الخطي غير المنفردة، تكون دالة النهاية إما:

  1. اختبار ليفوفلوكساسين غير منفرد،
  2. دالة تأخذ قيمتين مختلفتين، أو
  3. ثابت.

في الحالة (أ)، تتقارب المتتالية في كل مكان في المستوى الممتد. في الحالة (ب)، تتقارب المتتالية إما في كل مكان، وإلى القيمة نفسها في كل مكان باستثناء نقطة واحدة، أو تتقارب عند نقطتين فقط. يمكن أن تحدث الحالة (ج) مع كل مجموعة تقارب ممكنة. [ 10 ]

النظرية LFT2 [ 11 ] — إذا تقاربت { F n } إلى LFT، فإن f n تتقارب إلى دالة الهوية f ( z ) = z .

النظرية LFT3 [ 12 ] — إذا كانت f <sub>n</sub> → f وجميع الدوال هي تحويلات موبيوس زائدية أو لوكسودرومية ، فإن F <sub>n</sub> ( z ) → λ ، وهو ثابت، لجميعz≠β=ليمن→∞βن{\textstyle z\neq \beta =\lim _{n\to \infty }\beta _{n}}، حيث { β n } هي النقاط الثابتة التنافرية لـ { f n }.

النظرية LFT4 [ 13 ] — إذا كانت f <sub>n</sub> → f حيث f دالة مكافئة ذات نقطة ثابتة γ ، ولتكن النقاط الثابتة للمجموعة { f <sub>n</sub> } هي ​​{ γ <sub>n</sub> } و{ β <sub>n</sub> }. ∑ن=1∞|γن-βن|<∞و∑ن=1∞ن|βن+1-βن|<∞{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\gamma _{n}-\beta _{n}\right|<\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{n=1}^{\infty }n\left|\beta _{n+1}-\beta _{n}\right|<\infty } ثم F n ( z ) → λ ، ثابت في المستوى المركب الممتد ، لجميع قيم z .

أمثلة وتطبيقات

الكسور المستمرة

قيمة الكسر المستمر اللانهائي

أ1ب1+أ2ب2+⋯{\displaystyle {\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+\cdots }}}}}

يمكن التعبير عنها كنهاية المتتالية { F n (0)} حيث

ون(z)=أنبن+z.{\displaystyle f_{n}(z)={\frac {a_{n}}{b_{n}+z}}.}

كمثال بسيط، هناك نتيجة معروفة (نظرية دائرة ووربيتسكي [ 14 ] ) تتبع من تطبيق النظرية (أ):

لننظر إلى الكسر المستمر

أ1ζ1+أ2ζ1+⋯{\displaystyle {\cfrac {a_{1}\zeta }{1+{\cfrac {a_{2}\zeta }{1+\cdots }}}}}

مع

ون(z)=أنζ1+z.{\displaystyle f_{n}(z)={\frac {a_{n}\zeta }{1+z}}.}

افترض أن |ζ| < 1 و | z | < R < 1. ثم بالنسبة لـ 0 < r < 1،

|أن|<رR(1-R)⇒|ون(z)|<رR<R⇒أ1ζ1+أ2ζ1+⋯=F(ζ){\displaystyle |a_{n}|<rR(1-R)\Rightarrow \left|f_{n}(z)\right|<rR<R\Rightarrow {\frac {a_{1}\zeta }{1+{\frac {a_{2}\zeta }{1+\cdots }}}}=F(\zeta )}، تحليلي لـ | z | < 1. ضع R = 1/2.

مثال.F(z)=(أنا-1)z1+أنا+z + (2-أنا)z1+2أنا+z + (3-أنا)z1+3أنا+z +⋯،{\displaystyle F(z)={\frac {(i-1)z}{1+i+z{\text{ }}+}}{\text{ }}{\frac {(2-i)z}{1+2i+z{\text{ }}+}}{\text{ }}{\frac {(3-i)z}{1+3i+z{\text{ }}+}}\cdots ,}[-15،15]{\displaystyle [-15,15]}

مثال: الكسر المستمر 1 – صورة طوبوغرافية (معاملات) لكسر مستمر (واحد لكل نقطة) في المستوى المركب. [−15,15]

مثال. [ 9 ] شكل الكسر المستمر ذو النقطة الثابتة (متغير واحد).

وك،ن(z)=αك،نβك،نαك،ن+βك،ن-z،αك،ن=αك،ن(z)،βك،ن=βك،ن(z)،Fن(z)=(و1،ن∘⋯∘ون،ن)(z){\displaystyle f_{k,n}(z)={\frac {\alpha _{k,n}\beta _{k,n}}{\alpha _{k,n}+\beta _{k,n}-z}},\alpha _{k,n}=\alpha _{k,n}(z),\beta _{k,n}=\beta _{k,n}(z),F_{n}(z)=\left(f_{1,n}\circ \cdots \circ f_{n,n}\right)(z)}
αك،ن=xكوس⁡(تy)+أناyالخطيئة⁡(تx)،βك،ن=كوس⁡(تy)+أناالخطيئة⁡(تx)،ت=ك/ن{\displaystyle \alpha _{k,n}=x\cos(ty)+iy\sin(tx),\beta _{k,n}=\cos(ty)+i\sin(tx),t=k/n}
مثال: بروش لانهائي - صورة طوبوغرافية (معاملات) لشكل كسر مستمر في المستوى المركب. (6<x<9.6)، (4.8<y<8)

التوسع الوظيفي المباشر

فيما يلي أمثلة توضح تحويل دالة مباشرة إلى تركيب:

مثال 1. [ 8 ] [ 15 ] لنفترضϕ{\displaystyle \phi }هي دالة كاملة تحقق الشروط التالية:

{ϕ(تz)=ت(ϕ(z)+ϕ(z)2)|ت|>1ϕ(0)=0ϕ′(0)=1{\displaystyle {\begin{cases}\phi (tz)=t\left(\phi (z)+\phi (z)^{2}\right)&|t|>1\\\phi (0)=0\\\phi '(0)=1\end{cases}}}

ثم

ون(z)=z+z2تن⟹Fن(z)→ϕ(z){\displaystyle f_{n}(z)=z+{\frac {z^{2}}{t^{n}}}\Longrightarrow F_{n}(z)\to \phi (z)}.

المثال 2. [ 8 ]

ون(z)=z+z22ن⟹Fن(z)→12(هـ2z-1){\displaystyle f_{n}(z)=z+{\frac {z^{2}}{2^{n}}}\Longrightarrow F_{n}(z)\to {\frac {1}{2}}\left(e^{2z}-1\right)}

مثال 3. [ 7 ]

ون(z)=z1-z24ن⟹Fن(z)→لون برونزي⁡(z){\displaystyle f_{n}(z)={\frac {z}{1-{\tfrac {z^{2}}{4^{n}}}}}\Longrightarrow F_{n}(z)\to \tan(z)}

المثال 4. [ 7 ]

زن(z)=2⋅4نz(1+z24ن-1)⟹جين(z)→دالة الظل العكسي⁡(z){\displaystyle g_{n}(z)={\frac {2\cdot 4^{n}}{z}}\left({\sqrt {1+{\frac {z^{2}}{4^{n}}}}}-1\right)\Longrightarrow G_{n}(z)\to \arctan(z)}

حساب النقاط الثابتة

يمكن تطبيق النظرية (ب) لتحديد النقاط الثابتة للدوال المعرفة بتوسعات لانهائية أو تكاملات معينة. توضح الأمثلة التالية هذه العملية:

مثال FP1. [ 4 ] من أجل | ζ | ≤ 1، ليكن

جي(ζ)=هـζ43+ζ+هـζ83+ζ+هـζ123+ζ+⋯{\displaystyle G(\zeta )={\frac {\tfrac {e^{\zeta }}{4}}{3+\zeta +{\cfrac {\tfrac {e^{\zeta }}{8}}{3+\zeta +{\cfrac {\tfrac {e^{\zeta }}{12}}{3+\zeta +\cdots }}}}}}}

لإيجاد α = G (α)، نقوم أولاً بتعريف:

تن(z)=هـζ4ن3+ζ+zون(ζ)=ت1∘ت2∘⋯∘تن(0){\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}(z)&={\cfrac {\tfrac {e^{\zeta }}{4n}}{3+\zeta +z}}\\f_{n}(\zeta )&=t_{1}\circ t_{2}\circ \cdots \circ t_{n}(0)\end{aligned}}}

ثم احسبجين(ζ)=ون∘⋯∘و1(ζ){\displaystyle G_{n}(\zeta )=f_{n}\circ \cdots \circ f_{1}(\zeta )}مع ζ = 1، مما يعطي: α = 0.087118118... إلى عشرة منازل عشرية بعد عشر تكرارات.

النظرية FP2 [ 9 ] — لتكن φ ( ζ , t ) دالة تحليلية في S = { z  : | z | < R } لجميع قيم t في [0, 1] ومتصلة بالنسبة لـ t . ون(ζ)=1ن∑ك=1نφ(ζ،كن).{\displaystyle f_{n}(\zeta )={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\varphi \left(\zeta ,{\tfrac {k}{n}}\right).} إذا كان | φ ( ζ , t ) | ≤ r < R لـ ζ ∈ S و t ∈ [0, 1]، فإن ζ=∫01φ(ζ،ت)دت{\displaystyle \zeta =\int _{0}^{1}\varphi (\zeta ,t)\,dt} لها حل فريد، α في S ، معليمن→∞جين(ζ)=α.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }G_{n}(\zeta )=\alpha .}

وظائف التطور

لنفترض فترة زمنية، مُعَيَّرة إلى I = [0, 1]. يمكن إنشاء دوال الحركة المستمرة (ICAFs) لوصف الحركة المستمرة لنقطة، z ، على هذه الفترة، ولكن بطريقة تجعل الحركة عند كل "لحظة" معدومة تقريبًا (انظر سهم زينون ): بالنسبة للفترة المقسمة إلى n فترات فرعية متساوية، 1 ≤ k ≤ n، نُحددزك،ن(z)=z+φك،ن(z){\displaystyle g_{k,n}(z)=z+\varphi _{k,n}(z)}تحليلي أو ببساطة متصل - في مجال S ، بحيث

ليمن→∞φك،ن(z)=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi _{k,n}(z)=0}لكل k ولكل z في S ،

وزك،ن(z)∈S{\displaystyle g_{k,n}(z)\in S}.

مثال رئيسي

المصدر: [ 9 ]

زك،ن(z)=z+1نϕ(z،كن)جيك،ن(z)=(زك،ن∘زك-1،ن∘⋯∘ز1،ن)(z)جين(z)=جين،ن(z){\displaystyle {\begin{aligned}g_{k,n}(z)&=z+{\frac {1}{n}}\phi \left(z,{\tfrac {k}{n}}\right)\\G_{k,n}(z)&=\left(g_{k,n}\circ g_{k-1,n}\circ \cdots \circ g_{1,n}\right)(z)\\G_{n}(z)&=G_{n,n}(z)\end{aligned}}}

يشير إلى

λن(z)≐جين(z)-z=1ن∑ك=1نϕ(جيك-1،ن(z)كن)≐1ن∑ك=1نψ(z،كن)∼∫01ψ(z،ت)دت،{\displaystyle \lambda _{n}(z)\doteq G_{n}(z)-z={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\phi \left(G_{k-1,n}(z){\tfrac {k}{n}}\right)\doteq {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\psi \left(z,{\tfrac {k}{n}}\right)\sim \int _{0}^{1}\psi (z,t)\,dt,}

حيث يكون التكامل معرفًا جيدًا إذادzدت=ϕ(z،ت){\displaystyle {\tfrac {dz}{dt}}=\phi (z,t)}للمعادلة حل مغلق z ( t ). إذن

λن(z0)≈∫01ϕ(z(ت)،ت)دت.{\displaystyle \lambda _{n}(z_{0})\approx \int _{0}^{1}\phi (z(t),t)\,dt.}

وإلا، فإن الدالة المراد تكاملها تكون غير محددة بدقة على الرغم من سهولة حساب قيمة التكامل. في هذه الحالة، يمكن تسمية التكامل بتكامل "افتراضي".

مثال.ϕ(z،ت)=2ت-كوس⁡y1-الخطيئة⁡xكوس⁡y+أنا1-2تالخطيئة⁡x1-الخطيئة⁡xكوس⁡y،∫01ψ(z،ت)دت{\displaystyle \phi (z,t)={\frac {2t-\cos y}{1-\sin x\cos y}}+i{\frac {1-2t\sin x}{1-\sin x\cos y}},\int _{0}^{1}\psi (z,t)\,dt}

مثال 1: الأنفاق الافتراضية – صورة طوبوغرافية (معاملات) للتكاملات الافتراضية (واحدة لكل نقطة) في المستوى المركب. [−10,10]
خطان محيطيان يتجهان نحو نقطة ثابتة جاذبة (باللون الأحمر على اليسار). ينتهي الخط المحيطي الأبيض ( c = 2) قبل الوصول إلى النقطة الثابتة. أما الخط المحيطي الثاني ( c ( n ) = الجذر التربيعي لـ n ) فينتهي عند النقطة الثابتة. بالنسبة لكلا الخطين المحيطيين، n = 10000.

مثال. ليكن:

زن(z)=z+جننϕ(z)،معو(z)=z+ϕ(z).{\displaystyle g_{n}(z)=z+{\frac {c_{n}}{n}}\phi (z),\quad {\text{with}}\quad f(z)=z+\phi (z).}

ثم، اضبطتي1،ن(z)=زن(z)،تيك،ن(z)=زن(تيك-1،ن(z))،{\displaystyle T_{1,n}(z)=g_{n}(z),T_{k,n}(z)=g_{n}(T_{k-1,n}(z)),}و T n ( z ) = T n,n ( z ). ليكن

تي(z)=ليمن→∞تين(z){\displaystyle T(z)=\lim _{n\to \infty }T_{n}(z)}

عندما توجد تلك النهاية. تُعرّف المتتالية { Tn ( z )} مسارات γ = γ( cn , z ) التي تتبع تدفق حقل المتجهات f ( z ). إذا وُجدت نقطة ثابتة جاذبة α، أي | f ( z ) − α| ≤ ρ| z − α| لـ 0 ≤ ρ < 1، فإن Tn ( z ) → T ( z ) ≡ α على طول γ = γ( cn , z )، بشرط ( على سبيل المثال)جن=ن{\displaystyle c_{n}={\sqrt {n}}}إذا كان c <sub>n </sub> ≡ c > 0، فإن T <sub>n</sub> ( z ) → T ( z )، وهي نقطة على المسار γ = γ( c , z ). من السهل ملاحظة ذلك.

∮γϕ(ζ)دζ=ليمن→∞جن∑ك=1نϕ2(تيك-1،ن(z)){\displaystyle \oint _{\gamma }\phi (\zeta )\,d\zeta =\lim _{n\to \infty }{\frac {c}{n}}\sum _{k=1}^{n}\phi ^{2}\left(T_{k-1,n}(z)\right)}

و

ل(γ(z))=ليمن→∞جن∑ك=1ن|ϕ(تيك-1،ن(z))|،{\displaystyle L(\gamma (z))=\lim _{n\to \infty }{\frac {c}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left|\phi \left(T_{k-1,n}(z)\right)\right|,}

عندما توجد هذه الحدود.

ترتبط هذه المفاهيم بشكل هامشي بنظرية الخطوط النشطة في معالجة الصور، وهي عبارة عن تعميمات بسيطة لطريقة أويلر.

توسعات ذاتية التكرار

مسلسل

تتمتع المتسلسلة المعرفة بشكل تكراري بالعلاقة f <sub>n</sub> ( z ) = z + g <sub>n</sub> ( z ) بخاصية أن الحد النوني يعتمد على مجموع الحدود n  -  1 الأولى. ولتطبيق النظرية (GF3)، من الضروري إثبات التقييد بالمعنى التالي: إذا كانت كل دالة f <sub>n </sub> معرفة لـ | z | < M ، فيجب أن يكون | G <sub>n</sub> ( z )| < M قبل أن تكون | f <sub>n </sub> ( z )  - z | = | g<sub> n</sub> ( z )| ≤ Cβ<sub> n </sub> معرفة لأغراض التكرار. وذلك لأن   زن(جين-1(z)){\displaystyle g_{n}(G_{n-1}(z))}يحدث ذلك طوال فترة التوسع. التقييد

|z|<R=م-ج∑ك=1∞βك>0{\displaystyle |z|<R=M-C\sum _{k=1}^{\infty }\beta _{k}>0}

يخدم هذا الغرض. ثم G n ( z ) → G ( z ) بشكل منتظم على المجال المقيد.

مثال (S1). مجموعة

ون(z)=z+1ρن2z،ρ>π6{\displaystyle f_{n}(z)=z+{\frac {1}{\rho n^{2}}}{\sqrt {z}},\qquad \rho >{\sqrt {\frac {\pi }{6}}}}

و M = ρ 2. إذن R = ρ 2 − (π/6) > 0. إذن، إذاS={z:|z|<R،يكرر⁡(z)>0}{\displaystyle S=\left\{z:|z|<R,\operatorname {Re} (z)>0\right\}}، إذا كان z في S فإن | Gn ( z )| < M وينطبق عليه المبرهنة (GF3)، وبالتالي

جين(z)=z+ز1(z)+ز2(جي1(z))+ز3(جي2(z))+⋯+زن(جين-1(z))=z+1ρ⋅12z+1ρ⋅22جي1(z)+1ρ⋅32جي2(z)+⋯+1ρ⋅ن2جين-1(z){\displaystyle {\begin{aligned}G_{n}(z)&=z+g_{1}(z)+g_{2}(G_{1}(z))+g_{3}(G_{2}(z))+\cdots +g_{n}(G_{n-1}(z))\\&=z+{\frac {1}{\rho \cdot 1^{2}}}{\sqrt {z}}+{\frac {1}{\rho \cdot 2^{2}}}{\sqrt {G_{1}(z)}}+{\frac {1}{\rho \cdot 3^{2}}}{\sqrt {G_{2}(z)}}+\cdots +{\frac {1}{\rho \cdot n^{2}}}{\sqrt {G_{n-1}(z)}}\end{aligned}}}

يتقارب تقارباً مطلقاً، وبالتالي فهو متقارب.

مثال (S2) : ون(z)=z+1ن2⋅φ(z)،φ(z)=2كوس⁡(x/y)+أنا2الخطيئة⁡(x/y)،>جين(z)=ون∘ون-1∘⋯∘و1(z)،[-10،10]،ن=50{\displaystyle f_{n}(z)=z+{\frac {1}{n^{2}}}\cdot \varphi (z),\varphi (z)=2\cos(x/y)+i2\sin(x/y),>G_{n}(z)=f_{n}\circ f_{n-1}\circ \cdots \circ f_{1}(z),\qquad [-10,10],n=50}

مثال (S2) - صورة طوبوغرافية (وحدات) لسلسلة ذاتية التوليد.

منتجات

المنتج المحدد بشكل متكرر بواسطة

ون(z)=z(1+زن(z))،|z|⩽م،{\displaystyle f_{n}(z)=z(1+g_{n}(z)),\qquad |z|\leqslant M,}

له المظهر

جين(z)=z∏ك=1ن(1+زك(جيك-1(z))).{\displaystyle G_{n}(z)=z\prod _{k=1}^{n}\left(1+g_{k}\left(G_{k-1}(z)\right)\right).}

من أجل تطبيق النظرية GF3، يلزم ما يلي:

|zزن(z)|≤جβن،∑ك=1∞βك<∞.{\displaystyle \left|zg_{n}(z)\right|\leq C\beta _{n},\qquad \sum _{k=1}^{\infty }\beta _{k}<\infty .}

ومرة أخرى، يجب أن يدعم شرط التقييد

|جين-1(z)زن(جين-1(z))|≤جβن.{\displaystyle \left|G_{n-1}(z)g_{n}(G_{n-1}(z))\right|\leq C\beta _{n}.}

إذا كان المرء يعرف Cβ n مسبقًا، فإن ما يلي سيكفي:

|z|⩽R=مPأينP=∏ن=1∞(1+جβن).{\displaystyle |z|\leqslant R={\frac {M}{P}}\qquad {\text{where}}\quad P=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+C\beta _{n}\right).}

ثم G n ( z ) → G ( z ) بشكل منتظم على المجال المقيد.

مثال (P1). لنفترضون(z)=z(1+زن(z)){\displaystyle f_{n}(z)=z(1+g_{n}(z))}معزن(z)=z2ن3،{\displaystyle g_{n}(z)={\tfrac {z^{2}}{n^{3}}},}بعد إجراء بعض الحسابات الأولية، لاحظنا أن | z ​​| ≤ 1/4 يستلزم | G n ( z )| < 0.27. إذن

|جين(z)جين(z)2ن3|<(0.02)1ن3=جβن{\displaystyle \left|G_{n}(z){\frac {G_{n}(z)^{2}}{n^{3}}}\right|<(0.02){\frac {1}{n^{3}}}=C\beta _{n}}

و

جين(z)=z∏ك=1ن-1(1+جيك(z)2ن3){\displaystyle G_{n}(z)=z\prod _{k=1}^{n-1}\left(1+{\frac {G_{k}(z)^{2}}{n^{3}}}\right)}

يتقارب بانتظام.

مثال (P2).

زك،ن(z)=z(1+1نφ(z،كن))،{\displaystyle g_{k,n}(z)=z\left(1+{\frac {1}{n}}\varphi \left(z,{\tfrac {k}{n}}\right)\right),}
جين،ن(z)=(زن،ن∘زن-1،ن∘⋯∘ز1،ن)(z)=z∏ك=1ن(1+Pك،ن(z))،{\displaystyle G_{n,n}(z)=\left(g_{n,n}\circ g_{n-1,n}\circ \cdots \circ g_{1,n}\right)(z)=z\prod _{k=1}^{n}(1+P_{k,n}(z)),}
Pك،ن(z)=1نφ(جيك-1،ن(z)،كن)،{\displaystyle P_{k,n}(z)={\frac {1}{n}}\varphi \left(G_{k-1,n}(z),{\tfrac {k}{n}}\right),}
∏ك=1ن-1(1+Pك،ن(z))=1+P1،ن(z)+P2،ن(z)+⋯+Pك-1،ن(z)+Rن(z)∼∫01π(z،ت)دت+1+Rن(z)،{\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\left(1+P_{k,n}(z)\right)=1+P_{1,n}(z)+P_{2,n}(z)+\cdots +P_{k-1,n}(z)+R_{n}(z)\sim \int _{0}^{1}\pi (z,t)\,dt+1+R_{n}(z),}
φ(z)=xكوس⁡(y)+أناyالخطيئة⁡(x)،∫01(zπ(z،ت)-1)دت،[-15،15]:{\displaystyle \varphi (z)=x\cos(y)+iy\sin(x),\int _{0}^{1}(z\pi (z,t)-1)\,dt,\qquad [-15,15]:}
مثال (P2): كون بيكاسو – تكامل افتراضي مشتق من ناتج لانهائي ذاتي التوليد. انقر على الصورة لعرضها بدقة أعلى.

الكسور المستمرة

مثال (CF1) : كسر مستمر ذاتي التوليد. [ 9 ]

Fن(z)=ρ(z)دلتا1+ρ(F1(z))دلتا2+ρ(F2(z))دلتا3+⋯ρ(Fن-1(z))دلتان،ρ(z)=كوس⁡(y)كوس⁡(y)+الخطيئة⁡(x)+أناالخطيئة⁡(x)كوس⁡(y)+الخطيئة⁡(x)،[0<x<20]،[0<y<20]،دلتاك≡1{\displaystyle {\begin{aligned}F_{n}(z)&={\frac {\rho (z)}{\delta _{1}+}}{\frac {\rho (F_{1}(z))}{\delta _{2}+}}{\frac {\rho (F_{2}(z))}{\delta _{3}+}}\cdots {\frac {\rho (F_{n-1}(z))}{\delta _{n}}},\\\rho (z)&={\frac {\cos(y)}{\cos(y)+\sin(x)}}+i{\frac {\sin(x)}{\cos(y)+\sin(x)}},\qquad [0<x<20],[0<y<20],\qquad \delta _{k}\equiv 1\end{aligned}}}
مثال CF1: تناقص العوائد - صورة طوبوغرافية (معاملات) لكسر مستمر ذاتي التوليد.

مثال (CF2) : يمكن وصفه بأنه كسر مستمر معكوس من نوع أويلر ذاتي التوليد . [ 9 ]

جين(z)=ρ(جين-1(z))1+ρ(جين-1(z))- ρ(جين-2(z))1+ρ(جين-2(z))-⋯ρ(جي1(z))1+ρ(جي1(z))- ρ(z)1+ρ(z)-z،{\displaystyle G_{n}(z)={\frac {\rho (G_{n-1}(z))}{1+\rho (G_{n-1}(z))-}}\ {\frac {\rho (G_{n-2}(z))}{1+\rho (G_{n-2}(z))-}}\cdots {\frac {\rho (G_{1}(z))}{1+\rho (G_{1}(z))-}}\ {\frac {\rho (z)}{1+\rho (z)-z}},}
ρ(z)=ρ(x+أناy)=xكوس⁡(y)+أناyالخطيئة⁡(x)،[-15،15]،ن=30{\displaystyle \rho (z)=\rho (x+iy)=x\cos(y)+iy\sin(x),\qquad [-15,15],n=30}
مثال CF2: حلم الذهب - صورة طوبوغرافية (معاملات) لكسر أويلر المستمر العكسي ذاتي التوليد.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ جيل، جون (1988). "تركيبات الدوال التحليلية من الشكل Fn(z)=Fn-1(fn(z)),fn->f" . مجلة الرياضيات الحسابية والتطبيقية . 23 : 179-184 .
  2. ↑ هنريسي، ب. (1988) [1974]. التحليل المركب التطبيقي والحسابي . المجلد 1. وايلي. ISBN  978-0-471-60841-7.
  3. ↑ لورنتزن، ليزا (نوفمبر 1990). "تركيبات الانكماشات" . مجلة الرياضيات الحسابية والتطبيقية . 32 ( 1-2 ): 169-178 . doi : 10.1016/0377-0427(90)90428-3 .
  4. 1 2 جيل، ج. (1991). "استخدام المتتالية F n (z)=f n ∘⋯∘f 1 (z) في حساب النقاط الثابتة للكسور المستمرة، والمنتجات، والمتسلسلات". الرياضيات العددية التطبيقية 8 (6): 469-476 . doi : 10.1016/0168-9274(91)90109-D .
  5. ↑ كين، ليندا؛ لاكيتش، نيكولا (2007). "ثوابت التراكم لأنظمة الدوال المتكررة ذات مجالات هدف بلوخ" . حوليات الأكاديمية الفنلندية للعلوم والآداب . 32 (1). هلسنكي: الأكاديمية الفنلندية للعلوم والآداب.
  6. ↑ كين، ليندا؛ لاكيتش، نيكولا (2003). "أنظمة الدوال المتكررة الأمامية". في جيانغ، يونبينغ؛ وانغ، يويفي (محرران). الديناميكيات المعقدة والمواضيع ذات الصلة: محاضرات من مركز مورنينغسايد للرياضيات (ملف PDF) . سومرفيل: دار النشر الدولية. الصفحات 292-299 . ISBN  1-57146-121-3. OCLC 699694753 . 
  7. 1 2 3 4 5 جيل، ج. (2017). "مقدمة في النظرية الأولية للتركيبات اللانهائية للدوال المركبة" (ملف PDF) . اتصالات في النظرية التحليلية للكسور المستمرة . XXIII .
  8. 1 2 3 كوجيما، شوتا (مايو 2012). "حول تقارب التراكيب اللانهائية للدوال الكاملة". أرشيف الرياضيات . 98 (5): 453-465 . doi : 10.1007/s00013-012-0385-z . S2CID 121444171 . 
  9. 1 2 3 4 5 6 7 جيل، ج. (2012). "تقارب التركيبات اللانهائية للدوال المركبة" (ملف PDF) . الاتصالات في النظرية التحليلية للكسور المستمرة . التاسع عشر .
  10. ↑ بيرانيان، ج.؛ ثرون، و. ج. (1957). "خصائص تقارب متتاليات التحويلات الكسرية الخطية" . مجلة ميشيغان الرياضية . 4 (2). doi : 10.1307/mmj/1028989001 .
  11. ^ دي بري، دينار أردني؛ ثرون، دبليو جي (ديسمبر 1962). “في تسلسل تحولات موبيوس”. الرياضيات Zeitschrift . 80 (1): 184-193 . دوى : 10.1007 / BF01162375 . S2CID 120487262 . 
  12. ^ ماندل، مايكل. ماغنوس، آرني (1970). “حول تقارب تسلسل التحولات الكسرية الخطية”. الرياضيات Zeitschrift . 115 (1): 11– 17. دوى : 10.1007/BF01109744 . S2CID 119407993 . 
  13. ↑ جيل، جون (1973). "التركيبات اللانهائية لتحويلات موبيوس" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 176 : 479. doi : 10.1090/S0002-9947-1973-0316690-6 .
  14. ↑ بيردون، أ. ف. (2001). "نظرية وربيتزكي حول الكسور المستمرة". مجلة الرياضيات الحاسوبية والتطبيقية . 131 ( 1-2 ): 143-148 . Bibcode : 2001JCoAM.131..143B . doi : 10.1016/S0377-0427(00)00318-6 . MR 1835708 . 
  15. ^ ستاينميتز، ن. (2011) [1993]. التكرار العقلاني . دي جرويتر. رقم ISBN 978-3-11-088931-4.