ديناميكيات معقدة

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 67 صور
الموسوعة الحرة

الديناميكا المعقدة ، أو الديناميكا التحليلية ، هي دراسة الأنظمة الديناميكية الناتجة عن تكرار تطبيق تحليلي معقد . تركز هذه المقالة على حالة الديناميكا الجبرية ، حيث يتم تكرار دالة متعددة الحدود أو دالة كسرية . من الناحية الهندسية، يُعادل ذلك تكرار تطبيق من نوع جبري إلى نفسه. أما نظرية الديناميكا الحسابية، فتدرس التكرار على الأعداد الكسرية أو الأعداد p-adic بدلاً من الأعداد المركبة .

الديناميكيات في البعد المعقد 1

من الأمثلة البسيطة التي توضح بعض المشكلات الرئيسية في الديناميكيات المعقدة عملية رسم الخرائطو(z)=z2{\displaystyle f(z)=z^{2}}من الأعداد المركبة C إلى نفسها. من المفيد النظر إلى هذا على أنه خريطة من خط الإسقاط المركبجP1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}إلى نفسها، عن طريق إضافة نقطة∞{\displaystyle \infty }إلى الأعداد المركبة. (جP1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}(تتميز بميزة كونها صغيرة الحجم .) السؤال الأساسي هو: بالنظر إلى نقطة معينةz{\displaystyle z}فيجP1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}كيف يدور مداره (أو مداره الأمامي )؟

z،و(z)=z2،و(و(z))=z4،و(و(و(z)))=z8،...{\displaystyle z,\;f(z)=z^{2},\;f(f(z))=z^{4},f(f(f(z)))=z^{8},\;\ldots }

كيف يتصرف المدار نوعيًا؟ الجواب هو: إذا كانت القيمة المطلقة | z | أقل من 1، فإن المدار يتقارب إلى 0، بل أسرع من السرعة الأسية . أما إذا كانت | z | أكبر من 1، فإن المدار يتقارب إلى النقطة∞{\displaystyle \infty }فيجP1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}، مرة أخرى بسرعة تفوق السرعة الأسية. (هنا 0 و∞{\displaystyle \infty }هي نقاط ثابتة فائقة الجذب للدالة f ، أي أن مشتقة f تساوي صفرًا عند هذه النقاط. النقطة الثابتة الجاذبة هي النقطة التي تكون فيها القيمة المطلقة لمشتقة f أقل من 1 .

من ناحية أخرى، لنفترض أن|z|=1{\displaystyle |z|=1}وهذا يعني أن z تقع على دائرة الوحدة في C. عند هذه النقاط، تكون ديناميكيات f فوضوية، بأشكال مختلفة. على سبيل المثال، بالنسبة لجميع النقاط z تقريبًا على الدائرة من منظور نظرية القياس ، يكون المدار الأمامي لـ z كثيفًا على الدائرة، بل وموزعًا بانتظام عليها. كما توجد أيضًا نقاط دورية لا نهائية على الدائرة، أي نقاط ذاتور(z)=z{\displaystyle f^{r}(z)=z}لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة r . (هنا)ور(z){\displaystyle f^{r}(z)}يعني نتيجة تطبيق f على z r مرة،و(و(⋯(و(z))⋯)){\displaystyle f(f(\cdots (f(z))\cdots ))}حتى عند النقاط الدورية z على الدائرة، يمكن اعتبار ديناميكيات f فوضوية، لأن النقاط القريبة من z تتباعد بسرعة أسية عن z عند تكرار f . (النقاط الدورية لـ f على دائرة الوحدة متنافرة : إذاور(z)=z{\displaystyle f^{r}(z)=z}، مشتق منور{\displaystyle f^{r}}(عندما تكون القيمة المطلقة لـ z أكبر من 1.)

أظهر بيير فاتو وجاستون جوليا في أواخر العقد الثاني من القرن العشرين أن جزءًا كبيرًا من هذه القصة يمتد إلى أي خريطة جبرية معقدة منجP1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}إلى نفسها من درجة أكبر من 1. (يمكن تمثيل هذا التطبيق بواسطة متعدد الحدود)و(z){\displaystyle f(z)}(بمعاملات مركبة، أو بشكل أعم بواسطة دالة كسرية.) أي أن هناك دائمًا مجموعة جزئية مضغوطة منجP1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}، مجموعة جوليا ، التي تكون ديناميكيات f عليها فوضوية. بالنسبة للتحويلو(z)=z2{\displaystyle f(z)=z^{2}}مجموعة جوليا هي دائرة الوحدة. بالنسبة لتطبيقات متعددة الحدود الأخرى، غالبًا ما تكون مجموعة جوليا غير منتظمة للغاية، على سبيل المثال، كسورية بمعنى أن بُعد هاوسدورف الخاص بها ليس عددًا صحيحًا. يحدث هذا حتى بالنسبة للتطبيقات البسيطة مثلو(z)=z2+ج{\displaystyle f(z)=z^{2}+c}لثابتج∈ج{\displaystyle c\in \mathbf {C} }مجموعة ماندلبروت هي مجموعة الأعداد المركبة c التي تكون مجموعة جوليا الخاصة بهاو(z)=z2+ج{\displaystyle f(z)=z^{2}+c}متصل .​

مجموعة جوليا لكثير الحدودو(z)=z2+أz{\displaystyle f(z)=z^{2}+az}معأ≐-0.5+0.866أنا{\displaystyle a\doteq -0.5+0.866i}
مجموعة جوليا لكثير الحدودو(z)=z2+ج{\displaystyle f(z)=z^{2}+c}معج≐0.383-0.0745أنا{\displaystyle c\doteq 0.383-0.0745i}هذه مجموعة كانتور .

يوجد تصنيف شبه كامل للديناميكيات المحتملة للدالة الكسريةو:جP1→جP1{\displaystyle f\colon \mathbf {CP} ^{1}\to \mathbf {CP} ^{1}}في مجموعة فاتو ، وهي متممة مجموعة جوليا، حيث تكون الديناميكيات "مُقيدة". وبالتحديد، أثبت دينيس سوليفان أن كل مكون متصل U من مجموعة فاتو هو مكون شبه دوري، مما يعني وجود أعداد طبيعية.أ<ب{\displaystyle a<b}بحيثوأ(يو)=وب(يو){\displaystyle f^{a}(U)=f^{b}(U)}لذلك، لتحليل الديناميكيات على المكون U ، يمكن للمرء أن يفترض بعد استبدال f بتكرار أنو(يو)=يو{\displaystyle f(U)=U}إذن، إما (1) أن U تحتوي على نقطة ثابتة جاذبة للدالة f ؛ أو (2) أن U مكافئة بمعنى أن جميع النقاط في U تقترب من نقطة ثابتة على حدود U ؛ أو (3) أن U قرص سيجل ، أي أن تأثير f على U مترافق مع دوران غير نسبي للقرص المفتوح ذي الوحدة؛ أو (4) أن U حلقة هيرمان ، أي أن تأثير f على U مترافق مع دوران غير نسبي لحلقة مفتوحة . [ 1 ] ( لاحظ أن "المدار العكسي" لنقطة z في U ، هو مجموعة النقاط فيجP1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}تلك الخريطة إلى z تحت تكرار معين لـ f ، لا يلزم أن تكون موجودة في U. )

مقياس التوازن للتشاكل الداخلي

لقد تم تطوير الديناميكيات المعقدة بشكل فعال في أي بُعد. يركز هذا القسم على عمليات الربط من الفضاء الإسقاطي المعقد.جPن{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}إلى حد ذاتها، أغنى مصدر للأمثلة. النتائج الرئيسية لـجPن{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}تم توسيع نطاقها ليشمل فئة من التطبيقات العقلانية من أي صنف إسقاطي إلى نفسه. [ 2 ] مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن العديد من الأصناف لا تحتوي على تطبيقات ذاتية مثيرة للاهتمام.

ليكن f تشاكلاً داخلياً لـجPن{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}، أي تشاكل الأصناف الجبرية منجPن{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}إلى نفسها، لعدد صحيح موجب n . يُعطى هذا التطبيق في إحداثيات متجانسة بواسطة

و([z0،...،zن])=[و0(z0،...،zن)،...،ون(z0،...،zن)]{\displaystyle f([z_{0},\ldots ,z_{n}])=[f_{0}(z_{0},\ldots ,z_{n}),\ldots ,f_{n}(z_{0},\ldots ,z_{n})]}

بالنسبة لبعض كثيرات الحدود المتجانسةو0،...،ون{\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{n}}من نفس الدرجة d التي ليس لها أصفار مشتركة فيجPن{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}(بحسب نظرية تشاو ، هذا هو نفسه التطبيق الهولومورفي منجPن{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}(إلى نفسها.) افترض أن d أكبر من 1؛ عندئذٍ تكون درجة التطبيق f هيدن{\displaystyle d^{n}}وهو أيضًا أكبر من 1.

ثم هناك مقياس احتمالي فريدμو{\displaystyle \mu _{f}}علىجPن{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}، وهو مقياس التوازن للدالة f ، الذي يصف الجزء الأكثر فوضوية من ديناميكيات f . (يُطلق عليه أيضًا مقياس غرين أو مقياس الإنتروبيا القصوى ). وقد عرّف هانز برولين (1965) هذا المقياس لكثيرات الحدود في متغير واحد، بينما عرّفه ألكسندر فريري، وأرتور لوبيز ، وريكاردو مانيه ، وميخائيل ليوبيتش لـن=1{\displaystyle n=1}(حوالي عام 1983)، ومن قِبَل جون هوبارد ، وبيتر بابادوبول، وجون فورناس ، ونسيم سيبوني في أي بُعد (حوالي عام 1994). [ 3 ] مجموعة جوليا الصغيرةج*(و){\displaystyle J^{*}(f)}يمثل دعم مقياس التوازن فيجPن{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}هذا ببساطة هو مجموعة جوليا عندمان=1{\displaystyle n=1}.

أمثلة

  • لأغراض التخطيطو(z)=z2{\displaystyle f(z)=z^{2}}علىجP1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}مقياس التوازنμو{\displaystyle \mu _{f}}مقياس هار (المقياس القياسي، الذي تم تعديله ليكون له قياس إجمالي يساوي 1) على دائرة الوحدة|z|=1{\displaystyle |z|=1}.
  • وبشكل أعم، بالنسبة لعدد صحيحد>1{\displaystyle d>1}، يتركو:جPن→جPن{\displaystyle f\colon \mathbf {CP} ^{n}\to \mathbf {CP} ^{n}}كن الخريطة
و([z0،...،zن])=[z0د،...،zند].{\displaystyle f([z_{0},\ldots ,z_{n}])=[z_{0}^{d},\ldots ,z_{n}^{d}].}
ثم مقياس التوازنμو{\displaystyle \mu _{f}}هو مقياس هار على الطارة ذات الأبعاد n{[1،z1،...،zن]:|z1|=⋯=|zن|=1}.{\displaystyle \{[1,z_{1},\ldots ,z_{n}]:|z_{1}|=\cdots =|z_{n}|=1\}.}للحصول على المزيد من عمليات التحويل الهولومورفية العامة منجPن{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}بالنسبة لنفسها، يمكن أن يكون مقياس التوازن أكثر تعقيدًا بكثير، كما يرى المرء بالفعل في البعد المركب 1 من صور مجموعات جوليا.

خصائص مقياس التوازن

تتمثل إحدى الخصائص الأساسية لمقياس التوازن في أنه ثابت تحت تأثير f ، بمعنى أن مقياس الدفع الأماميو*μو{\displaystyle f_{*}\mu _{f}}يساويμو{\displaystyle \mu _{f}}لأن f عبارة عن تشاكل محدود ، فإن مقياس السحب العكسيو*μو{\displaystyle f^{*}\mu _{f}}كما تم تعريفها، وμو{\displaystyle \mu _{f}}ثابت تمامًا بمعنى أنو*μو=درجة⁡(و)μو{\displaystyle f^{*}\mu _{f}=\deg(f)\mu _{f}}.

من أبرز خصائص مقياس التوازن أنه يصف السلوك التقاربي لكل نقطة تقريبًا فيجPن{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}عند تتبعها عكسيًا في الزمن، بواسطة جان إيف برياند، وجوليان دوفال، وتين كوونغ دين ، وسيبوني. أي، بالنسبة لنقطة z فيجPن{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}ولنفترض عددًا صحيحًا موجبًا r ، فلننظر في مقياس الاحتمالية(1/درن)(ور)*(دلتاz){\displaystyle (1/d^{rn})(f^{r})^{*}(\delta _{z})}والتي يتم توزيعها بالتساوي علىدرن{\displaystyle d^{rn}}النقاط w معور(w)=z{\displaystyle f^{r}(w)=z}ثم توجد مجموعة فرعية مغلقة من نوع زاريسكيهـ⊊جPن{\displaystyle E\subsetneq \mathbf {CP} ^{n}}بحيث أنه بالنسبة لجميع النقاط z التي لا تنتمي إلى E ، فإن المقاييس التي تم تعريفها للتو تتقارب تقاربًا ضعيفًا إلى مقياس التوازنμو{\displaystyle \mu _{f}}عندما يؤول r إلى اللانهاية. بتفصيل أكثر: عدد محدود فقط من الفضاءات العقدية المغلقة منجPن{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}ثابتة تمامًا تحت تأثير الدالة f (بمعنى أنو-1(S)=S{\displaystyle f^{-1}(S)=S}ويمكن اعتبار المجموعة الاستثنائية E هي أكبر فضاء فرعي عقدي مغلق فريد من نوعه وثابت تمامًا ولا يساويجPن{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}[ 4 ]​

يُمكن تعريف مقياس التوازن بطريقة أخرى (بحسب بريند ودوفال) على النحو التالي: لكل عدد صحيح موجب r ، يكون عدد النقاط الدورية ذات الفترة r (أي أنور(z)=z{\displaystyle f^{r}(z)=z}، مع مراعاة التعددية، هو(در(ن+1)-1)/(در-1){\displaystyle (d^{r(n+1)}-1)/(d^{r}-1)}وهو ما يعادل تقريبًادرن{\displaystyle d^{rn}}لنفترض مقياس الاحتمالية الموزع بالتساوي على نقاط الفترة r . عندئذٍ، تتقارب هذه المقاييس أيضًا إلى مقياس التوازن.μو{\displaystyle \mu _{f}}عندما تؤول قيمة r إلى اللانهاية. علاوة على ذلك، فإن معظم النقاط الدورية متنافرة وتقع فيج*(و){\displaystyle J^{*}(f)}وبالتالي، يمكن الحصول على نفس مقياس الحد عن طريق حساب المتوسط ​​فقط على النقاط الدورية المتنافرة فيج*(و){\displaystyle J^{*}(f)}[ 5 ] قد توجد أيضًا نقاط دورية تنافرية في الخارجج*(و){\displaystyle J^{*}(f)}[ 6 ]​

يعطي مقياس التوازن كتلة صفرية لأي فضاء فرعي عقدي مغلق منجPن{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}هذا ليس الفضاء بأكمله. [ 7 ] بما أن النقاط الدورية فيج*(و){\displaystyle J^{*}(f)}كثيفة فيج*(و){\displaystyle J^{*}(f)}وبالتالي، فإن النقاط الدورية للدالة f كثيفة زاريسكي فيجPن{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}قدّم نجم الدين فخر الدين برهانًا جبريًا أكثر دقةً لكثافة زاريسكي هذه. [ 8 ] ومن النتائج الأخرى لـμو{\displaystyle \mu _{f}}إعطاء كتلة صفرية للفضاءات العقدية المغلقة غير المتساويةجPن{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}إن كل نقطة لها كتلة صفرية. ونتيجة لذلك، فإن الدعمج*(و){\displaystyle J^{*}(f)}لμو{\displaystyle \mu _{f}}لا تحتوي على نقاط معزولة، وبالتالي فهي مجموعة مثالية .

الدعمج*(و){\displaystyle J^{*}(f)}لا يكون مقياس التوازن صغيرًا جدًا، بمعنى أن بُعد هاوسدورف الخاص به يكون دائمًا أكبر من الصفر. [ 7 ] وبهذا المعنى، فإن أي تشاكل داخلي للفضاء الإسقاطي المركب ذي درجة أكبر من 1 يتصرف دائمًا بشكل فوضوي، على الأقل في جزء من الفضاء. (هناك أمثلة حيثج*(و){\displaystyle J^{*}(f)}هو كل شيءجPن{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}[ 9 ] ) هناك طريقة أخرى لتوضيح أن الدالة f لها سلوك فوضوي، وهي أن الإنتروبيا الطوبولوجية للدالة f تكون دائمًا أكبر من الصفر، بل تساوينسجل⁡د{\displaystyle n\log d}بقلم ميخائيل جروموف ، وميخائيل ميسيورفيتش ، وفيليكس برزيتيكي. [ 10 ]

بالنسبة لأي تشاكل داخلي مستمر f لفضاء متري مضغوط X ، فإن الإنتروبيا الطوبولوجية لـ f تساوي الحد الأقصى للإنتروبيا النظرية للقياس (أو "الإنتروبيا المترية") لجميع القياسات الثابتة تحت تأثير f على X. بالنسبة لتشاكل داخلي هولومورفي f منجPن{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}مقياس التوازنμو{\displaystyle \mu _{f}}هو المقياس الثابت الوحيد للإنتروبيا القصوى، وفقًا لبرياند ودوفال. [ 3 ] هذه طريقة أخرى للقول بأن السلوك الأكثر فوضوية للدالة f يتركز على نطاق مقياس التوازن.

أخيرًا، يمكن الخوض في تفاصيل ديناميكيات الدالة f على نطاق مقياس التوازن: فالدالة f إرجودية ، وبشكل أقوى، مختلطة بالنسبة لهذا المقياس، وفقًا لفورناس وسيبوني. [ 11 ] ويترتب على ذلك، على سبيل المثال، أنه بالنسبة لكل نقطة تقريبًا بالنسبة إلىμو{\displaystyle \mu _{f}}، مدارها الأمامي موزع بشكل منتظم بالنسبة إلىμو{\displaystyle \mu _{f}}.

خرائط لاتيس

خريطة لاتيس هي تشاكل داخلي f منجPن{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}يتم الحصول عليها من تشاكل داخلي لمتنوعة أبيلية عن طريق القسمة على زمرة منتهية . في هذه الحالة، يكون مقياس التوازن لـ f متصلاً اتصالاً مطلقاً بالنسبة لمقياس ليبيغ علىجPن{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}وعلى النقيض من ذلك، فإن التشاكلات الداخلية الوحيدة لـ آنا زدونيك وفرانسوا بيرتيلو وكريستوف دوبون هيجPن{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}الأمثلة التي يكون مقياس توازنها متصلاً بشكل مطلق بالنسبة لمقياس ليبيغ هي أمثلة لاتيس. [ 12 ] أي، بالنسبة لجميع التشاكلات الداخلية غير اللاتيسية،μو{\displaystyle \mu _{f}}يُسند كتلته الكاملة 1 إلى مجموعة بوريل ذات قياس ليبيغ 0.

عينة عشوائية من مقياس التوازن لخريطة لاتيسو(z)=(z-2)2/z2{\displaystyle f(z)=(z-2)^{2}/z^{2}}مجموعة جوليا هي كل شيءجP1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}.
عينة عشوائية من مقياس التوازن لخريطة غير لاتيسو(z)=(z-2)4/z4{\displaystyle f(z)=(z-2)^{4}/z^{4}}مجموعة جوليا هي كل شيءجP1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}[ 13 ] لكن مقياس التوازن غير منتظم للغاية.

في البُعد 1، تتوفر معلومات أكثر حول "عدم انتظام" مقياس التوازن. أي، تعريف بُعد هاوسدورف لمقياس الاحتماليةμ{\displaystyle \mu }علىجP1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}(أو بشكل عام على مشعب أملس) بواسطة

خافت⁡(μ)=معلومات{خافتح⁡(Y):μ(Y)=1}،{\displaystyle \dim(\mu )=\inf\{\dim _{H}(Y):\mu (Y)=1\},}

أينخافتح⁡(Y){\displaystyle \dim _{H}(Y)}يرمز إلى بُعد هاوسدورف لمجموعة بوريل Y. بالنسبة لتشاكل داخلي f منجP1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}أظهر زدونيك، من الدرجة الأكبر من 1، أن بُعدμو{\displaystyle \mu _{f}}يساوي بُعد هاوسدورف لحامله (مجموعة جوليا) إذا وفقط إذا كانت f مترافقة مع خريطة لاتيس، أو متعددة حدود تشيبيشيف (حتى الإشارة)، أو خريطة قوىو(z)=z±د{\displaystyle f(z)=z^{\pm d}}معد≥2{\displaystyle d\geq 2}[ 14 ] (في الحالات الأخيرة، تكون مجموعة جوليا هي كلجP1{\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}، فترة مغلقة، أو دائرة، على التوالي. [ 15 ] ) وبالتالي، خارج تلك الحالات الخاصة، يكون مقياس التوازن غير منتظم للغاية، حيث يخصص كتلة موجبة لبعض المجموعات الفرعية المغلقة من مجموعة جوليا ذات بُعد هاوسدورف أصغر من مجموعة جوليا بأكملها.

التماثلات الذاتية للأصناف الإسقاطية

بشكل أعم، تسعى الديناميكيات المعقدة إلى وصف سلوك الدوال الكسرية تحت التكرار. ومن الحالات التي دُرست بنجاح إلى حد ما حالة التشاكلات الذاتية لمتنوعة إسقاطية معقدة ملساء X ، أي التشاكلات f من X إلى نفسها. وتتمثل الحالة ذات الأهمية الرئيسية في الحالة التي تؤثر فيها f بشكل غير تافه على علم التماثل المفرد.ح*(X،Z){\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {Z} )}.

أظهر غروموف ويوسف يومدين أن الإنتروبيا الطوبولوجية لتشاكل داخلي (على سبيل المثال، تشاكل ذاتي) لمتنوعة إسقاطية عقدية ملساء تتحدد بتأثيره على علم التماثل. [ 16 ] تحديدًا، بالنسبة لـ X ذي البعد العقدي n و0≤ص≤ن{\displaystyle 0\leq p\leq n}، يتركدص{\displaystyle d_{p}}ليكن نصف القطر الطيفي للدالة f التي تؤثر عن طريق السحب العكسي على مجموعة هودج للتماثلحص،ص(X)⊂ح2ص(X،ج){\displaystyle H^{p,p}(X)\subset H^{2p}(X,\mathbf {C} )}إذن، فإن الإنتروبيا الطوبولوجية للدالة f هي

ح(و)=الأعلىصسجل⁡دص.{\displaystyle h(f)=\max _{p}\log d_{p}.}

(إن الإنتروبيا الطوبولوجية للدالة f هي أيضًا لوغاريتم نصف قطر الطيف للدالة f على كامل علم التماثل)ح*(X،ج){\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {C} )}وبالتالي، فإن الدالة f تُظهر سلوكًا فوضويًا، بمعنى أن إنتروبيتها الطوبولوجية أكبر من الصفر، إذا وفقط إذا كانت تؤثر على مجموعة تماثل ذات قيمة ذاتية مطلقة أكبر من 1. لا تمتلك العديد من الأصناف الإسقاطية مثل هذه التشاكلات الذاتية، ولكن (على سبيل المثال) تمتلك العديد من الأسطح العقلانية وأسطح K3 مثل هذه التشاكلات الذاتية. [ 17 ]

ليكن X مشعب كاهلري متراص ، يشمل حالة المتنوع الإسقاطي العقدي الأملس. يُقال إن التشاكل الذاتي f لـ X له تأثير بسيط على علم التماثل إذا: وُجد عدد واحد فقط p بحيثدص{\displaystyle d_{p}}يأخذ تأثير f على قيمته القصوىحص،ص(X){\displaystyle H^{p,p}(X)}لها قيمة ذاتية واحدة فقط ذات قيمة مطلقةدص{\displaystyle d_{p}}وهذه قيمة ذاتية بسيطة . على سبيل المثال، بيّن سيرج كانتات أن كل تشاكل ذاتي لسطح كاهلر مضغوط ذي إنتروبيا طوبولوجية موجبة له تأثير بسيط على علم التماثل. [ 18 ] (هنا، يُقصد بـ"التشاكل الذاتي" التشاكل التحليلي المركب، ولكن لا يُفترض أنه يحافظ على مقياس كاهلر على X. في الواقع، كل تشاكل ذاتي يحافظ على مقياس تكون إنتروبيا طوبولوجية له صفر.)

بالنسبة للتشاكل الذاتي f ذي التأثير البسيط على علم التماثل، فقد تحققت بعض أهداف الديناميكا المعقدة. وقد أظهر كل من دينه، وسيبوني، وهنري دي ثيلين وجود مقياس احتمالي ثابت فريد.μو{\displaystyle \mu _{f}}مقياس الإنتروبيا القصوى للدالة f ، والذي يُسمى مقياس التوازن (أو مقياس غرين ، أو مقياس الإنتروبيا القصوى ). [ 19 ] (على وجه الخصوص،μو{\displaystyle \mu _{f}}له إنتروبياسجل⁡دص{\displaystyle \log d_{p}}(بالنسبة إلى f .) دعمμو{\displaystyle \mu _{f}}يُطلق عليها اسم مجموعة جوليا الصغيرةج*(و){\displaystyle J^{*}(f)}بصورة غير رسمية: تتسم الدالة f ببعض السلوك الفوضوي، ويتركز هذا السلوك الفوضوي الأكبر على مجموعة جوليا الصغيرة. على الأقل عندما تكون X إسقاطية.ج*(و){\displaystyle J^{*}(f)}له بُعد هاوسدورف موجب. (بتعبير أدق،μو{\displaystyle \mu _{f}}(يخصص كتلة صفرية لجميع المجموعات ذات البعد الهاوسدورفي الصغير بما فيه الكفاية.) [ 20 ]

التشاكلات الذاتية لكومر

تتمتع بعض الأصناف الأبيلية بتشاكل ذاتي ذي إنتروبيا موجبة. على سبيل المثال، ليكن E منحنى إهليلجيًا معقدًا وليكن X سطحًا أبيليًاهـ×هـ{\displaystyle E\times E}ثم المجموعةجيل(2،Z){\displaystyle GL(2,\mathbf {Z} )}من القابل للعكس2×2{\displaystyle 2\times 2}تؤثر المصفوفات الصحيحة على X. أي عنصر من عناصر المجموعة f الذي يكون أثره المطلق أكبر من 2، على سبيل المثال(2111){\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}}، ولها نصف قطر طيفي أكبر من 1، وبالتالي فهي تعطي تشاكلًا ذاتيًا موجب الإنتروبيا لـ X. مقياس التوازن لـ f هو مقياس هار (مقياس ليبيغ القياسي) على X. [ 21 ]

تُعرَّف التشاكلات الذاتية لكومر بأخذ فضاء القسمة على زمرة منتهية لسطح أبلي ذي تشاكل ذاتي، ثم نفخه لجعل السطح أملسًا. تشمل الأسطح الناتجة بعض أسطح K3 الخاصة والأسطح النسبية. بالنسبة لتشاكلات كومر الذاتية، يكون لمقياس التوازن دعم يساوي X ويكون أملسًا خارج عدد منتهٍ من المنحنيات. في المقابل، أظهر كانتات ودوبون أن مقياس التوازن لجميع التشاكلات السطحية ذات الإنتروبيا الموجبة، باستثناء أمثلة كومر، ليس متصلًا اتصالًا مطلقًا بالنسبة لمقياس ليبيغ. [ 22 ] وبهذا المعنى، من المعتاد أن يكون مقياس التوازن للتشاكل الذاتي غير منتظم إلى حد ما.

نقاط دورية سرجية

تُسمى النقطة الدورية z للدالة f نقطة دورية سرجية إذا كان، لعدد صحيح موجب r بحيثور(z)=z{\displaystyle f^{r}(z)=z}، قيمة ذاتية واحدة على الأقل لمشتقةور{\displaystyle f^{r}}في الفضاء المماسي عند z، تكون القيمة المطلقة لـ f أقل من 1، وواحدة على الأقل لها قيمة مطلقة أكبر من 1، ولا توجد أي قيمة مطلقة تساوي 1. (وبالتالي، تتمدد f في بعض الاتجاهات وتنكمش في اتجاهات أخرى، بالقرب من z ). بالنسبة لتشاكل ذاتي f ذي تأثير بسيط على علم التماثل، تكون النقاط الدورية السرجية كثيفة في نطاق الدعم.ج*(و){\displaystyle J^{*}(f)}مقياس التوازنμو{\displaystyle \mu _{f}}[ 20 ] من ناحية أخرى ، فإن المقياسμو{\displaystyle \mu _{f}}تتلاشى على الفضاءات العقدية المغلقة التي لا تساوي X. [ 20 ] ويترتب على ذلك أن النقاط الدورية لـ f (أو حتى مجرد النقاط الدورية السرجية الموجودة في حاملμو{\displaystyle \mu _{f}}) كثيفة زاريسكي في X.

بالنسبة لتشاكل ذاتي f ذي تأثير بسيط على علم التماثل، فإن f وخريطته العكسية تكونان إرجوديتين، وبشكل أقوى، مختلطتين بالنسبة لمقياس التوازن.μو{\displaystyle \mu _{f}}[ 23 ] ويترتب على ذلك أنه بالنسبة لكل نقطة z تقريبًا بالنسبة إلىμو{\displaystyle \mu _{f}}، يتم توزيع المدارات الأمامية والخلفية لـ z بشكل منتظم بالنسبة إلىμو{\displaystyle \mu _{f}}.

ثمة اختلاف ملحوظ مع حالة التشكلات الداخلية لـجPن{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}يعني ذلك أنه بالنسبة لتشاكل ذاتي f ذي تأثير بسيط على علم التماثل، يمكن أن توجد مجموعة جزئية مفتوحة غير فارغة من X لا تقترب منها المدارات الأمامية ولا الخلفية.ج*(و){\displaystyle J^{*}(f)}من مقياس التوازن. على سبيل المثال، قام إريك بيدفورد، وكيونغ هي كيم، وكورتيس ماكمولين بإنشاء تشاكلات ذاتية f لسطح إسقاطي كسري أملس ذي إنتروبيا طوبولوجية موجبة (وبالتالي تأثير بسيط على علم التماثل) بحيث يكون لـ f قرص سيجل، حيث يكون تأثير f عليه مترافقًا مع دوران غير كسري. [ 24 ] لا تقترب النقاط في تلك المجموعة المفتوحة أبدًاج*(و){\displaystyle J^{*}(f)}تحت تأثير f أو معكوسها.

على الأقل في البعد المركب 2، يصف مقياس التوازن للدالة f توزيع النقاط الدورية المعزولة لها . (قد توجد أيضًا منحنيات مركبة محددة بواسطة f أو دالة تكرارية، والتي يتم تجاهلها هنا). أي، ليكن f تشاكلًا ذاتيًا لسطح كاهلر مضغوط X ذي إنتروبيا طوبولوجية موجبة.ح(و)=سجل⁡د1{\displaystyle h(f)=\log d_{1}}لنفترض مقياس الاحتمالية الموزع بالتساوي على النقاط الدورية المعزولة ذات الفترة r (بمعنى أنور(z)=z{\displaystyle f^{r}(z)=z}ثم يتقارب هذا المقياس تقاربًا ضعيفًا إلىμو{\displaystyle \mu _{f}}عندما تؤول قيمة r إلى اللانهاية، كما ذكر إريك بيدفورد وليوبيتش وجون سميلي . [ 25 ] وينطبق الأمر نفسه على مجموعة النقاط الدورية السرجية، لأن كلتا مجموعتي النقاط الدورية تنموان بمعدل(د1)ر{\displaystyle (d_{1})^{r}}.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ ميلنور (2006)، القسم 13.
  2. ↑ غيدج (2010)، النظرية ب.
  3. 1 2 دينه وسيبوني (2010)، "الديناميكيات ..."، النظرية 1.7.11.
  4. ↑ دينه وسيبوني (2010)، "الديناميكيات ..."، النظرية 1.4.1.
  5. ↑ دينه وسيبوني (2010)، "الديناميكيات ..."، النظرية 1.4.13.
  6. ↑ فورناس وسيبوني (2001)، النظرية 4.3.
  7. 1 2 دينه وسيبوني (2010)، "الديناميكيات ..."، الاقتراح 1.2.3.
  8. ^ فخر الدين (2003)، النتيجة الطبيعية 5.3.
  9. ↑ ميلنور (2006)، النظرية 5.2 والمسألة 14-2؛ فورناس (1996)، الفصل 3.
  10. ↑ دينه وسيبوني (2010)، "الديناميكيات ..."، النظرية 1.7.1.
  11. ↑ دينه وسيبوني (2010)، "الديناميكيات ..."، النظرية 1.6.3.
  12. ^ بيرتيلوت ودوبونت (2005)، النظرية 1.
  13. ↑ ميلنور (2006)، المسألة 14-2.
  14. ↑ Zdunik (1990)، النظرية 2؛ Berteloot & Dupont (2005)، المقدمة.
  15. ↑ ميلنور (2006)، المسألة 5-3.
  16. ^ كانتات (2000)، النظرية 2.2.
  17. ↑ كانتات (2010)، الأقسام من 7 إلى 9.
  18. ^ كانتات (2014)، القسم 2.4.3.
  19. ^ دي ثيلين ودينه (2012)، النظرية 1.2.
  20. 1 2 3 دين وسيبوني (2010)، "الإمكانات الفائقة ..."، القسم 4.4.
  21. ^ كانتات ودوبونت (2020)، القسم 1.2.1.
  22. ↑ كانتات ودوبونت (2020)، النظرية الرئيسية.
  23. ↑ دين وسيبوني (2010)، "الإمكانات الفائقة ..."، النظرية 4.4.2.
  24. ^ كانتات (2010)، النظرية 9.8.
  25. ^ كانتات (2014)، النظرية 8.2.

مراجع